Omega测度下的风险管理

对于每个指标，使用过去一年、2年和5年进行估算。这些数据是使用InvestSpy网站[10]生成的。结果见下表1。我们观察到，与古罗比相比，SRA的平均计算时间快了一个数量级以上。SRAS算法的另一个积极方面是，与通常使用内点法求解的二次规划格式相比，它相对简单。SRAS GurobiTime（s）溶解时间（s）溶解时间1年0.0386 2.6769 0.6881 2.676 9年0.0057 3.3883 0.5551 3.388 3流动5年0.0030 15.7604 0.5829 15.7604S和P 1年0.0479 7.207 0.6569 7.207 3S和P 2年0.0095 4.4550 0.6233 4.455 0S和P 5年0.0053 5.0557 0.5562 5.055 7平均0.0184的数值模型：结果表明，与欧米伽等效的数值测量结果不一致夏普·拉蒂奥放弃了分配。我们对ω测度的估计使用了以下命题。提议7.1。ω测量值等于¨u-LE（最大）L-R、 （0）- 1，即。，Ohm（R） =u- LE（最大）L- R、 （0）- 1.证据。见附录我们考虑了斜正态分布[2]，它在有效变换下是闭合的，并且具有概率分布函数f（r）=ωφ（r）- ω）Φ（α（r）- ω)).其中φ（·）和Φ（·）分别是标准正态概率分布函数和累积分布函数，具有位置参数、尺度ω和形状α。对于给定的偏度γ，设|δ|=s（π/2）|γ| 2/3（（4）- π） /2）2/3+|γ| 2/3，其中δ的符号选择为负f或左偏，选择为正表示右偏。给定δ，α=δ√1.- δ、 对于期望的标准偏差，ω=σp1- 2δ/2，平均值=u- ωδp2/π。我们绘制了L=0.01、u=0.1和σ=0.3的ω测量值，其中γ在该区域上变化[-0.99，0.99]以0.01为增量。

蒙特卡罗积分用于估计E（ma x（L- R、 0），取1000万个R样本，取最大值（L）的平均值- R、 0）。-1.-0.5 0 0.5 15 · 10-20.10.150.2倾斜度图1：对于具有u=0.1、σ=0.3和l=0.01的倾斜标准随机变量，O mega measure与倾斜度。在夏普比率下，我们不同于所有绘制的投资组合，每个投资组合的夏普比率S（R）=0.3，但在欧米茄度量下，考虑到更高的矩，很明显，我们更喜欢本例中具有右偏的投资组合。8.结论与未来工作本文证明了O mega测度与Sharperatio测度在联合椭圆收益分布下的等价性。对有卖空和无卖空情况下的证券组合优化进行了数值分析。针对禁止卖空的市场提出了一种主动集合算法，与标准的r d优化技术相比，其平均求解时间提高了一个数量级以上。数值实验表明，当收益率分布不对称时，欧米茄测度和夏普比并不等价。在更一般的分布假设下，如斜椭圆分布，可以进行进一步的研究，以开发欧米茄度量的优化方法。9.附录证明。外稃2。1R=S（1）+··+nSn（1）- (S（0）+··+nSn（0））S（0）+··+nSn（0）=S（1）- S（0）S（0）+··+nSn（0）+··+nSn（1）- nSn（0）S（0）+··+nSn（0）=S（1）- S（0）S（0）+··+nSn（0）+ ···+ 序号（1）- 序号（0）NS（0）+··+nSn（0）=S（1）- S（0）S（0）S（0）S（0）+··+nSn（0）+ ···+序号（1）- 序号（0）序号（0）nSn（0）S（0）+··+nSn（0）= 因此，投资组合R的回报率是R、·的线性组合。椭圆分布在线性组合下的封闭性产生了这种说法。证据

