预测生长的数学

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英文标题：
《Mathematics of Predicting Growth》
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作者：
Ron W Nielsen
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Mathematical methods of analysis of data and of predicting growth are discussed. The starting point is the analysis of the growth rates, which can be expressed as a function of time or as a function of the size of the growing entity. Application of these methods is illustrated using the world economic growth but they can be applied to any other type of growth.
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中文摘要：
讨论了数据分析和生长预测的数学方法。起点是对增长率的分析，增长率可以表示为时间的函数，也可以表示为增长实体大小的函数。这些方法的应用以世界经济增长为例进行了说明，但它们也可以应用于任何其他类型的增长。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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PDF下载：
--> Mathematics_of_Predicting_Growth.pdf (737.6 KB)

2022-5-9 08:17:04 上传

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关键词：Mathematical Quantitative illustrated Internation mathematics

预测增长的数学讨论了数据分析和预测增长的数学方法。起点是对增长率的分析，它可以表示为时间的函数或增长实体的大小的函数。这些方法的应用是通过世界经济增长来说明的，但它们也可以应用于任何其他类型的增长。引言通常的数据分析方法是基于对增长实体的大小变化的检查。这种简单的方法可以推广到检验相关分布，如1/Sorln S，这为数据的解释提供了新的见解。任何数据分析的目的都应该是寻找最简单的数学描述，然后可以用来解释增长机制。不同的数据呈现方式不仅可以从新的角度看待数据，还可以找到一种简单的分析方法。例如，在使用国内生产总值（GDP）或人口规模时，很难分析历史经济增长或人口增长，因为两者都以夸张的方式增长，而且这种增长往往被错误地解释。然而，当使用数据的倒数值1/S时，他们的分析是平凡的（尼尔森，2014）。本出版物中讨论的目的是解释基于增长率检查的数据分析的另一种方法。

数据在科学研究中至关重要，我们越了解如何分析数据，对数据的解释就越成功。数据分析通常从数据的显示开始。如果数据在很大的数值范围内变化，那么使用线性参考比例来显示它们是没有帮助的，因为当大数值清晰显示时，小数值很难解释。在这种情况下，使用半对数参考系来表示它们是一种标准程序，因为这样我们就可以同时研究表征小数据值和大数据值的特征。此外，如果自变量（如时间）的范围也很大，我们可以对两个参考轴使用对数标度。半对数参考标度也可用于确定指数增长，因为这样的增长由一条直线表示。同样，显示数据的倒数值1/S可用于识别一阶双曲线增长，因为它由一条递减直线表示。然而，数据的半对数显示和倒数值显示也有助于研究生长的细节。又名Jan Nurzynski，r。nielsen@griffith.edu.au; ronwnielsen@gmail.com;http://home.iprimus.com.au/nielsens/ronnielsen.htmlSuch对数据进行目视检查之后，可以甚至应该进行数学分析，目的是找到数据的数学描述。请记住，重要的一点是，这种分析应该尽可能简单，因为我们的最终目的是解释增长的机制，如果我们使用复杂的描述，我们可以期待复杂的解释，这可能是不令人信服的。

科学调查的基本原则是寻找最简单的解决方案和解释。不幸地这一原则经常被遗忘，人们似乎一直希望构造复杂的公式（如Artzrouni&Komlos，1985年；Galor，2005a，2011年；Johansen和Sornette，2001年；Khaltourina&Korotayev，2007年；Korotayev，2005年；Korotayev，Malkov&Khaltourina，2006a，2006b；Lagerl"of，2003年），也许是为了给读者留下深刻印象或出版论文。然而，具有讽刺意味的是，这些复杂的公式往往甚至没有经过数据检验。我们应该理解构造和推导数学公式之间的区别。建构的过程完全是由创造性的想象力引导的。各处添加了各种元素，只是因为它们看起来不错，或者因为它们似乎符合我们的要求。它通常是将概念翻译成数学语言，但不正确的概念即使穿着数学服也仍然是不正确的。当一个被研究的过程可以用一个更简单的数学表达式来描述时，这种情况尤其令人费解。构造复杂的数学公式，但不能用可获得的数据进行检验是没有帮助的。

