具有可违约数量的金融模型

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英文标题：
《Financial Models with Defaultable Num\\\'eraires》
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作者：
Travis Fisher, Sergio Pulido, Johannes Ruf
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Financial models are studied where each asset may potentially lose value relative to any other. Conditioning on non-devaluation, each asset can serve as proper num\\\'eraire and classical valuation rules can be formulated. It is shown when and how these local valuation rules can be aggregated to obtain global arbitrage-free valuation formulas.
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中文摘要：
金融模型研究的是每种资产相对于任何其他资产可能会失去价值的情况。在不贬值的条件下，每一项资产都可以作为适当的基准，并且可以制定经典的估值规则。本文展示了何时以及如何将这些局部估值规则进行聚合，以获得全球无套利估值公式。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Financial_Models_with_Defaultable_Numéraires.pdf (274.82 KB)

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关键词：金融模型 Conditioning Differential Quantitative Applications

具有可违约数量的金融模型*Travis Fisher+Sergio Pulid oJohannes Ruf§2018年10月16日摘要研究了金融模型，其中每种资产相对于任何其他资产可能会失去价值。在不贬值的条件下，每项资产都可以作为适当的基准，可以制定经典的估值规则。本文展示了何时以及如何将这些局部估值规则进行聚合，从而从ulas中获得无全球轨道的估值。关键词：可违约的不确定性；贬值非经典估值公式。AMS科目分类（2010）：60G48、60H99、9 1B24、91B25、91B70、91 G20、9 1G40。JEL分类：D5 3，G13。1简介金融市场的经典模型是建立在一系列随机过程之上的，这些随机过程以预先指定的数量为单位描述标的资产价格在整个时间内的随机动态。这种货币账户通常也被解释为货币市场账户，是一种不能贬值的资产。在本文中，我们讨论了存在多个金融资产的情况，其中任何一个都可能失去相对于其他资产的所有价值。因此，这些资产中没有一项可以作为适当的资产。考虑基础资产贬值的或有权益定价模型有很多。例如，它们自然出现在信用风险中。在Sch–onbucher（20032004）引入的术语中，此类资产被称为可违约资产。Jarrow和Yu（2001年）、Collin Dufresne等人（2004年）和Jamshidian（2004年）是这些文献的进一步例子。外汇金融模型提供了其他类型资产的例子，这些资产可能会因发生过度通货膨胀而贬值；例如，见C^amara和Heston（2008年）、Carr等人（2014年）和Kardaras（2015年）。*我们感谢Monique Jeanblanc、Martin Larsson、Martin Schweizer和Hideyuki Takada的有益讨论。

我们非常感谢裁判和副主编的仔细阅读和富有洞察力的评论。S.P.的研究得益于转型期椅子市场（法国银行）和ANR 11-LABX-0019项目的支持。根据欧盟第七框架计划（FP/2007-2013）/ERC第307465-POLYTE号拨款协议，SP的研究也得到了欧洲研究理事会的资助。J.R.感谢牛津大学牛津定量金融研究所的慷慨支持。本文所述观点是作者自己的观点，不一定代表摩根士丹利或其附属公司的观点，也不是摩根士丹利研究的产品。+无任何联系，电子邮件：traviswsher@gmail.com.埃弗里（LaMME）数学实验室、埃弗里-瓦尔-德桑大学、恩西大学、巴黎大学、UMR CNRS 8071、法国埃弗里塞德斯大道23号IBGBI，91037，电子邮件：sergio。pulidonino@ensiie.fr.§英国伦敦霍顿街哥伦比亚大厦伦敦经济与政治学院数学系，邮编：j。ruf@lse.ac.uk.The术语“可违约金额”有时出现在信用风险文献中，具有不同的含义，即描述具有严格正向但不适用的价格过程的资产；例如，Bielecki等人（2004年）使用了这一定义；另见Brigo（2005）。然而，在这里，我们遵循了Sch¨onbucher（2003，2004）的精神，其中一个可违约数是一个正概率为零的非负半鞅。相反，一个适当的数应该是严格正半鞅。另一类备受关注的模型涉及资产价格过程的严格局部鞅动力学；例如，参见Sin（1998）和Heston等人（2007）。

