预测生长的数学

等式（8）描述了指数增加，if0ror减少，if0r。如果经验确定的增长率可以用一条直线来表示，即If（）f t a bt，（9）其中a和b是常数，那么2（）exp 0.5S t C在bt.（10）在这种情况下，（）Stis2（）exp 0.5dS tC a bt在btdt。（11） 如果a和b都为正值，则size（）将继续无限期地增加。然而，如果拟合的直线在减少，即如果0b在0a时，则（）st将在/t a波段达到最大值，然后开始减少。现在让我们假设，经验确定的增长率可以表示为增长实体大小的函数，S:1（）dSfSS dt。（12） 我们可以将这个方程表示为（）dSdtS f S.（13）我们现在有一个数学上更复杂的问题，因为对于这类微分方程的解没有单一的公式。在最简单的情况下，当（）f S r const时，解再次由一个指数函数表示。如果我们采取下一个最简单的步骤，并假设（）Fs由一条直线表示，即如果（）Fs a bS，（14），那么我们有以下微分方程：dSdtS a bS。（15） 为了找到如何积分这个方程的左边，让我们考虑一个一般情况：（）（）dxa bx c ex，（16）其中a，b，c和e是常数。为了积分这个分数，我们把它分成两个分数：1（）（）ABa bx c ex a bx c ex，（17）其中a和B是某些常数，我们现在必须确定。等式（17）的右侧可以表示为（）（）（）（）AB c ex A bx Ba bx c ex A bx c ex。

（18） 通过比较等式（17）和（18），我们可以看到（）（）1c exa bx B，（19），这给了我们一组两个方程：1cA aB，（20a）0eA bB。（20b）他们的溶液是Ba，（21a）eB，（21b）其中Cb是ae。（22）现在，方程（17）可以替换为1（）（）（）bea bx c ex a bx c ex。（23）这个方程左边的积分可以替换为两个更简单的分数的积分。它们的整合可以通过替换来完成。因此，举例来说，如果我们使用一个bx，我们得到1个ln（）dudx u a bxa bx b u b b b。因此，我们得到了一个有用的积分通式。特别是，我们现在可以看到1ln（）dx a bxx a bx a x，（26）因为0c，1e和随后的a。我们现在准备好解方程（15）。方程两边的积分dSDTS a bS（27）给出1LNA BSTCA（28），其中C是积分常数。简单的算术运算可以得到以下等式（15）的解：1atbS-Cea。（29）常数C可以通过将计算出的S标准化为特定时间0t，000ata bSCS ae的数据来确定，（30）其中0t是在选定时间0t增长实体（例如GDP）的经验规模。Ifa bS r const，即如果增长率是恒定的，则等式（29）给出指数增长。我们有两种可能性：一个B代表的增长率随着增长实体的大小而增加或减少：1 dSa bSS dt。（31）如果是0b，则等式（29）代表增长的逻辑类型。这种增长特征的增长率呈线性下降。

增长实体的相应大小S逐渐接近ASB的最大值。（32）等式（32）定义了生长的数学极限，通常被描述为承载能力，但只有当参数a和b与定义明确且充分探索的生态极限明确且令人信服地相关时，它才是承载能力；否则，计算出的极限只是计算出的增长极限，它可能代表也可能不代表承载能力。例如，如果我们考虑GDP的增长，如果我们使用增长率的经验值以经验方式确定参数a和b，那么认为计算出的S代表了以经验方式确定的承载能力是不正确的，因为过去的经济增长可能会遵循不安全的轨迹，而经济崩溃可能早就发生了达到计算出的极限。出于这个原因，将逻辑极限描述为承载能力可能会产生误导，最好避免这样的描述。同样的注释也适用于使用等式（10）时计算出的最大值。即使使用经验确定的参数a和b，计算出的最大值也只是计算出的最大值。它也没有描述承载能力。在有限资源的情况下，甚至在达到根据经验确定的参数计算的最大值之前，增长可能会终止。如果0b然后，根据等式（29），增长在1Lnsbtta aC时接近奇点（从逸出到完整）。

