随机拉姆齐模型中的可持续性

（20） 同样，可以按照与实施例3.1相同的方式获得力矩o f Z。例3.3。（伽马）假设~ 密度为f（x）=θαΓ（α）xα的伽马（α，θ）-1e-θxI{0<x<∞}, α, θ > 0.对于α>θ，E log=θαΓ（α）R∞（对数x）xα-1e-θxdx>0。根据命题3.2（b）、（d），d=0，d=∞, 然后每x>c，0<ρ（x）<1。1/的密度函数是f（y）=θαΓ（α）y-α-1e-θ/yI{0<y<∞}, 这是一个反γ（α，θ）。由于逆伽玛分布的矩母函数不存在，人们可以通过直接积分获得有限矩：E-r=θrΓ（α）- r） Γ（α），或（21）=θr（α- 1)( α - 2) · · · (α - r） 对于α∈ Z+。（22）以同样的方式，可以获得Z的力矩。3.3用多个切比雪夫不等式逼近破产概率，在推论3.5中递归得到Z的矩，一个用切比雪夫不等式得到破产概率和生存概率的保守估计：1- ρ（x）=P（Z）≥ x/c- 1） <βr（x/c）- 1） r（r=1，2，…），（x>c）。（23）请注意，破产概率的上限估计值越小，真实破产概率的近似值就越高。同样地，生存概率的较低估计值越大越好。因此，应选择r大于r+1的估计值（23），即βr（x/c- 1） r≤βr+1（x/c）- 1） r+1或x≤ c（1+βr+1βr）。（24）由此得到破产概率的上估计和生存概率的下估计，如下所示：1- ρ（x）<βr（x/c）- 1） r，ρ（x）>1-βr（x/c）- 1） r，（x>c），（25），其中r的选择如下：（c（1+βr/βr）-1） <x≤ c（1+βr+1/βr）如果r≥ 2，c<x≤ c（1+β/β）如果r=1，受限制γr<1.3.4数值示例在以下两个示例中，通过数值计算得出了使用切比雪夫质量对生存概率的保守较低估计，该质量具有不同阶次的力矩s，取决于（11）中的x。

从这些例子中，我们采用了Z=P1的经验累积分布函数（ECDF）^F（x）≤n<∞（··n）-1用切比雪夫不等式检验生存概率估计的性能，其中Z的不同阶数取决于x。要获得Z分布函数的经验估计，需要生成n个随机变量-1，其中通过对数正态分布，或示例中的帕累托分布进行分布。的累加积之和-1产生一个随机变量Z，其分布是通过复制本节和下节中的3000个Z（N=3000）得到的。然后，Z的经验累积分布（ECDF）由fn（x）=NPNj=1I{Zn，j=Pni=1··i<x/c产生- 1} =NPNj=1I{c（Zn，j+1）<x}（N=3000），即如果初始库存为x=x，则代理在timen之前存活的时间比例。由于这种经验累积分布将接近真实概率（ρ（x）），以便进行足够大的模拟，从现在起，我们将^F（x）标记为ρ（x）。取决于的绘制数量-1，我们可以获得有限期生存概率（ρn（x））或有限期生存概率（ρ（x））。例3.4。（ρ（x）的较低估计值（ρ（x））：对数正态与帕累托。）表3显示了使用多个切比雪夫不等式的生存概率（ρ（x））和相应的较低估计（ρ（x）），这些不等式的Z阶矩随x的不同而不同，其中的ar e分别由对数正态分布和帕累托分布。由于命题3.2中k>1时，帕累托分布的ρ（x）立即达到1，因此不再感兴趣。相反，我们只考虑e-1/β<k≤ 1如例3.2所述，即0<ρ（x）<1。