通常选择这种模型是因为它们可以被解释为气泡（Protter（2013））或者它们可以分析处理（Hulley and Platen（2012），Carr等人（2013））。从业人员（Lewis（2000年）、Paulot（2013年））和学者（Cox和Hobson（2005年）、Madan和Yor（2006年））都提出了此类模型中未定权益的非经典估值公式，以便与市场价格保持一致。在本文中，我们认为严格的局部鞅动力学与相应的数值贬值的解释是一致的。然后，这种观点使我们能够将Lewis（2000）估值公式中的修正项解释为在数字贬值的情况下，包含索赔的支付价值。因此，Lewis（2000）、Madan and Yor（2006）、Paulot（2013）或K ardaras（2015）的估值公式作为本文框架的特例出现。与本文平行的是，Herdegen和Schweizer（2017）开发了另一个始终保证看跌期权平价的统一通用估值框架。本文的贡献可以总结如下。1.它解释了严格的局部鞅模型，它可以通过定义违约概率为正的数来产生。非经典估值公式，恢复看跌期权平价，可以在经济上进行调整和扩展。2.目前，假设每项资产都存在一个概率测度，根据该测度，贴现价格（对应资产为num’eraire）是局部鞅（甚至是超鞅）。这些措施不必等同。本文提供了将这些度量聚合为无套利估值算子的条件，该算子考虑了所有贬值事件。在第2节中，我们将介绍该框架。我们考虑d资产的一个模型。

我们考虑的是外汇市场，因此将这些资产称为“货币”，但实际上这些资产可以代表任何非负值的资产。我们将一个单位的第j种货币的价值表示为Si，j。我们对这些汇率的完整矩阵（Si，j）i，jof进行建模。这很方便，因为我们的主要结果是根据汇率矩阵中包含的相对价格得出的。如果第j种货币在时间t时相对于第i种货币贬值，我们有Si，j（t）=0和Sj，i（t）=∞. 在这种情况下，第j种货币不能用作数字，该货币的数学金融单位的标准结果不适用。然而，在这种设置中，篮子可以用作一个数字。也就是说，由每种货币的一个单位组成的投资组合，其价值为Pi、jSi、j，以第i种货币计量，是一个有效的数值。第三部分是本文的主要贡献。首先，考虑了num’eraire一致概率测度的家族。从某种意义上说，这些指标中的每一项都对应于将特定货币作为基础货币。当篮子被视为num\'eraire时，我们将分解称为从估值度量中构造这一系列num\'eraire一致概率度量的步骤。我们称之为相反的步骤，即采取一系列可能不等价的概率测度，将不同货币对应为数值，并为篮子构建一个估值测度。将一个严格的局部鞅模型嵌入到一系列数一致的概率测度中，然后将这些测度相加，得到了Lewis（2000）、Madan和Yor（2006）、Paulot（2013）和Carr等人（2014）的非经典估值公式。这种观点有两个优点。

首先，它给出了任何一种未定权益的一般估值公式。这些公式与上述非经典估值公式一致，这些公式通常仅适用于特定索赔。第二，它给出了一个经济学解释，即缺乏鞅性质，即潜在的num’eraire违约的可能性。第四部分是主要结果的证明。我们指出了Tehranchi（2014）最近的工作，他认为，在一个经济体中，给定非交易货币的报价不一定是正的。未研究资产之间的相对价格。相反，Tehranchi（2014）专注于不同的套利概念，考虑到代理可能无法用明天的消费替代今天的消费。注：在本文中，我们定义了一个确定的时间范围T>0，并考虑了一个具有d的经济体∈ N贸易数据集，称为“货币”。为了减少符号，我们将使用通用字母t表示时间，并避免使用限定符“∈ [0，T]”。我们还将使用通用字母i、j、k表示货币，并再次避免使用“限定符”∈ {1，··，d}”。例如，我们将写“Pj”来表示“Pdj=1”。当产生一个过程X=（X（t））t∈[0，T]，我们通常省略“=（X（T））T∈[0，T]”。如果v∈ 我们理解表格v的性质≥ 0组件。对于一个m atrixΓ∈ Rd×d，我们用Γ的第i行表示。此外，我们使用公约 = ∞ 我们用| a |表示可数集a的基数。此外，我们强调两个数x，y的乘积xy∈ [0, ∞] 除非（a）x=0和y=∞ 或（b）x=∞ y=0。我们提供了一个经过过滤的空间(Ohm, F（T），（F（T））T，其中过滤（F（T））被假定为正确的连续性，而F（0）是微不足道的。