理论的第三部分。1在我们的框架下，我们现在能够简化欧米茄度量。召回措施定义为：Ohm（R） =R∞L（1）- F（x））dxRL-∞F（x）dx。这里F（x）=Rx-∞f（r）dr是算术回报率为r的投资组合的累积分布函数，概率分布函数为f（r）。因此Ohm（R） =R∞L1.-Rx-∞f（r）博士dxRL-∞Rx-∞f（r）drdx=r∞LR∞xf（r）drdxRL-∞Rx-∞我们用富比尼定理来改变积分的顺序。设Dbe为分子中积分的积分区域，设Dbe为分母中积分的积分区域，然后d={（x，r）|x∈ （L），∞), R∈ （十），∞)} = {（x，r）|x∈ （左，右），右∈ （L），∞)}and d={（x，r）|x∈ (-∞, 五十） ，r∈ (-∞, x） }={（x，r）|x∈ （左，右）∈ (-∞, 五十） 因此，根据富比尼定理Ohm（R） =R∞LRrLf（r）dxdrRL-∞椭圆分布下的RLrf（r）dxdr（9.1）f（r）=σg(R- uσ).计算上积分可以得到usZ∞LZrL′σg(R- uσ)dxdr=¨σZ∞L（r）- 五十） g(R- uσ)dr=’σZ∞Lrg(R- uσ)博士-L′σZ∞Lg(R- uσ)博士，让我们进行变量的改变。因此，我们让u=r-“u”σ，然后“σdu=dr andr=”σu+”uZ∞LZrL′σg(R- uσ)dxdr=Z∞L- “u”σ（“‘σu+’u）g（u）du- LZ∞L- “u”σg（u）du=”σZ∞L- “u”σug（u）du+（“u”- 五十） Z∞L- “u”σg（u）duThusZ∞LZrL′σg(R- uσ)dxdr=‘σ’-H(L- uσ) +L- uσHL- uσ- KL- uσ#,其中H′（x）=g（x），H′（x）=g（x），K=Z∞-∞g（x）dx。我们用同样的方法计算下积分来得到zl-∞ZLr′σg(R- uσ)dxdr=‘σ’-H(L- uσ) +L- uσHL- uσ#.设z=L-“u”σ，那么Ohm（R） =G（z），其中G（z）=1-KzzH（z）-我们声称Ohm（R） 是z的递减函数。要知道这一点，我们首先取G（z）G′（z）=-KH（z）zH（z）-H（z）≤ 0，sinceH（x）=Zx-∞g（u）du≥ 0，由于g的正性。因此Ohm（R） 是z的递减函数。

亨塞马克斯，。。。，wnOhm（R）<=> 哼，。。，wnL- uσ<=> maxw，。。，wn′u- L′σ<=> maxw，。。，因此，在{w，…，wn}上最大化ω测度相当于在{w，…，wn}上最大化Sharpe rat io，且无风险利率Rf等于L。证据关于命题5。1扩展的Cauchy-Schwarz不等式（见[11]）表明，对于向量b和d，以及正定义矩阵b（bTd）≤ （bTBb）（dTB）-1d）当且仅当b=cB时相等-对于任何常数c，1d。因此，对于（4.1）的目标√wT∑w≤√eT∑-1对于w 6=0，最大值为^w=∑-1e。为了满足约束Tpni=1wi=1，将^w乘以归一化常数c=Pni^，以获得（4.1）的最佳解。证据关于命题5。2A函数f（x）的上能级为{x | f（x）时为拟凹函数≥ t} 它们是凸面的。S（w）的上层集合形成二阶圆锥约束wTe≥ T√wT∑w，表示凸区域。如果S（w）=e√wT∑w-那么wT=0，∑w-1e表示c=wT∑wwTe。取w=c∑-1对于任何c 6=0，它直接遵循S（w）=0。证据理论上的。引理9.1。如果wi=xibut wii在（4.2）上是次优的，那么在下一次迭代中αi+1>0，除非存在j∈ Pisuch t hat wij=0，pi+1j<0。证据外稃的。1Let Pi+1=Pi∪{k} 为了一些k∈ 威斯康星州。在i迭代中，考虑Pi+1in（5.1）、ePi+1的行-其中∑Pi+1wiPi+1wiT∑wi+uiPi+1=0，其中∑ui=√wiT∑wiui。给定wi=xi，wiT=wiT∑wi，并且由于μiPi=0，我们得到∑Pi+1wiPi+1=ePiek+^uik. 通过Cholesky分解，∑Pi+1=LLT，我们可以写出LyiPiyik公司=ePiek+^uik用LTWIPI+1=yi。因为LTI是上三角形，Lkkwik=yik，所以yik=0。考虑到现在的i+1hitation，∑Pi+1xi+1Pi+1=埃皮耶克, 同样地，如果LTxi+1Pi+1=yi+1thenLyi+1Piyi+1k=埃皮耶克. 因为L是下三角形，yi+1Pi=yiPi，yi+1k=yik-^uikLkk和so xi+1k=-^uikLkk=-^uik∑-1kk。