用20年的时间（Baum，2011）发展一个复杂的理论（Galor，2005a，2011），但没有发现其基本假设与该理论发展过程中使用的数据相矛盾（Nielsen，2014），但从未得到正确分析，这无助于科学的进步，而只会促进多元思想的进步和科学的发展对增长机制的无关解释。相比之下，推导数学公式的过程从定义良好的假设开始，并密切遵循逻辑推理的数学链。最终公式可能很复杂，但如果基于最简单的初始假设，它们仍然是可以接受的。我们可以质疑最初的假设，但我们不难理解为什么最终的公式是以某种特定的方式表达的，因为推导这样一个公式的每一步都在数学上是合理的。我们对构造的公式没有这样的保证，因为它们不知从何而来。在科学研究中，不建议构造复杂的数学表达式，但寻找数据的最简单数学表示是合理的，因为将数据的解释建立在数学分析的基础上，比建立在纯粹想象的基础上，或者最好是建立在对数据的表面检查的基础上要好得多（例如，阿什拉夫，2009年；加洛尔，2005a，2005b，2007年，2008a，2008b，2008c，2010年，2011年，2012a，2012b，2012c；加洛尔和莫阿夫，2002年；斯诺登和加洛尔，2008年）。在寻找数据的数学表示时，我们不必从某些简单的假设出发推导数学公式。我们可以使用简单但众所周知的数学分布，例如直线或指数函数。

例如，增长的双曲线解释是基于数据互易值的线性解释。在找到数据的最简单描述之后，下一步是尝试解释为什么数据遵循某种数学定义的分布。我们现在正在寻找增长的机制。基于增长率检查的分析也从找到它们最简单的数学描述开始，但它们必须转化为对增长实体大小的数学描述。这种翻译的结果可能很复杂，但如果它们基于最简单的增长率数学描述，那么它们仍然是可以接受的，因为解释增长机制的最终目的也被简化了。我们不必解释为什么增长率的大小是用复杂的数学分布来描述的，而是为什么增长率可以用某种最简单的方式来描述。例如，我们将看到线性递增的增长率产生了一个非线性增长，这是由一个相当复杂的数学公式描述的。因此，解释相关机制的目的是解释增长率线性下降的原因。如果执行得当，数据的数学分析是科学研究中重要且必不可少的一步。人们经常犯的一个错误是，人口过去是或正在以指数形式增长，这是因为忽视了对数据的分析。经过适当分析，数据表明人口从未呈指数增长。历史经济增长也是如此（尼尔森，2015a）。

现代经济增长可以通过在一定时间范围内使用指数函数来近似（尼尔森，2014），但也可以采用其他轨迹。将任何类型的增长描述为指数增长的流行习惯是不合理的，因为还有许多其他类型的增长。对数据的仔细分析对于解释增长机制至关重要，因为数据可以帮助消除各种不相关的机制。例如，过去的经济增长和人口增长可以用简单的一阶双曲线分布来描述（尼尔森，2014；冯·弗斯特，莫拉和阿米奥特，1960）。这些信息已经向前迈出了重要的一步，因为与其寻找各种可能的增长机制，我们现在可以专注于试图解释为什么历史增长是双向的。我们也可以根据经验增长率的检验，采取另一种方法。双曲线增长的增长率与增长实体的大小成正比。所以现在我们甚至不必问为什么增长是双曲线的，这个问题可能很难回答，因为双曲线分布似乎很复杂，但要问为什么增长率与增长率的大小成正比，这可能更容易回答，因为线性趋势比更复杂的双曲线趋势更容易理解。对S或（）的直接分析很简单，不需要任何进一步的解释。Weshall现在专注于分析增长实体S的增长率R或适当定义的函数（）FS的增长率，如（）lnF S。一般概念是使用最简单的数学分布重现增长率。