在没有概率测度的情况下，所有涉及随机变量或事件的语句都应该对所有ω保持路径∈ Ohm. 为了一个活动∈ F（T），我们将1A（ω）×设为∞ andA（ω）×(-∞) 到∞ 和-∞, 分别为ω∈ 对于所有ω，A和为0/∈ A.现在让我们考虑一个可能性度量Q(Ohm, F（T））。对于每一个t，我们为相应的期望算子写Eqf，为条件期望算子写Eqt。我们让L（Q）表示实值随机变量Z的（等价类）空间，使得EQ[|Z |]<∞. 对于X（0）=0的实值半鞅X，我们写E（X）来表示它的随机指数；也就是说，E（X）=eX-[X，X]c/2Ys≤·(1 + Xs）e-Xs，在哪里X=X- 十、-[X，X]C强调X.2框架中连续部分的二次变化。本节介绍了交换矩阵的概念，以表示基础货币的价格，以及价值向量的相关概念，以描述货币为基础的或有权益的估值。我们把自己置身于一个经济体，其特点是d货币通过[0，∞]d×d-有值，右连续，（F（t））t-适应过程S=（Si，j）i，j。这里，过程Si，j表示第j种货币的价格过程，单位为第i种货币。我们还参考了Veˇceˇr（2011），这里也采取了类似的观点。为了简化下面的分析，我们假设利率为零。或者，我们可以将Si，j（t）解释为第j个货币市场的一个单位在时间t时的价格，即第i个货币市场的单位，对于每个i，j和t。为了给矩阵值过程S提供经济意义，我们假设它满足一定的一致性条件。

形式上，我们假设S（t）是每个t的交换矩阵，从以下定义的意义上来说。定义2.1（交换矩阵）。交换矩阵是d×d维矩阵s=（si，j）i，jtaking[0，∞]d×d，当产品定义时，所有i，j，k的性质为si，i=1和si，jsj，k=si，k。请注意，定义尤其意味着交换矩阵s也满足si，j=0，且仅当sj，i=∞ 总之，定义的一致性条件2。1.保证以下内容：对于固定的i、j、k，想要将第i种货币单位兑换成第k种货币单位的投资者，在直接将第i种货币的si、kunit兑换成第k种货币或相反，采用间接方式，首先将第i种货币的适当单位兑换成第j种货币，然后将这些单位兑换成第k种货币。对于每个t，我们定义了“活跃货币”A（t）的指数集=i:XjSi，j（t）<∞.如果我∈ A（t）对于某些t，则第i种货币没有对任何其他货币贬值。为了简化记数法，我们假设A（0）={1，·d}；也就是说，在时间0时，没有任何货币贬值。备注2.2（强势货币的存在）。我们总是有一个（t）6= 更精确地说，如果s是交换矩阵，则存在i，使得si，j≤ 1对于所有的j.为了看到这一点，我们在指数{1，…，d}的集合上定义了一个总的前序，如下所示： k当且仅当sj，k≥ 1，也就是说，当且仅当第k种货币比第j种货币“更强”。定义的一致性条件2。1.保证这是一个完整的预订单。由于指数集是有限的，因此存在一个（不一定是唯一的）与“最强”货币对应的最大指数i。

对于这样一个指数，我们有si，j≤ 1对于所有j.我们感兴趣的是除了d货币之外的其他经济资产，以及它们相对于这些货币的相对价值。为此，我们引入了价值向量的概念。定义2.3（交换矩阵的值向量）。交换矩阵s的值向量是d维向量v=（vi）表示[0]中的值，∞ ]当产品定义时，所有i，j的性质为si，jvj=vi。价值向量根据d货币对资产的估值进行编码。更准确地说，第i个部分描述了获得一个特定货币集所需的第i个货币单位。定义中的一致性条件2。3再次保证，想要获得新资产单位的投资者不愿意为了获得该资产而首先将其货币兑换成另一种货币。Weshall writeC=（C:C是F（T）——S（T）的可测值向量）。对于所有i，我们用i（i）表示与第i种货币的一个单位在其他货币中的价值相对应的价值向量，即isI（i）=（Sj，i（T））j.（1）我们现在考虑金融市场，其中价格是根据篮子资产报价的——每种货币的一个单位的投资组合。第i项资产的篮子价值等于Pjsi，Jan，第i项资产的篮子价值等于其倒数。这个简单的观察让我们用篮子数量asSi=PjSi，j来表示相对价格过程S=（Si）i。（2）观察（2）中没有被零分割的情况，因为EpJSi，j≥ Si，i=1；因此，0≤ 硅≤ 1表示所有i。反之亦然，请注意w e getSi，j=Si，j（PkSi，k）-1Si=（PkSj，k）-1Si=SjSi，（3）当分数定义良好时，对于所有i，j。