由于Wii不是最优的，所以μik<0，pi+1k>0。假设nowpi+1j≥ 0代表所有j∈ 当wij=0时，αi+1>0。引理9.2。如果wi=xibut Wii的（4.2）次优，则S（wi+2）>S（wi）α ∈引理9.2S（wi+2）=S（wi+1+α（xi+1）的证明- wi+1））=S（wi+α（xi+1）- wi））=（wi+α（xi+1- wi）Tep（wi+α（xi+1- α-xi（T+1）wi- wi））=（wi+α（xi+1- 威特∑（wi+α（xi+1）- wi）关注分子（wi+α（xi+1- wi）Te=（1- α） 其中+αxi+1Te=（1）- α)Σ-1Pi+1ePiek+^uikT埃皮耶克+ αxi+1Te=（1）- α)ePiek+^uikTxi+1Pi+1+αxi+1Te=xi+1Te+（1- α） ^uikxi+1k关注分母，∑（wi+α（xi+1）- wi）=Σ((1 - α） wi+αxi+1）=∑Pi+1(1 - α) Σ-1Pi+1ePiek+^uik+ αxi+1Pi+1=∑Pi+1xi+1Pi+1+（1）- α)Σ-1Pi+1^uik=qxi+1T∑xi+1+2（1- α） xi+1k^uik+（1）- α） （^uik）∑-1kk=qxi+1T∑xi+1+2（1- α） xi+1k^uik- (1 - α） xi+1k^uik=qxi+1T∑xi+1+（1- α） ^uikxi+1因此，S（wi+2）=xi+1Te+（1）- α） ^uikxi+1kqxi+1T∑xi+1+（1）- α） ^uikxi+1k≥xi+1Te+（1）- α） ^uikxi+1kqxi+1Te+（1）- α） ^uikxi+1k=qxi+1Te+（1）- α） ^uikxi+1k>qxi+1Te+^uikxi+1k=√wiTe=wiTe√wiTe=wiTeqwiTPi∑Pi∑-1PiePi=wiTeqwiTPi∑PiwiPi=wiTe√wiT∑wi=S（wi）对于所有i，S（xi），该算法是单t 1递增的≥ 通过S（w）的拟康涅狄格性，这意味着S（wi+α（xi- wi）≥ S（wi）。如果wis没有选择ima lS（w）>S（w）的引理9。1和9.2，以及自S（w）≥ S（w）适用于所有投资组合，不包括fsize 1，| Pi |≥ 2尽管我≥ 1.假设现在xi6=wi，这一直持续到xi+m=wi+m，其中m≤ N- 2和| Pi+m |≤ N-m、 如果解不是最优解，则存在q≤ N-M-Pi+m的两个指标，如wi+m+1j=0和Pi+m+1j<0。q次迭代后，不存在j∈ Pi+m+1+qs使得wi+m+1+qj=0，Pi+m+1+qj<0，所以由引理9。αi+m+1+q>0和9。2，S（wi+m+2+q）>S（wi+m+q）≥ S（wi）。

假设m=0考虑了xi=wi的情况，因此我们已经证明了算法在m+2+q之后严格递增≤ n次迭代。由于最优值是有界的，且算法在n次迭代间隔上严格单调递增，因此算法收敛。证据关于命题7。1从定理3.1证明的等式（9.1）开始，Ohm（R） =R∞LRrLf（r）dxdrRL-∞RLrf（r）dxdr=r∞L（r）- 五十） f（r）drRL-∞（L）- r） f（r）dr=E（r）- LE（（L）- R） +）- 1.参考文献[1]K.J.Arrow和A.C.Enthoven。拟凹规划。计量经济学：计量经济学学会杂志，29（4）：779-8001961。[2] A.Azzalini《斯堪的纳维亚统计杂志》，32（2），159–188，2005[3]Z。D.Bai、H.X.Liu和W.K.Wong利用随机矩阵理论增强了马科维茨投资组合优化的适用性。《数学金融》，19（4），639-667。[4] 比恩斯托克。最大化夏普比率。IEOR 4500的课堂讲稿。哥伦比亚大学。，2012年[5]N.H.Bingham和R.Kiesel（200 2）《金融中的半参数建模：理论基础，定量金融》，2:4241-250。[6] N.H.Bingham，R.Kiesel，a和R.Schmidt（2003）风险管理的半参数方法，定量金融，3:6426-441。[7] G。张伯伦（1983），《均值-方差效用函数的分布特征》，经济理论杂志，29185-201。[8] 方国泰、S.科茨和吴国伟（1990），对称多元和相关分布，查普曼和霍尔[9]胡伟和A.科切瓦尔。学生t和倾斜t回报的投资组合优化。数量金融，10（1）：55-832010。[10] 间谍。http://www.investspy.com.查阅日期：2017-01-05。[11] R.A.约翰逊和D。威奇恩。应用多元统计分析，第6卷。普伦蒂斯·霍尔，2007年。[12] 基廷和沙威克。

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