作为固定点的亚式期权

引理3.1的一个直接结果是thatP（2（Bt+νt）∈ dz，Aνt∈ dw）=ft、 z，wφZ- 2νt√T其中φ（·）是标准正态分布的密度。从今往后，以Xs=ez，As=a，Ys=i，τ=t为条件，写出P（·| Xs=ez，As=a，Ys=i，τ=t）=P（·），简而言之，我们有P（Zt≤ z′，在≤ a′=Pσ（i）Bt-s+v（i）（t）- （s）≤ z′，Zt-seσ（i）Bu+ν（i）udu≤ E-z（a′）- （a）= P2（Bt′+νt′）≤ z′，Zt′e2（Bu+νu）du≤σ（i）e-z（a′）- a） !！其中我们使用了标度性质σ（i）Bt-slaw=Bσ（i）（t）-s） 以及维生素A的变化≡σ（i）（t）- s） ，ν≡2ν（i）σ（i）。最后，P（Zt）≤ z′，在≤ a′）=Zz′-∞Zw（a′）ft′，z，wφZ- 2νt′√t′dw dz和变量从w到a′的进一步变化结束了证明。4定点4。1主要的合同理论本小节的目的是展示定理2.4。提议4.1。F是S证明上的压缩映射。对于每个（s、z、a、i）和t≥ 固定的，它如下所示∞阿兹∞-∞ez′ψ（z′，a′）dz′da′=e（r（i）-δ） （t）-s） ，所以ρ（i）：=Xj6=iqijZTse-[qi+r（i）]（t-s） Z∞阿兹∞-∞ez′ψ（z′，a′）dz′da′dt=Xj6=iqijZTse-（qi+δ）（t）-s） dt=Xj6=iqiqi+δZTs（qi+δ）e-（qi+δ）（t）-s） dt=Xj6=iqiqi+δ1.- E-（qi+δ）（T）-（s）< 1.那么，ρ：=maxi∈Mρ（i）<1，由此产生不等式| | F（H）|≤ ρ| | H | |，根据需要。定理2.4的（ii）部分和（iii）部分直接来自命题4.1。推论4.2。如果H，H∈ S和H解方程H（S，z，a，i）=F（H）（S，z，a，i）+H（S，z，a，i）（4.1），那么H是唯一的解。证据因为F是一个收缩，所以平移映射F（·）+H也是一个收缩。此后，由于Banach不动点定理，F（·）+H成为一个固定点。这反过来意味着独特性。推论4.3。序列{Hn}∞n=0，其中Hn+1（s，z，a，i）=F（Hn）（s，z，a，i）+H（s，z，a，i），以几何收敛率ρ=maxi收敛到固定点H∈MXj6=iqiqi+δ1.- E-（qi+δ）（T）-（s）< 1.证据。多亏了推论4.2，{Hn}∞n=0在上确界范数下趋于H。

我们有Hn+1- H=F（Hn）- F（H）=F（Hn）- H） 。然后使用F是a的事实，| | Hn+1- H | |≤ ρ| | Hn- H | |和| Hn+1- Hn | |≤ ρn | | H- H | |其中ρ在命题4.1.4.2中定义。在本小节中，我们展示定理2.5。考虑函数g（s，z，a，i）=e-zC（s，ez，a，i），g（s，z，a，i）=e-zC（s，ez，a，i）。注意（3.1）可以写成asg（s，z，a，i）=e-齐（T）-s） g（s，z，a，i）+ZTsqie-齐（t）-s） Es，x，a，iE-r（i）（t）-s） eZtg（t，z+Zt，At，Yt）|τ=tdt。（4.2）此外，Es，x，a，iE-r（i）（t）-s） eZtg（t，z+Zt，At，Yt）|τ=t=Xj6=ikijqiz∞阿兹∞-∞E-r（i）（t）-s） ez′g（t，z+z′，a′，j）ψ（z′，a′）dz′da′，其中ψ是命题3.2中的密度，方程（4.2）右侧的第二项则为SXJ6=iqijZTse-[qi+r（i）]（t-s） Z∞阿兹∞-∞ez′g（t，z+z′，a′，j）ψ（z′，a′）dz′da′dt。这是（2.4）中定义的映射F，我们可以进一步写出（s，z，a，i）=F（g）（s，z，a，i）+e-齐（T）-s） g（s，z，a，i）。（4.3）4.3固定走向情况在本小节中，我们展示定理2.6。对于s≤ t（起始和前进起始选项），考虑函数SH（s，z，a，i）=e-zCK（s，ez，a，i），h（s，z，a，i）=e-zCK（s，ez，a，i）。在这种情况下，在结构上与洪水走向类似，我们得到了方程h（s，z，a，i）=F（h）（s，z，a，i）+e-齐（T）-s） h（s，z，a，i），s≤ T

