预期缺口下的投资组合优化

样本上加权分布的平均方差为：σw=NXiwi- （wi）=NXihwii- 1（23）尽管给定样本中的单个权重可能严重偏离其真实值1，但其样本平均值仍然为1。从（22）和（23）中，我们得到了投资组合的样本外方差和权重方差之间的关系：σp，out=N（σw+1）。（24）样本上平均ES的样本外估计的相应公式为：ESout=expn-Φ-1(α)o（1）- α)√2π（Nw）1/2。（25）估计误差的自然度量是估计的ES（25）与其在（15）中给出的真实值的比率：ESoutES（0）=（w）1/2=（σw+1）1/2。（26）这个比率总是大于一。减去1，我们得到了ES:ESoutES（0）的相对估计误差- 1=（σw+1）1/2- 1.（27）如果样本量T相对于不同资产的数量N非常大，即长宽比r=N/T很小时，我们预计权重不会有大的波动，因此σ和估计误差（0）将很小。在相反的情况下，当样本大小不够大时（从图1中的相图中我们知道，对于较小的置信水平，这可能已经发生在较小的r中），权重中会出现剧烈的波动，非常大的空头头寸会被非常大的长头头寸补偿。因此，ESM中权重分布的方差以及相对估计误差将非常大，最终在相位边界处发散。Sz向我们中的一位（I.K.）建议了权重分布在描述估计误差方面的重要性。几年前的Pafka（私人通信）。这是一个有趣的问题，估计误差对结果的微小变化有多敏感。

我们将考虑这种最简单的变化：所有回报都以一个小的数量均匀转移：xit→ xit+ξ。这将导致估计的最佳权重发生变化。我们希望通过（26）中表达式ξ的导数（取ξ=0）来表征估计误差的灵敏度。我们称这个量为敏感性，并用χ：χ表示=ξ埃苏特斯（0）ξ=0=ξwi1/2ξ=0（28）下一节将介绍的分析处理将提供权重分布、样本内和样本外预期短缺估计值，以及在大N和T极限下的敏感性，其比率r=N/T固定。此外，我们还将获得[24]中建议作为估计VaR代理的数量的结果，这实际上是在ES下优化的投资组合的VaR。4.在前面提到的一阶条件下，可以通过从随机系统的统计物理中接管的方法，在大N和T的限制下，找到优化问题（7）的解析解。该方法已在[19,20,22,23,25]中进行了解释，但为了完整起见，我们将推导的要点包括在附录A中。该方法的实质是：将代价函数视为一个实际统计物理系统的哈密顿量（能量函数），引入一个实际温度，并在极限N，T中计算该系统的自由能（对数母函数）→ ∞ N/T=固定值。当实际温度为零时，原始优化问题恢复到极限。对不同回报样本的平均值对应于统计物理学中所谓的猝灭平均。

我们从公式（A.15）开始讨论，其中成本函数已在样本上平均，并表示为大大减少的变量数（从（7）中的N+T+1到6）的函数，即所谓的序参数，如下所示：F（λ，, Q, ^q，^) = λ + τ(1 - α) - ^q-^q（29）+hminw[V（w，z）]iz+τ√πZ∞-∞dse-sg+ sr2q!,式中v（w，z）=^W- λw- zwp-2^q.（30）和g（x）=0，x≥ 0x，-1.≤ 十、≤ 0-2x- 1，x<-1.（31）In（29）h·z代表标准正态变量z的平均值。自由能的值，即每项资产的最小成本，最终是两个控制参数的函数，纵横比r=N/T和置信限α。为了找到该函数，必须确定上述表达式在六阶参数λ空间中的最小值，, Q, ^qand^, 找到这些值作为控制参数的函数，并将其替换回（29）。下面我们将看到，在六个阶参数中，有三个可以很容易地消除，因此我们为剩下的三个阶参数建立三个方程，这与[19]中的设置一致，其中复制方法首次应用于投资组合优化环境。因此，我们目前的方法，以及（29）中的六阶参数和嵌套优化结构，似乎是在走不必要的弯路。事实并非如此：目前的方案允许我们一路推导出，除了最优成本外，还可以推导出估计最优投资组合权重的样本平均分布和敏感性，即权重对收益分布变化的敏感性的度量。现在让我们从（29）中的内部优化问题的解决方案开始。它源于对原始问题中权重的优化，高斯随机变量z对样本中随机性的影响进行编码。

