作为固定点的亚式期权

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英文标题：
《Asian option as a fixed-point》
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作者：
Adriana Ocejo
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We characterize the price of an Asian option, a financial contract, as a fixed-point of a non-linear operator. In recent years, there has been interest in incorporating changes of regime into the parameters describing the evolution of the underlying asset price, namely the interest rate and the volatility, to model sudden exogenous events in the economy. Asian options are particularly interesting because the payoff depends on the integrated asset price. We study the case of both floating- and fixed-strike Asian call options with arithmetic averaging when the asset follows a regime-switching geometric Brownian motion with coefficients that depend on a Markov chain. The typical approach to finding the value of a financial option is to solve an associated system of coupled partial differential equations. Alternatively, we propose an iterative procedure that converges to the value of this contract with geometric rate using a classical fixed-point theorem.
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中文摘要：
我们将金融合约亚式期权的价格描述为非线性算子的不动点。近年来，人们有兴趣将制度变化纳入描述基础资产价格（即利率和波动性）演变的参数中，以模拟经济中的突发外生事件。亚洲期权尤其有趣，因为回报取决于综合资产价格。我们研究了具有算术平均的浮动和固定行使亚洲看涨期权的情况，当资产遵循区域切换几何布朗运动，其系数依赖于马尔可夫链。寻找金融期权价值的典型方法是求解相关的耦合偏微分方程组。或者，我们提出了一个迭代过程，使用经典的不动点定理，以几何速率收敛到这个契约的值。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
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关键词：亚式期权 固定点 Differential Quantitative coefficients

亚洲期权作为固定点Adrian a Ocejo*2018年4月摘要我们将金融合约亚式期权的价格描述为非线性算子的执行点。近年来，人们有兴趣将制度变化纳入描述基础资产价格演变的参数，即利率和波动性，以模拟经济中的突发外生事件。亚洲期权尤其有趣，因为其收益取决于综合资产价格。我们研究了当资产遵循一个系数依赖于马尔可夫链的区域切换几何布朗运动时，采用算术平均法的浮动和固定行使亚洲看涨期权的情况。确定金融期权价值的典型方法是求解耦合部分微分方程的关联系统。或者，我们提出了一个迭代过程，使用经典的不动点定理，以几何速率收敛到该契约的值。关键词。亚式期权、马尔可夫调制、制度转换、定点、浮动打击、固定打击、综合几何布朗运动。AMS学科分类（2010年）。初级91B70，47H10；次级60J6 0.1简介在本文中，当基础资产的利率和波动性在定价期间受到制度变化的影响时，我们使用定点定理来描述浮动罢工看涨期权（定义如下）的价格。接下来我们精确地阐述这个问题。让(Ohm, F、 P）是支持布朗运动B=（Bt）t的概率空间≥0和一个连续时间马尔可夫链Y=（Yt）t≥0独立于B，有限状态空间M={1,2。

，m}和生成器Q=（qij）m×m，qij≥ 0表示I6=j，Xj∈Mqij=0，qi:=-检验指导书≥ 0*北卡罗来纳大学夏洛特分校数学与统计系，amonge2@uncc.edu, +1(704)687-1413.这项工作的部分资金来自北卡罗来纳大学夏洛特分校。假设在P条件下，标的资产价格遵循几何布朗运动x=Xt[（r（Yt）-δ） dt+σ（Yt）dBt]，0≤ T≤ T、 其中r（i）>0和σ（i）>0分别表示无风险利率和regimei的波动率，以及δ≥ 0是股息率。由{（Xu，Yu）生成的西格玛代数表示：0≤ U≤ t} 。在本文中，我们定义了一个时间t∈ [0，T），并定义集成过程：≤ T≤ 为了方便起见，我们将A的定义扩展为t的At=0∈ [0，t]。欧洲看涨期权有支付（XT）- K） +在时间T，其中K>0是一个执行标准。亚洲期权是一种路径依赖型欧式期权，其收益取决于时间间隔[t，t]内过去价格的平均值。亚洲期权主要分为固定罢工（当XT被AT取代，罢工K被固定）或浮动罢工（当K被AT取代）。

