Omega测度下的风险管理

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英文标题：
《Risk management under Omega measure》
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作者：
Michael R. Metel, Traian A. Pirvu, Julian Wong
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We prove that the Omega measure, which considers all moments when assessing portfolio performance, is equivalent to the widely used Sharpe ratio under jointly elliptic distributions of returns. Portfolio optimization of the Sharpe ratio is then explored, with an active-set algorithm presented for markets prohibiting short sales. When asymmetric returns are considered we show that the Omega measure and Sharpe ratio lead to different optimal portfolios.
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中文摘要：
我们证明了在评估投资组合绩效时考虑所有时刻的Omega测度等价于联合椭圆收益分布下广泛使用的Sharpe比率。然后探讨了夏普比率的投资组合优化，并针对禁止卖空的市场提出了一种主动集算法。当考虑非对称收益时，我们证明了欧米茄测度和夏普比率会导致不同的最优投资组合。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> Risk_management_under_Omega_measure.pdf (185.36 KB)

2022-5-9 08:11:51 上传

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关键词：omega Mega 风险管理 Optimization distribution

Omega度量下的风险管理2018年10月22日Michael R.MetelTraian A.PirvuJulian Wongabstract我们证明，在评估投资组合绩效时考虑所有时刻的Omega度量相当于广泛使用的收益椭圆分布下的夏普比率。然后探讨了夏普比率的投资组合优化，并针对禁止卖空的m个市场提出了一种主动集算法。当考虑非对称回报时，我们表明Omegameasure和S harpe比率会导致不同的最优投资组合。关键词：风险管理，投资组合优化，欧米茄测度，夏普比率，主动集算法，非凸优化。感谢这项工作得到了NSERC拨款371653-09和数字主席C&O项目的支持。1简介在现代金融和保险领域，投资者、企业和公司通常会管理不同的金融/保险资产，以期增加其资本收益。这类投资的集合被称为投资组合，其目的是匹配投资者的偏好。不同资产的不同组成允许有适合不同胃口的多种组合。例如，与负责管理退休基金的退休人员相比，摩根大通（J.P.Morgan）等abulge-bracket投资银行愿意承担更多风险，以补偿更高的回报。然而，尽管个人品味不同，投资者仍面临着平衡回报和风险的挑战，因为高回报投资往往与高基础风险紧密相连，因此投资组合管理的主要目标是找到两者之间的最佳交易。Harry Markowitz[15]提出的均值-方差投资组合模型是投资组合理论的基石。

他正式提出了一个理性的、风险的问题，即法国奥赛南巴黎大学信息资源研究所，metel@lri.fr;通讯作者麦克马斯特大学数学与统计系，加拿大安大略省汉密尔顿市主街西1280号，L8S 4K1，tpirvu@math.mcmaster.caDepartment加拿大密歇根州汉密尔顿市主街西1280号麦克马斯特大学数学与统计系，L8S 4K1，julianwwong@gmail.cominvestor这就面临着如上所述的回报和风险之间的权衡。在这种情况下，回报和风险由投资组合的预期收益及其方差确定。在资产规模较大的情况下，马科维茨模型的实施存在一些问题。在这种情况下，资产的样本协方差矩阵不是资产真实共变矩阵的有效估计量。因此，在均值-方差优化过程中使用样本均值和协方差矩阵将得到不同于实际的最优回报估计。[3]利用大维随机矩阵理论提出了这个问题的一个解。最优均值-方差投资组合之所以表现良好，另一个原因是由于资产收益的对称性。[13] 结果表明，通过对分布不对称性的跟踪，可以增强均值-方差投资组合选择。在文献[9]和[14]中有几篇论文研究了偏态收益下的投资组合优化。在均值-方差框架下，各种主要的投资组合理论涌现出来，William F.Sharpe[18]提出的主要发展之一就是夏普比率。夏普比率是最基本的绩效衡量标准，在投资组合的评估、管理和交易中至关重要。

在平均方差投资组合框架下，夏普比率将投资组合的回报率与作为重要基准的无风险利率进行比较，因为如果投资组合的总体回报率低于无风险利率，投资者应将其资本投入货币市场并在不承担任何风险的情况下赚取利息。夏普比率是一种现代投资策略，受到投资者的高度评价。然而，Sha r pe比率仅包含并检验收益分布的前两个时刻，即预期收益和收益方差，而s偏度和峰度等分布特性（分别衡量第三和第四时刻尾部分布的不对称性和厚度）可能会对投资组合的表现产生深远影响。[19] 将最优均值-方差投资组合与朴素投资组合进行比较。他们发现，在夏普比率方面，该规则比最优均值-方差投资组合表现更好，这表明与估计误差产生的效应集相比，最优分散的收益更高。Sharpe r atio未能解决更高的时刻，这促使Shadwick和Keating[12]开发了欧米茄度量，它捕获了收益分布的所有时刻，包括预期值和方差。欧米茄指标是sa通用绩效指标，因为它可以应用于任何遵循明确回报分布的投资组合。尽管欧米茄测度是在10多年前发展起来的，但几乎没有研究表明它与以前的发展相兼容，即只涉及较低阶矩的分布函数。本文旨在探索和解决O mega测度的向后兼容性。