这个问题的解决方案是w*（z） 我们在[23]中称之为“代表性”重量：*（z） =z√-2^q+λ^（32）w的样本平均值*（z） 然后呢*iz=λ^（33）其平方的平均值为*iz=λ- 2^q^（34）投资组合权重的概率密度p（w）=hδ（w）- W*（z） δ是以高斯分布为中心的*方差为σw=hw的Iz*伊兹- hw*iz=-^q^（35）现在我们详细说明了决定订单参数的一阶条件：1=hw*iz（36）（1）- α) +√πZ∞-∞dse-sg+ sr2q!= 0 (37)^ -2r√2πqZ∞-∞dse-ssg+ sr2q!= 0 (38)- ^q- 2^Q+2r√πZ∞-∞dse-sg+ sr2q!+(1 - α） r= 0 (39) =√-2^qhw*ziz（40）q=Dw*简单（41）其中第一个来源于预算约束，并表示在随机样本上平均的估计最优权重的期望值仅为1。这是一个不寻常的结果：随机样本中的权重分布可能与其真实分布（均等于1）非常不同，但平均而言，它们仍然会影响其真实值。另一方面，从内部优化问题我们发现（33），所以我们有λ=2^. （42）将（32）乘以z，并对随机变量z进行平均，我们发现hw*子=√-2^q/2^. 把这个表达式代入方程（40），我们得到 =^. （43）最后，根据最后一个一阶条件，平均平方权（34）等于q，因此我们得到q=λ- 2^q^= 1.-^q^, （44）这直接将qt与权重分布的方差联系起来：q=1+σw。（45）因此，我们使用了三个一阶条件来表示λ，^ 和^qthrough顺序参数,  q，这使我们能够消除前一组变量，而有利于后者。我们很快就会看到保留的变量,  而qall有着直接的意义。

我们还发现了阶数参数和权重分布方差之间的有用关系，这告诉我们，相位边界应定义为qor，等效地， 分流（或^） 消失），因为这是一条线，沿着这条线，重量的变化趋于一致，对应于重量剧烈变化的情况，占据了大量的正值和负值。成本函数本身现在可以通过在最优HV下评估潜在的V来找到*iz=-^Dw*E=-^q、 这与（30）、（42）-（44）一起产生了非常简单的结果F=1/. 记住，F是每项资产的成本，因此成本本身就是E=NF，并且成本函数必须除以（1）-α） T为了得到预期的空头，我们有：ES=fr/（1）- α） =r（1）- α). （46）由于我们一直在优化所有变量以获得该表达式，这在预期短缺的样本估计范围内。为了找到样本外估计，我们必须回顾（26），其中样本外估计通过估计的投资组合权重的方差表示。使用后者的结果（45），我们发现：ESoutES（0）=phwi=p1+σw=√q（47）这个关系给出了变量q的含义：√Q-1是ES样本外估计的相对估计误差。为了找到, 我们考虑了回报率的一个小变化，如前一部分：退出→ xit+ξ。很容易看出，对于这样一个修改过的设置，成本函数的整个推导过程与之前一样，只有λ的变化，我们才会将λ移动ξ作为λ→ λ + ξ.

相应地，最佳重量的样本平均值将为：hw*iz=λ+ξ^= (λ + ξ)以及它对小扰动ξ的响应：hw*伊兹ξξ=0=  （48）平均重量平方ishw的情况相同*iz=（λ+ξ）- 2^q^回应如下：hw*伊兹ξξ=0=λ^=^= 2. . （49）最后，（28）中引入的易感性计算为χ=ξ埃苏特斯（0）ξ=0=ξ√q=√q、 （50）因此， 衡量权重对收益率微小变动的敏感性，以及比率/√一阶条件下出现的QT是估计误差的相对误差的灵敏度。三阶参数是. 该变量被认为是byRockafellar和Uryasev[24]VaR的代表。实际上，从线性规划任务的设置来看，很明显 实际上等于VaR——在ES下优化的投资组合的VaR。（我们通过数值模拟在多个纵横比和置信水平α下检查了这种识别。）我们在这里有点离题，以便与早期的工作建立联系。如前所述，在投资组合优化背景下应用复制方法的第一篇论文[19]使用了三参数优化。这篇论文和当前论文之间的对应关系如下：名为qin[19]的顺序参数是q/在这里变量v是/ 在这里变量t是r的倒数，通过这个替换，这里的成本函数与这里的相同。[19]中比例变量的使用得到了很好的证明，因为在相位边界附近，所有三阶参数都会发散，而保持不变的是比例变量。我们目前的兴趣更广泛：我们想从整体上解决这个问题- r平面，而在相界附近方便的缩放在其他地方可能不是很有用。例如，如果r为零（即。

样本量T远大于维度N）权重的分布将是尖锐的，因此q1将变为1，而 将会消失。至于它将采用简单的形式-1（α）对应于高斯回归样本的VaR。了解了三阶参数q的财务意义， 和, 我们现在必须转向其余三个一阶条件的解，以获得作为r和α函数的序参数。第一项任务是通过上述关系消除变量。接下来我们要去掉方程中的积分。这可以通过部分重复集成来实现。由此产生的方程组更适合于数值解，在某些特殊情况下，更适合于解析解。它们如下：r=Φ + √Q- Φ√Q(51)α =√QΨ + √Q- Ψ√Q(52)2+αr+Q+2r=rqW + √Q- W√Q. 其中Φ（x）=√2πZx-∞dt e-t/2（54）ψ（x）=xΦ（x）+√2πe-x/2（55）W（x）=x+1Φ（x）+x√2πe-x/2。（56）这些函数彼此密切相关：ψ（x）=Φ（x），W（x）=ψ（x）。（57）当改变参数的符号时，它们也表现出简单的对称性：Φ（x）=1- Φ(-x） ψ（x）=x+ψ(-x） （58）W（x）=x+1- W(-x） 。请注意，对于由未知数形成的两个比率，两个方程（51）和（52）是闭合的，因此可以独立于第三个方程求解它们。第三个方程式（53）将决定 另外，还有另外两个未知数。5一阶条件的解方程组（51）-（53）是非平凡的，解沿着相位基准变得奇异，而且，在两个端点r=α=0和r=1/2，α=1，解具有本质奇异性，极限取决于我们接近这些点的方向，而解沿着α=1线都是非解析的。