在本文中，我们研究了这两种情况。更准确地说，当时的价格是∈ [0，T]的一个亚式看涨期权，在T处具有浮动冲击，由c（s，x，a，i）=Es，x，a，i“e”决定-RTsr（余）杜XT-ATT- T+#, （1.1）当行使价格为K isCK（s，x，a，i）=Es，x，a，i“e”的固定行使期限为T的亚洲看涨期权-RTsr（余）杜ATT-T- K+#, （1.2）其中我们使用符号Es，x，a，i[·]表示E[·| Xs=x，As=a，Ys=i]，x>0，a≥ 0.这些选项被称为s=t时开始，s>t时进行中，s<t时向前开始。体制转换过程最初由汉密尔顿在其离散时间模型的经济研究中提出，其影响是通过未观察到的离散时间两状态马尔可夫链（见[10]，[11]）合并模型参数的变化。从那时起，在制度转换系数的假设下，出现了几种金融工具的定价方法。这种模型成功地将经济中的突然变化纳入其中，并弥补了经典Black-Scholes模型由于漂移和波动参数的恒定性而存在的一些缺陷。提到一些文献，Bungton和Elliott[2]、Yao等人[21]和Zhu等人[24]专注于香草欧洲选项；郭和张[9]研究了永久美国看跌期权；Chan和Zhu[4]处理障碍选项。尽管区域转换模型非常突出，但在这种背景下有关亚洲选项的文献却很少。对于固定罢工选项的类别，已经做了一些工作，例如，见Boyle和Draviam[1]和Dan等人[6]。pricingmethods通常需要求解耦合偏微分方程的系统。

在本文中，我们基于具有上确界范数的Banach空间的不动点定理，在状态数m为任意数的情况下，探讨了一种替代性的方法来定价具有区域切换的浮动式亚式看涨期权。该算法的初始值正好是固定的亚洲选择权的价格，而无需切换区域，这在文献中得到了更广泛的研究。例如，Geman和Yor[8]利用贝塞尔过程的概率特性，给出了范数化固定走向亚洲期权的拉普拉斯变换表达式。标准化亚洲选项解决了对约尔过程aνt函数的期望，见下文（3.4）。然后，可以通过拉普拉斯变换的反演来获得期权的价格，尽管他们指出这种反演并不容易。后来，卡尔和施罗德[5]基于拉普拉斯变换技术，提供了价格的显式积分表示。同年，莱恩茨基[17]采取了不同的方法，并表明标准化价格是差异X上的向上和向外期权的极限，每种期权都是已知特殊功能的一系列代表。最近，Cai等人[3]获得了一种基于近似连续时间马尔科夫链序列的亚式期权定价算法，该序列收敛于基础资产价格过程。其他作者也提供了价格界限，参见Rogers和Shi[19]使用迭代条件预测的例子。这篇论文的结构如下。在第2节中，推导出了买入期权的便利上界，以及在无区域切换的情况下，在起始流动行权看涨期权和固定行权看跌期权之间的对称关系。为了确保相关函数在缩放后属于某个收缩算子的域，这些上界是至关重要的。

我们在本节末尾总结了论文的主要结果。接下来，在第3节中，我们将函数C和CK分为两部分，一部分将支付限制为马尔可夫链在到期前跳跃的事件，另一部分限制为马尔可夫链在期权生命周期内不跳跃的补充事件。在第3.1节中，我们发现了该对的关节密度（Zt，At），其中Zt=log（Xt/x），给出了t>s的时间s之前的信息，并给出了s之后的Markovchain的第一次跳跃时间发生在时间t。我们在第4节中使用了该密度，其中，我们将函数C和Ck描述为一个序列的极限（在上确界范数中），其初始点是一个无区域切换的亚式看涨期权的价格。收缩算子是一种非线性算子，表示为三重积分，用于解释到期前不同状态的跳跃。本文中的想法是由Yao等人使用的方法激发的。[21]适用于香草欧洲选项的定价。在我们的语境中，困难源于这样一个事实：亚式期权是路径依赖的，几何布朗运动及其积分过程的联合密度是必需的。尽管如此，不动点定理方法在这种情况下运行良好，我们能够证明序列的收敛速度是几何的。初步引理的证据见附录。2初步结果和主要结果众所周知，欧洲看涨期权的价格高于基础过程的当前价格。这也适用于（1.1）中的浮动走向选项和（1.2）中的固定走向选项，直到一个常数，并将用于固定点近似。下一个引理的证明见附录。引理2.1。对于任何初始条件（s，x，a，i）和s∈ [0，T]，x>0，a≥ 0，C（s，x，a，i）≤ 十、