我们认为一个市场（金融或保险）在一个时期内包含多个风险。首先假设风险服从联合椭圆分布。在此框架下，我们证明了夏普比率和欧米茄测度产生相同的最优投资组合。接下来，探讨夏普比率投资组合优化。利用Sharpe r atio的拟凹性，提出了一种市场禁止卖空的主动集算法。证明了该算法的收敛性，并给出了数值结果。此外，我们还证明了在一个收益不对称的模型中，当考虑欧米茄测度时，最优夏普比率投资组合不是最优的。本文的其余部分组织如下：在第2节中，我们介绍了模型。第3节提供了收益椭圆分布类中的夏普比和欧米茄测度等价性。投资组合优化公式见第4节。数值分析在第5节中进行，数值结果显示在第6节中。第7节给出了一个收益不对称的模型。第8节总结了结论。这篇论文以一个包含证据的附录结尾。2模型我们有一个市场（金融或保险）模型，其中包括多个表示为S。。。，Sn。我们考虑从t=0到t=1的单周期模型。对于每个仪器，让算术返回beRi=Si（1）- Si（0）Si（0），andR=（R，R，·Rn）。我们假设投资组合的收益服从椭圆对称分布。然后均值E（R）=u=（u，…，un）的向量和n×n协方差矩阵xcov（R）=∑=（σij）i，jexist，我们进一步假设∑是可逆的。

密度f，如果存在，isf（x）=∑|-g[（x）- u）T∑-1（x）- u）]，其中x∈ R和g:R+→ R+被称为密度发生器或R的形状~ ECn（u，∑；g），其中（u，∑）称为参数部分，g称为椭圆分布的非参数部分。对于一些标量函数φ，特征函数ψo f R是ψR（t）=E exp（itTR）=exp（itTu）φ（tT∑t），（2.1），称为特征发生器。关于椭圆对称分布（也称为椭圆对称分布）的背景，请参见[8]和[5]。椭圆分布的密度、定义的均值和协方差足够丰富，可以包含几种常见的资产收益分布：多变量正态分布、多变量分布、正态方差混合分布、对称稳定分布、对称广义双曲分布，对称方差伽马分布和多变量单幂族（以及拉普拉斯分布）。此类的一个优点是非参数部分g“逃脱了维度诅咒”，参见[5]。选择该类是为了通过[7]、[17]和[6]对STOCK返回进行建模。椭圆分布对投资组合分析很有吸引力，因为它是线性组合下的一个封闭类。t=0和t=1时的投资组合将分别为x（0）=S（0）+··+nSn（0）X（1）=S（1）+··+nSn（1）让投资组合的算术回报率beR=X（1）- X（0）X（0）。下面的引理给出了R.引理2.1的分布。莱特维=iSi（0）S（0）+··+nSn（0）是投资于工具i的初始财富的比例，w是包含组件wi的向量。然后R服从椭圆分布~ EC（‘u，’σ；g），其中‘u：=w·u=nXi=1wiui，’σ：=wT∑w=nXi=1nXj=1wiwjσij。（2.2）证据。

见附录让我们考虑一下由正式定义定义的夏普比率和欧米茄度量。定义2.2。收益率为R的投资组合的夏普比率定义为asS（R）=u- rf‘σ，其中’u是投资组合的预期收益，’σ是回报率的标准差，rf是无风险利率。定义2.3。回报率为R的投资组合的欧米茄度量定义为Ohm（R） =R∞L（1）- F（x））dxRL-∞F（x）dx，其中F（x）是收益率分布R的累积分布函数，是一个外部满意的基准指数。欧米茄度量背后的直觉很简单；通过选择一个基准L（作为我们投资组合的目标参考），欧米茄度量将累积分布函数的面积从L的右边到L的左边进行比较。在这样的定义下，O mega度量包含了整个收益分布，因此包含了所讨论的高阶矩特性。3夏普比率和欧米茄衡量标准等价性当持有投资组合时，投资者使用夏普比率或欧米茄衡量标准等绩效衡量标准来评估投资组合的表现。因此，问一个人应该如何分配他的财富，以便在欧米茄测度下使他的投资组合最大化，这是一个自然的问题。下面的定理表明，使用夏普比率或欧米茄度量来优化投资组合绩效，会在收益的椭圆分布类中导致相同的最优投资组合。定理3.1。回想一下，在我们的框架k下，投资组合回报率r是椭圆分布的~ EC（\'u，\'σ；g）。如果rf=L，我们声称maxw，。。，wnOhm（R） 相当于tomaxw，。。，wnS（右）。证据