（33）这种类型的增长类似于双曲线增长，其特征是历史经济增长和人口增长（尼尔森，2014年，2015a；冯·弗斯特，莫拉和阿米奥特，1960年）。双曲线增长（或者更精确地说，一阶双曲线增长）由以下简单方程给出：1（）S C bt，（34）其中0b。双曲线增长逃逸到无穷大。（35）双曲分布是下列微分方程的解：1 dSbSS dt。（36）如果我们将这个方程与等式（31）进行比较，我们可以看到它们是相似的。在这两种情况下，增长率都随增长实体的大小线性变化。然而，对于双曲线增长[eqn（36）和0b]来说，增长率与S成正比，对于等式（31）所描述的增长，线性变化的增长率被参数a取代。这是一个微小的差异，但会产生显著的后果，理解这两种不同增长模式之间的相似性和差异非常重要。由等式（29）和（34）给出的相应解for0b如图2所示。它们的倒数值1/（）St如图3所示。微分方程（31）及其解（29）所描述的0bis的分布不是双曲线的，但在固定时间内它会逃逸到无穷大[见等式（33）]。因此，我们可以称之为伪夸张分布。图2。将方程（34）给出的双曲分布与方程（29）给出的伪双曲分布进行比较。在这个例子中，它们同时逃逸到同一个地方。图3。

比较等式（34）给出的双曲分布和等式（29）给出的伪双曲分布的倒数值1/（）St，求0b。在本例中，它们同时穿过水平轴。伪双曲分布倒数值的极限为/ba。各自的微分方程（31）和（36）之间奇怪的区别在于，eqn（31）不能被视为eqn（36）的推广。这两个方程必须独立求解。等式（31）的解不能用于推导等式（36）的解。虽然解方程（31）很困难，但解方程（36）很简单。溶液可通过置换1SZ获得。这两种分布，即等式（34）所描述的双曲分布和等式（29）所描述的伪双曲分布，在某一时间逃逸到无穷大，但它们的互易值1/S（见图3）的行为存在本质差异。对于双曲线增长，倒数值随时间线性减小。对于由等式（29）给出的伪双曲增长，它们非线性减小，接近/ba的极限。在图2和图3所示的示例中，伪双曲增长的参数为：24.475 10a，32.155 10B 381。437 10C。双曲增长的参数32。155 10band04。376 10C。奇点在2031年。35吨。表1总结了所讨论的微分方程、其解及其性质。拟合数据和预测增长也可以通过将S的增长率替换为任何适当定义的分布的增长率来实现。这里的目的再次是寻找增长率的最简单数学描述。

如果S增长率的数学描述很复杂，那么（）F增长率的数学描述可能会更简单。通过寻找数据的替代表示法，可以简化对数据的分析，总体思路是尽可能将分析简化为最简单的数学表达式——直线。表1。讨论的微分方程及其解和性质摘要微分方程解注释1 dSrS dtrtS CEE指数增长（if0r）或下降（if0r）1（）dSftS dtexp（）S C f t dt1 dSa btS dt2exp 0.5S C在btIf0b，增长无限期增加If0b，增长在/t a b1 dSbSS dt1（）S C btIf0b达到最大值，双曲线增长。在/st C b处出现奇点。倒数值1/S随时间线性减小。1 dSa bSS dt1atbS CeaIf0b：伪双曲线增长。奇点为1Lnsbta aC。倒数值非线性降低至/bawhentt。If0b：物流增长。S逐渐增加至/abwhentt。因此，例如，iflnFS，其中S代表增长实体的经验确定的大小，以及if1 dFa btF dt，（37）然后2EXP（0.5）F C在bt，（38）和2EXP exp（0.5）S C在bt（39）iflnFS和if1 dFa bFF dt，（40）然后1ATBF Cea，（41）和1ExpatBS Cea。（42）等式（39）和（42）给出的S的数学表示并不简单，但它们是可以接受的，因为它们基于将数据的数学分析简化为F增长率的直线给出的最简单表示。我们还可以通过用合理定义的函数（）FR替换增长率R来扩展这种替代表示。

如果S增长率的数学描述变得复杂，那么一个适当定义的函数（）fR可能会简化分析。因此，例如，对S的经验增长率的视觉检查可能表明，它在很大程度上依赖于时间。我们可以尝试将双曲线分布与经验确定的增长率相匹配，但通过检查R的倒数值来检查分布是否为非双曲线也是一个好主意，因为如果1/R沿着直线，则R为双曲线。如果1（）F R a btR（43），那么11dsr dt a bt（44）双曲分布不像直线那么简单，但它可以简化为一条直线，这更容易接受和理解。这样的练习增加了人们的信心，即分布确实是双曲线的，或者至少可以很好地近似于双曲线分布。微分方程（44）可以表示为ds dtS a bt，（45），当积分时，它给出1ln ln（）S a bt Cb。（46）因此，1/（）bS C a bt（47）是因为exp（ln）zz。最后两个方程中的常数C不同，但这并不重要，因为它们只是归一化常数，必须通过将计算的S与其相应的经验值进行比较来确定。等式（47）并不简单，但它是通过将数学分析简化为等式（43）给出的最简单的数学表达式而得到的，等式（43）确定了R的双曲线分布。