（2.1）在区间[s，t]，C（s，x，a，i）：=Es，x，a，i“e”内无跳跃的链上定义看涨期权-r（i）（T）-（s）XT-ATT-T+| Yt=i，T∈ [s，T]#。当期权开始或向前启动时，有可能在相关的浮动行使看涨期权C（s、x、0、i）和固定行使看跌期权之间建立对称性，每个i∈ M.当该选项正在进行时，它相当于代理启动选项（见下文（2.2））。例如，Henderson和Wojakowski[12]以及Henderson等人[13]在没有体制转换的经典设置中研究了这种对称结果。下一个引理的证明包含在陈述的完整性中，但[13]中使用了类似的引理。引理2.2。对于任何初始条件（s，x，a，i）和s∈ [0，T]，x>0，a≥ 0，C（s，x，a，i）=E*s、 x，a，i“e”-δ（T）-（s）十、- λX*T- βT- sZTsX*乌杜+#（2.2）式中λ=ax（T-t） β=t-sT公司-忍受期待*是关于一个等价的鞅测度P*在这下面*求解随机微分方程dx*t=X*t[（δ- r（i））dt+σ（i）dB*t] ，X*s=x，t≥ s、 特别是，如果期权开始（s=t）或向前开始（s<t），则a=0，浮动行权可将期权CI等同于固定行权卖出期权。具体来说，C（s，x，0，i）=E*s、 x，0，i“e”-δ（T）-（t）十、- βA*TT- T+#（2.3）如果*T=RTtX*udu和β≥ 1.在（2.3）中，有一些众所周知的方法可以在不切换效率SA的情况下确定罢工选项，引言中引用了一些工作。使用上述任何一种方法，结合固定行使亚洲期权的所谓看跌期权平价（见[14，p.220]），可以计算Cin（2.3）的值。相比之下，显式计算（2.2）的方法更难访问。

在Funahashi和K ijima[7]最近的一项工作中，他们通过应用所谓的混沌展开方法，为广义亚式期权提供了一种近似方法。当没有封闭式公式时，蒙特卡罗方法可以用作基准，参见[15]。现在我们来讨论固定罢工选项的情况。引理2.3。用s修复初始条件（s，x，a，i）∈ [0，T]，x>0，a≥ 0.（i）如果≤ t当a=0且CK（s，x，0，i）时≤ x、 （ii）如果s>T（s，x，a，i）≤在-t+x。我们在本节结束时总结了本文的主要结果，并在后面的章节中详细介绍了技术细节。考虑所有可测函数H:e7的banach空间S→ R、 E=[0，T]×R×R+×M，带上确界范数| | H |：=sup（s，z，a，i）∈E | H（s，z，a，i）|。让F:s7→ S由f（H）（S，z，a，i）定义：=Xj6=ikijztse-[qi+r（i）]（t-s） Z∞阿兹∞-∞ez′H（t，z+z′，a′，j）ψ（z′，a′）dz′da′dt（2.4），其中ψ是稍后推导的联合密度函数（见下面的命题3.2）。我们现在陈述主要结果。定理2.4（收缩）。（i） F是S.（ii）上的压缩映射，如果H，H∈ S和dh解方程H（S，z，a，i）=F（H）（S，z，a，i）+H（S，z，a，i），那么H是唯一的解。（iii）序列{Hn}∞n=0，其中Hn+1（s，z，a，i）=F（Hn）（s，z，a，i）+H（s，z，a，i），以几何收敛率ρ=maxi收敛到固定点H∈MXj6=iqiqi+δ1.- E-（qi+δ）（T）-（s）< 1.（2.5）我们专注于以下亚洲选项。定理2.5（作为固定点的浮动期权）。