然而，通过分析计算，可以沿着一些特殊的线获得第一个方向。最明显的情况是水平轴上的间隔0<α<1。这与r=N/T相对应→ 0，也就是说，在这种情况下，我们有比投资组合的维度多得多的观察结果。在这里，权重的分布必须是尖锐的（所有权重都等于1），因此该分布的方差必须为零，这意味着 = 0和Q=1。同时 必须是i.i.d.正常投资组合的VaR，即Φ-1(α).很容易看出，这个三元组确实是沿水平轴的一阶条件的解。请注意 在α=1/2时为零，相应为正。右边是否定的。这一点的左边。此外 两端分叉，走向-∞ 及+∞ 分别在α=0和α=1时。假设r很小，可以进行扩展；这适用于除两个端点以外的所有α。另一种分析上可处理的情况是垂直间隔α=1，0<r<1/2。你可以证明这一点 和qare fine，而 这里有分歧。对这种情况的兴趣源于这样一个事实，即α=1对应于[45]中引入的极小极大风险度量，这是最严重损失的最佳组合。同样，除了在两个端点r=0，α=1和r=1/2，α=1之外，可以在该垂直线附近进行扩展。另外两条可以进行分析的特殊线是α=1/2的垂直线和 = 0，后者从α=1/2，r=0到α=1，r=1/2。最重要的特殊线是图1所示的相位边界。这三个orderparameters在这条线上都有所不同，但它们的比率保持不变。这条线在[19]中进行了分析性推导，其中还探讨了散度的性质和临界线附近的标度。

这种差异的根源已在[20,21]中确定为有限样本中统计波动产生的表观现象。一阶条件的复杂性并不是我们在这里的主要关注点，因此进一步的细节可归入附录B。本节的其余部分将专门介绍一阶条件的数值解。结果将以几个等高线图的形式显示，即顺序参数恒定的几组线。这些等高线图应被解读为景观地图，线条上的参数是图中绘制的函数的固定值。正如我们已经注意到的，方程组（51-53）的结构是前两个决定比率√坎德√q、 这些比率的解决方案如图所示。2和3。当我们穿过相边界时，这些比率保持不变，因此它们可以在可行区域之外继续（如图2、3中的阴影区域所示）。这个√qcontour线显示的对称性可以追溯到（58）中给出的函数Φ和ψ的对称性。这些线都趋向于点r=0，α=1，下降得越来越陡，我们在这些线上的参数值越高。假设我们在接近1的某个α处竖立一条垂直线，例如，在监管机构青睐的置信水平α=0.975处。如果我们现在选择一个很小的r，点r，α将落在一条曲线上，对应于√q、 该比率被确定为易感性，即预期收益对微小变化的敏感性。敏感度的一个小值意味着我们的估计值相对于观察到的价格变化是相当稳定的。

随着我们沿着α=α线向上移动，也就是说，当我们考虑越来越大的r（时间序列越来越短）时，敏感性增长非常快：如果我们没有足够的数据，我们的估计将对价格变化极其敏感。0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0αr0。10.250.50.7511.523510固定δ曲线图2：比率等值线图√q=δ测量ES相对估计误差对收益率微小变化的敏感性。δ的值是曲线上的参数；δ沿这些线是常数。随着δ的增加，曲线以单位平方为单位。0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0αr-10-3.-2.-1.5-1.-0.75-0.5-0.2500.250.50.7511.52固定ζ等高线图3：比率等高线图√q=ζ。ζ扫过这个范围(-∞ , +∞) 单位正方形中的恒定ζ线。值得注意的是，在α=1时，对任何有限的r来说，敏感性都非常大：极小极大问题对回报的任何变化都非常敏感。这似乎是有道理的：如果我们只考虑最坏的结果，我们估计的风险指标甚至会因微小的价格变化而改变。现在让我们来看图3。它显示了√q、 如图所示，与正相关的曲线’s全部弯曲并击中可行区域内的α=1线，而 曲线穿过相界，到达r=1/2和r=1临界点之间的α=1线，该临界点位于不可行区域。这两个图都有一个显著的特征。2和3。如果我们允许这个比例√如果要从零一直到单位，生成的等高线将填充整个单位正方形。同样地√Q从负到正，轮廓线将再次填充单位平方，但这两组曲线都不会超过r=1。