基本的起始步骤很简单，S的导出表达式，即使很复杂，也可以被高度信任地接受。如果对经验增长率R的目视检查表明它遵循指数分布，我们可以尝试将指数函数拟合到R，或使用这些参考的对数标度来显示它。如果R a bt，（48）那么1exp（）dSa btS dt（49），这个方程的解再次表示C eb（50），这不是对S的简单描述，但这个复杂的表达式是用R vialn R的最简单表示法推导出来的。这里给出的S的所有数学描述[见等式（10）、（29）、（34）、（39）、（42）、（47）和（50）]都不简单，但它们都是用相关量的最简单数学表示法推导出来的。构造复杂但可疑的公式很容易，但即使是复杂的公式，如果使用简单且可接受的假设推导出来，也是可以接受的。图3和图4使用世界GDPdata（世界银行，2015年）说明了所讨论方法的应用示例。在图4中，我们给出了GDP增长率的两组计算结果：（1）直接从数据计算的增长率，（2）使用插值梯度计算的增长率。正如预期的那样，直接根据数据计算的增长率具有强烈波动的特点。这样的计算无助于揭示这种正在恶化的趋势。然而，如果我们使用插值梯度计算增长率，趋势就会变得清晰。图4。描述1960年至2014年全球经济增长的增长率R，直接从数据R（直接）计算，并使用插值梯度R（细化）。使用世界银行（2015年）的GDP数据进行计算。图5。

使用1980年至2014年期间的增长率线性近似值和每年2.5%的恒定增长率拟合GDP数据和预测增长。计算得到了世界银行（2015年）GDP数据的支持。使用插值梯度计算的增长率遵循常见数学分布的倒数（Nielsen，2011），此处标记为最佳拟合，这将在单独的出版物中讨论。世界GDP增长率通常接近2.5%的恒定值，接近2014年的2.7%。世界经济增长已经大致呈指数级增长。在这里，我们将使用更简单的近似值：一条通过拟合1980年至2014年的经验增长率获得的逐渐递减的直线，如图4所示，以及一条代表GDP指数增长的水平直线。1980年至2014年间随时间变化的增长率的线性近似值由以下参数描述：13.895 10和41。80510B。在这种近似下，增长率缓慢下降到零，因此如果我们在Eqn（10）中使用这些参数，我们可以预期未来的经济增长将达到最大值，并开始下降。然而，直线的梯度很小。从1980年到2014年，增长率从每年3.5%下降到只有2.7%。图5所示的指数轨迹是使用2.5%的恒定渐近增长率计算的。如果增长率保持不变，到本世纪末，世界GDP将增长到2005年的500万亿美元左右，前提是这种增长能够得到支持。

然而，如果增长率呈线性下降，如图4所示，那么世界GDP的增长预计将在2158年左右达到最高约390万亿美元，前提是如此巨大的GDP可以得到生态支持。总结和结论我们讨论了增长率分析和预测增长的数学方法。在最简单的应用中，增长率要么是时间的函数，要么是增长实体大小的函数。这样做的目的是找到增长率的最简单数学描述，并用它来计算增长轨迹。在extendedapplication中，我们可以定义一个数量（）Fs，它取决于增长实体的大小，我们可以通过检查F的时间依赖性或大小依赖性来应用相同的方法。所描述的方法是对增长性大小S的常规分析或对适当定义的分布的分析的扩展根据具体情况，例如（）1/fssor（）ln（）fss。这些方法使用世界GDP数据进行了说明，但它们可以有更广泛的应用。参考Ashraf，Q.H.（2009）。关于比较经济发展的深层决定因素的论文。普罗维登斯布朗大学经济学系博士论文。Artzrouni，M.，和Komlos，J.（1985）。历史中的人口增长和逃离马尔萨斯陷阱：一个稳态模拟模型。属，41，21-39。鲍姆（2011）。Oded Galor：10万年的经济增长过程。http://news.brown.edu/features/2011/06/galorGalor，O.（2005a）。从停滞到增长：统一增长理论。P.Aghion&S.Durlauf（编辑），《经济增长手册》（第171-293页）。阿姆斯特丹：爱思唯尔。Galor，O.（2005b）。