见附录4投资组合优化理论3。1.我们可以将ω对策的优化问题转化为椭圆分布的夏普比优化问题。Lete=u- 五十、 高于选定基准指数L的超额预期回报。在不限制卖空的情况下，我们的优化问题如下。马克斯特√wT∑w（4.1）s.t.nXi=1wi=1然而，某些金融市场禁止卖空行为，尤其是在金融动荡时期。2008年金融危机下的美国证券市场就是一个例子，当时美国证券交易委员会禁止卖空行为，以保护证券市场的完整性。因此，我们也对以下问题感兴趣。马克斯特√wT∑w（4.2）s.t.nXi=1wi=1wi≥ 0 i=1。。。，n5数值分析（4.1）的最优解可以直接找到，如以下命题所述。提议5.1。（4.1）的最优解是w*=^wPni^wi，其中^w=∑-1e。证据见附录在开发求解（4.2）的算法时，我们需要夏普比的以下特性。提议5.2。Sharpe Rat io S（w）=wTe√wT∑是一个拟凹函数，并且S（w）=0 i ff w=c∑-1e对于某些c 6=0。证据见附录如果∑-1e≥ 那么（4.1）的最优解也是（4.2）的最优解，所以我们假设（4.2）的最优解是w*6=c∑-1e对于纽约c.根据我们的假设，S（w）*) 6=0，以下定理适用。定理5.3（Arrow&Entroven[1]）。设f（x）是受非负约束的可微拟凹函数。

如果f（x）*) 6=0和x*用常数u满足K t条件*, 那么它就是一个全局最优解。忽略等式约束的（4.2）的KKT条件如下，其中S（w）=e√wT∑w-wTe∑w（wT∑w）。E√wT∑w-wTe∑w（wT∑w）+u=0（平稳性）（5.1）w≥ 0（原始可行性）u≥ 0（双重可行性）uTw=0（互补松弛度）考虑由P定义的集合P和W:={i∈ {1，…，n}:wi>0}W:={i∈ {1，…，n}:wi=0}让我们排列数据，使e=[eP；eW]，w=[wP；wW]，并让∑Pbe为P索引的仪器的协方差矩阵。设| P |为P的元素数。在最优性条件下，（5.1）的第一行| P |将等于P-wTPeP∑pwtp∑PwP=0，溶液wp=c∑-1步，c 6=0。因此，（4.2）的最优解就是（4.1）对于P的一些未知子集的最优解。为了便于后续操作，我们将始终采用c=1。然后，我们的主要目标是找到最优集P，然后通过求解一个正定义的线性方程组找到最优解。受算法16的启发，我们建议使用以下主动集算法来求解（4.2）。3英寸[16]。算法1夏普比率活动集（SRAS）算法hm1:i=02:wi=03:j=argmaxej√∑jj4:wij=ej√∑jj5:Wi={j|wij=0}6:Pi={j|wij>0}7:loop8:xiPi=∑-1PiePi9:xiWi=010:pi=xi- wi11：如果pi=0，那么12：uiWi=wiT（∑wi）wi（∑wi）-埃维√wiT∑wi13:ifuij≥ 0J∈ 14:w以内*=wiPnj=1wij15:quit16:else17:ki=argminj∈Wiuij18:Wi+1=Wi\\{ki}19:Pi+1=Pi∪ {ki}20:wi+1=wi21:end-if22:else23:αi=min{1，minj∈Pi，pij<0-wijpij}24：如果αi<1，那么25:hi=argminj∈Pi，pij<0-WIJPI326:Wi+1=Wi∪ {hi}27:Pi+1=Pi\\{hi}28:end-if29:wi+1=wi+αipi30:end-if31:i=i+132:end-loop我们找到一个组合，该组合由一个单一的工具组成，该工具可以最大化锐化运算，从而在第1-6行中初始化算法。

在迭代i中，XIPI被设置为最大化第8行中（4.2）中的竖直比，这通常是不可行的。如果当前可行的解决方案wi=xi，我们检查uiWi≥ 0.如果是，那么*=wiPnj=1wijis是最优解to（4.2），否则我们将从第1-21行中的Wi+1形式中删除双变量ui最小值的索引。如果wi6=xi，则wi+1通过从wi向xi方向移动来设置，同时在（4.2）中保持可行。如果wi+16=xi，则第一个阻塞约束的指数j∈ PIS被添加到WIT中，用于创建Wi+1线路22-30。定理5.4。SRAS算法是收敛的。证据见附录这个问题有一个二次凸的形式，见[4]，在至少存在一个ei>0的Stocks的温和条件下，它有以下公式，其中z>0是一个自由常数。最小重量∑w（5.2）s.t.重量=zwi≥ 0求解后，必须将参数归一化为和，以获得最优解。z的选择会影响解决方案的质量，尤其是当仪器数量n变大时，用于求解的算法（5.2）采用了| wi形式的停止标准-wi+1|≤ 容忍在实践中，我们发现，选择z=eT1，确保wiequals 1元素的平均值，可以提供高质量的解决方案，与活动集算法hm相比，几乎没有最优差距，而无需改变默认停止标准。6数值结果进行了计算实验，使用从两个股票市场的历史股价得出的数据，将SRAS a算法与Gurobi 7.0算法进行了比较。所有计算都是在Windows 10 64位AMDA8-7410处理器上使用Matlab R2016a完成的，该处理器具有8GB的RAM。测试中使用了六个问题。道琼斯工业平均指数（Dow Jones IndustrialAverage）和标准普尔/TSX 60的历史股价被用来计算工具收益的预期和协方差。