定义功能g，g∈ Sbyg（s，z，a，i）：=e-zC（s，ez，a，i），g（s，z，a，i）：=e-齐（T）-s） e-zC（s，ez，a，i）。那么g是fg（s，z，a，i）=F（g）（s，z，a，i）+g（s，z，a，i）的固定点。此外，序列{gn}∞n=0，其中gn+1=F（gn）+gc收敛到g，几何级数为收敛ρin（2.5）。对于固定走向的亚洲期权，近似序列的初始条件取决于期权是启动、向前启动还是前进。更准确地说，我们有以下声明。定理2.6（作为固定点的固定行使期权）。（i） 如果是≤ t、 定义函数sh，h∈ S byh（S，z，a，i）：=e-zCK（s，ez，a，i），h（s，z，a，i）：=e-齐（T）-s） e-zCK（s，ez，a，i）。那么h是h（s，z，a，i）=F（h）（s，z，a，i）+h（s，z，a，i）的固定点。此外，序列{hn}∞n=0，其中hn+1=F（hn）+h与收敛ρin（2.5）的几何格一致。（ii）如果s>t，则定义函数s~h，~h∈ S×h（S，z，a，i）：=e-ZCK（s，ez，a，i）-在- T,~h（s，z，a，i）：=e-齐（T）-s） e-ZCK（s，ez，a，i）-在- T+~h（s，z，a，i）其中~h（s，z，a，i）=ae-zT- T齐齐+r（一）1.- e（qi+r（i））（T-（s）+ E-齐（T）-（s）- 1.. （2.6）那么h是h（s，z，a，i）=F（~h）（s，z，a，i）+h（s，z，a，i）的固定点。此外，序列{hn}∞n=0，其中hn+1=F（hn）+hC在收敛ρin（2.5）的几何条件下收敛到h。3在第一次跳跃时间上进行调节，使我们乘以当前时间∈ [0，T]贯穿本文的其余部分。Conditionalon Ys=i，让τ表示时间s之后马尔可夫链Y的第一跳时间，即τ=inf{t>s:Yt6=i}。我们知道τ随参数qi呈指数分布。

显然，C（s，x，a，i）=e-齐（T）-s） C（s，x，a，i）+Es，x，a，i-RTsr（余）杜XT-ATT-T+(τ ≤ T）#。（3.1）同样，CK（s，x，a，i）=e-齐（T）-s） CK（s，x，a，i）+Es，x，a，i-RTsr（余）杜ATT- T- K+(τ ≤ T）#。（3.2）注意，通过将（3.1）中的预期条件化为跳跃时间τ=t，t≥ s、 我们可以把它写成，x，a，i-RTsr（余）杜XT-ATT-T+(τ ≤ T）#=ZTsqie-齐（t）-s） 是的，是的，是的，是的-RTsr（余）杜XT-ATT- T+| τ=t#dt=ZTsqie-齐（t）-s） Es，x，a，iE-r（i）（t）-s） C（t，Xt，At，Yt）|τ=t利用（t，Xt，At，Yt）的马尔可夫性质。固定罢工案也有类似的论点。在接下来的过程中，可以方便地使用进程zt:=Ztsσ（Yu）dBu+Ztsr（余）- δ -σ（余）杜特≥ sso thatXt=exp（z+Zt），z:=ln（x）。（3.3）3.1（Zt，At）的密度以Xs=ez，As=a，Ys=i和τ=t为条件，得出ztlaw=σ（i）Bt-s+v（i）（t）- s） ，ν（i）：=r（i）- δ -σ（i）andAt=a+ZtsXudulaw=a+ezZt-seσ（i）Bu+ν（i）udu。该对（Zt，At）独立于yt，其分布可以显式计算。为此，defi~nt:=Zte2（Bu+νu）du，ν∈ R.（3.4）以下初步结果应归功于Yor[23]。引理3.1。我们有∈ dw | Bt+νt=z）=f（t，z，w）dw其中√2πtexp-z2tf（t，z，w）=wexp-2w（1+e2z）θez/w（t）和θr（t）=r√2πtexpπ2tZ∞E-y/2te-r cosh（y）sinh（y）sin（πy/t）dy.我们参考[23]中的命题2进行证明。提议3.2。在Xs=x=ez，As=a，Ys=i，τ=t的条件下，这对（Zt，At）的节理密度ψ（z′，a′）由ψ（z′，a′）=σ（i）e给出-zf（t′，z′，w（a′）φz′- 2νt′√t′{R×[a，∞]},w（a′）=σ（i）e-z（a′）- a） t′=σ（i）（t）- s） 。证据