Weshall展示了如何将这种简单的增长率数学表示转化为描述研究过程增长的数学表达式。导出的数学公式可能看起来并不简单，但它们将基于最简单的起始步骤。基于这些程序的数据数学表示不仅可以用来描述现有数据，还可以用来预测未来的增长。即使我们知道增长的机制，也没有绝对可靠的预测，因为增长的机制可以改变。我们只能在这样的假设下预测未来，即机制将保持不变，过去的模式将反映在未来的增长中，但即便如此，我们也可能有不止一条未来路径。然而，基于对数据进行严格分析的此类预测可能是有用的。例如，如果我们能够证明经济指数增长的可能性很大，我们可以把这种预测作为一个警告信号，因为指数增长会无限期地增长，并且在一定时间内变得不可持续。其他类型的增长也可能变得不可持续，探索这种可能性是有益的。数学方法生长率由以下等式定义：11dS SRS dt S t（1），其中（）sti是生长实体的大小，t是时间。更明确地说，对于数据的直接计算：1111IIIS t。（2）规模可以代表，例如，国内生产总值（GDP）或人口规模。然而，所描述的数学方法具有普遍的应用。原则上，它们可以用于任何类型的生长。

如果我们有足够多的数据，我们可以使用它们来确定经验增长率，进行数学分析，使用其数学描述来拟合数据并预测增长。如果使用适当定义的分布（）FS而不是S来进行数据分析，那么起点是计算（）FS的增长率：1（）1（）（）（）dF S SRF S dt F S t。（3）使用等式（2）直接从数据计算is增长率的最简单方法。然而，这种计算对局部梯度/林分很敏感。因此，它们通常会产生剧烈波动的增长率，这掩盖了趋势。更好的方法是使用多项式插值梯度/St计算增长率。这种方法可以更清晰地表示增长率。应该注意的是，在拟合数据和预测增长时，增长率的剧烈波动对增长实体的规模没有影响（尼尔森，2015b）。同样，即使是增长率的巨大变化或波动，通常也会产生微不足道的影响。增长实体的行业不是由这些变化决定的，而是由相应增长率的总体趋势决定的。作为一个例子，我们展示了瑞典的数据及其使用恒定自然增长率（RNI）的分析结果。图1的顶部显示了出生率、死亡率以及自然增长率，在这种情况下，这与增长率大致相同，因为迁移率较小。这个数字的下半部分显示了人口的相应增长。很明显，即使是RNI或增长率的大幅波动也没有反映在人口增长中。

这些波动可以忽略不计。此外，如图1顶部所示，RNI（或增长率）不会在一个恒定值附近波动。尽管如此，一个产生指数增长的常量可以很好地复制数据。当RNI（或增长率）远离假定的常数值时，计算的指数增长和数据之间的明显差异就在显示的分布接近尾声时。为了研究这一特性，还需要包含更多的数据。这可能只是暂时的偏离，但也可能是转向一种新趋势。我们的目的不是分析瑞典的数据，而是证明即使是简单的增长率轨迹近似也可以成功地描述人口增长或任何其他增长实体的增长。因此，我们不仅可以忽略增长率的波动，还可以忽略其周期性、长期性的变化，我们只能用增长率的总体趋势来研究增长轨迹和计算未来趋势。图1。瑞典人口统计资料（瑞典统计局，1999年）。增长率可以表示为时间的函数，也可以表示为增长率大小的函数。我们现在将讨论这两种可能性。如果经验定义的增长率可以用一个特定的时间相关函数（）ft来描述，即if1（）dSftS dt，（4）那么为了找到数据的数学表示，我们必须求解以下微分方程：（）dSf t dtS。（5） 它的解决方案是（）exp（）stdt。（6） 如果（）f t r const，（7）等式（4）的解由指数函数（）rtS t Ce（8）给出，其中C与积分常数有关。