（4.4）对于s>t（进行中的选项），考虑函数h（s，z，a，i）=e-ZCK（s，ez，a，i）-在-T,~h（s，z，a，i）=e-ZCK（s，ez，a，i）-在-T,所以（3.2）可以写成h（s，x，a，i）+ae-zT- t=e-齐（T）-（s）~h（s，x，a，i）+ae-zT- T+ZTsqie-齐（t）-s） Es，x，a，iE-r（i）（t）-（s）eZt~h（t，z+Zt，At，Yt）+ae-zT- T| τ=tdt。经过一些代数运算，我们得到了方程，对于s>t，~h（s，z，a，i）=F（~h）（s，z，a，i）+e-齐（T）-s） ~h（s，z，a，i）+~h（s，z，a，i），其中额外项是（2.6）中的~his。4.4迭代定理2.4提供了一种迭代方法来近似亚式期权函数。例如，我们可以近似地表示g（s，z，a，i）=e-zC（s，ez，a，i），z=ln（x），通过固定的小误差，比如>0:g（s，z，a，i）=e-（齐（T）-s） +z）C（s，ez，a，i），gn+1（s，z，a，i）=F（gn）（s，z，a，i）+g（s，z，a，i），n≥ 0如果| | gn+1- 站住。观察到股息率δ越大，收敛速度越快。这可以用上面ρ（i）的表达式来表示。虽然该算法在理论上是一种近似算法，并提供了一种替代方法来解决某个偏微分方程系统，这在期权定价中很常见，但我们应该提到，为了近似函数g（然后是C），有必要首先计算迭代的初始函数C。对CI的良好估计对于避免在迭代中放大误差非常重要。在这方面，我们知道，定义密度ψ时出现的所谓哈特曼-沃特森密度确实难以实现。为了分析这种近似所产生的误差的影响，假设迭代的初始函数是，比如g∈ 然后映射F（·）+gis也是一个具有相同收敛速度ρ的收缩。

此外，不动点定理意味着序列{gn}n≥0定义为gn+1:=F（~gn）+g，n≥ 0收敛到一个固定点，比如说g，它解方程g=F（g）+g。因此，我们可以检查| | g- g | |≤1.- ρ| | g- g | |。换句话说，算法的准确性与初始步骤产生的误差成正比。引理2.1的证明。确定概率测度P*通过R adonNikodym派生P相当于P*dP | FT=ETwhereEt:=expZtσ（Yu）dBu-Ztσ（Yu）du.看涨期权满足（s，x，a，i）x=Es，x，a，i“e”-RTsr（Yu）duXTx1.-T-塔克斯特+#= 是的，是的，是的-1se-δ（T）-（s）1.-T-塔克斯特+#= E*s、 x，a，i“e”-δ（T）-（s）1.-T-塔克斯特+#≤ 1.期望值在哪里*是对P的回应*. 结果现在很清楚。引理2.2的证明。继引理2.1的证明之后，我们得到了c（s，x，a，i）=E*s、 x，a，i“e”-δ（T）-（s）十、-xT-塔克斯特+| Yt=i，T∈ [s，T]#和^Bu=Bu-Ruσ（Ys）ds是P下的布朗运动*. 这里，xATXT=xXTa+ZTsXudu.过程（B）*u） s≤U≤T、 由B定义*u:=B*s+^BT+s-U-^btb*sa常数，也是P下的布朗运动*开始t B*s、 现在，条件是所有t的Xs=x，As=a和Yt=i∈ [s，T]，xXT=expσ（i）（^Bs）-^BT）+r（一）- δ+σ（i）（s）- （T）法律=经验σ（i）（B）*T- B*（s）+δ - r（一）-σ（i）（T）- （s）andxZTsXuXT=ZTsx expσ（i）（^Bu）-^BT）+r（一）- δ+σ（i）（u）- （T）dulaw=ZTsx expσ（i）（B）*T+s-U- B*（s）+δ - r（一）-σ（i）（T）- u）du=ZTsx expσ（i）（B）*W- B*（s）+δ - r（一）-σ（i）（w）- （s）其中，变量w=T+s变化后，第三个等式得到-u、 因此，C（s，x，a，i）被给出*s、 x，a，i“e”-δ（T）-（s）十、-斧（T）- t） X*T-T- sT公司- tT- sZTsX*乌杜+#其中底层流程X*followsdX*t=X*t[（δ- r（i））dt+σ（i）dB*t] ，X*s=x，t≥ s、 定义参数λ=ax（T-t） β=t-sT公司-证据是完整的。引理2.3的证明。第（一）部分。让我们≤ T

ThenCK（s，x，0，i）≤ Es，x，0，iE-RTsr（Yu）duATT-T≤T- tZTtEs，x，0，ihe-Rtsr（Yu）duXtidt≤xT- tZTte-δ（t）-s） dt≤ x、 第（二）部分。让s>t.ThenCK（s，x，a，i）≤ 是的，是的，是的，是的-RTsr（Yu）dua+RTSXDTT- t#≤在- t+T- sT公司-TT-sZTsEs，x，a，ihe-Rtsr（Yu）duXtidt≤在- t+T- sT公司-T十、≤在- 感谢裁判们的宝贵意见，这大大改进了这项工作。参考文献[1]Boyle，P.，Draviam，T.：制度转换下的奇异期权定价。保险数学。经济。40, (2007), 26 7-282.[2] 布林顿，J.，艾略特，R.：政权转换和欧洲选项。《随机理论与控制：堪萨斯州劳伦斯研讨会论文集》。控制与信息科学讲师（2002），281-300。[3] 蔡N.，宋Y.，寇，S.：马氏过程下亚式期权定价的一般框架。奥普。第63号决议（2015），540-554。[4] Chan，L.，Zhu，S.-P.：一个明确的分析公式，用于在制度转换的情况下对障碍期权进行定价。数学菲南。经济部。9, ( 2015), 29 -37.[5] Carr，P.，Schr¨oder，M.：贝塞尔过程，几何布朗运动的积分，和亚式期权。Probab理论。应用程序。，48, (2004), 400-425.[6] Dan，D.-M.，Nguyen，D.，Sewell，G:在依赖于国家的制度转换跳跃扩散模型下亚洲期权定价的数值方案。康普特。数学阿普尔。71, (2016), 443-458.[7] Funahashi，H.，Kijima，M.：与平均数相关的期权定价的统一方法。你是v·德里夫。第20号决议（2017年），第203-229页。[8] 杰曼，H.，约尔，M.：贝塞尔过程，亚洲期权和永久性。数学《金融3》（1993），34 9-375。[9] 郭，X，张，Q：具有制度转换的永久美式看跌期权的闭式解。暹罗J.阿普尔。数学64, (2004) , 2034-2049 .[10] 汉密尔顿，J.D.：制度变迁的理性预期经济计量分析。J.经济。戴恩。

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