现在，为了比较这两种分布的存活概率的较低估计值，的第一和第二矩-1通过自由选择帕累托分布（β，k）的参数进行重新匹配。表1、表2给出了一些的时刻-1，以及推论3.5中通过递归计算得到的o f Z，以及分别由（25）得到的关于的对数正态分布和帕累托分布的xobt的相应边界。Z的两个有限力矩s，βr=EZr，可以计算到γr=E-RDoE不超过1。表1、表2表明，βr=Ezr可能随着f ar和γr=E的减小而减小-r<1。然而，βr+1/βr增加，因此边界值增加。对于e-1/β<k<1，可以选择k=0.9和β=0.1，这样~帕累托（β=0.1，k=0.9）。因此，对数正态分布的参数取u=3.17，σ=1.75。至少有100个被绘制成Z收敛的序列。这是因为帕累托情形下的Z序列收敛速度比对数正态情形下的要慢。产生Z矩的递归计算得到对数正态情形下的结果γ=E-4> 1这是第一次，这导致EZ=∞ 根据推论3.5。因此，使用多个切比雪夫不等式对生存概率的较低估计值（Z的矩随x的不同而不同）只能由Z的第一和第二矩得出。这里，β=ez用于获得ρ（x）>1的边界oFX- β/（x/c）- 1） 在第25页。对于帕累托情形，γ=E-61>1第一次，结果是β=EZ=∞. 因此，通过使用59个Z矩，可以实现由多个切比雪夫不等式对ρ（x）的完全功耗估计。

与对数正态情形类似，β=ez用于在ρ（x）>1时获得x的边界- β/（x/c）- 1).表3展示了生存概率的百分位数以及由多个切比雪夫不等式获得的相应较低估计值，这些不等式具有不同的Z阶，取决于x，其中分别由对数正态分布和帕累托分布分布分布。由于两种分布的第一和第二矩（EZ，EZ）是匹配的，因此这些矩s得到的较低估计值基本上与x相同≤ 1.9481，见表2。之后，对于帕累托分布，ρ（x）的较低估计变得比对数正态分布的ρ（x）的较低估计更大。这是因为，对于帕累托情形，剩余的较低的ρ（x）估计是通过切比雪夫函数获得的，其Z阶矩高于对数范数l情形下较低的ρ（x）估计。此外，在表3中，随着x的增加，帕雷托病例的生存概率总体上低于对数正常病例。

我们可以得出这样的结论：对于帕累托分布情况，具有不同阶次的Z矩的多重切比雪夫不等式的较低估计（ρ（x））比对数正态分布情况下的ρ（x）更接近于相应的生存概率（ρ（x）），因为x变得更大。3.5有限视界生存概率和多重切比雪夫不等式逼近如第3.2节和第3.3节所述，可以计算Zn:=P1的力矩s≤J≤n（·j）-1并在限定时间内实现破产和存活概率的保守估计。r-rEZrBoundaries1 0.1 010 0.1124 1.68082 0.0 588 0.0765 6.02883 0.1 971 0.3847信息表1：ln~N（3.17,1.75）r-rEZrBoundaries1 0.1010 0.1124 1.68082 0.0588 0.0765 1.94813 0.0442 0.0725 2.17044 0.0372 0.0849 2.4067表2：~帕累托（β=0.1，k=0.9）x 1.1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2对数正态分布0.7193 0.8633 0.9513 0.9777 0.9863 0.9897 0.992（对数正态分布）0.4382 0.7191 0.8127 0.8805 0.9235 0.9469帕累托分布0.7723 0.8267 0.8913 0.92 83 0.9553 0.9827 0.99 63（Par eto）0.4382 0.7127 0.8805 0.925 75 0.9591表3：生存概率，ρ（x），（对数正态分布，Par eto）与较低估计值，ρ（x），通过多重切比雪夫不等式，对于ln，Z的不同动量依赖于x（（lognor ma l），（Pareto））~ N（3.17,1.75），~帕累托（β=0.1，k=0.9）。考虑（10）-（11）中ρ（x）的推导。那么，在时间n之前，不难建立生存和破产的概率。初始股票x>c的经济主体在时间n之前的生存概率为ρn（x）：=P（Xn>c | x=x）：=P（Zn<x/c）- 1). （26）具有初始股票X的经济主体的有限期破产概率为1- ρn（x）。现在写下-1:=P2≤J≤n（·j）-1.根据命题3.3中的关系，可以用Wn重写zn-1和：ZnL=-1（1+Wn）-1） ，（27）在哪里-1与锌的分布相同-1，和Wn-1和是独立的。

根据这个关系式，f或E（log）>0，zn的矩=1，2。。。都是递归计算的。β（n）r=γrE（1+Wn）-1） r=γrX0≤J≤Rrjβ（n-1） r，（28）其中β（n）r:=EZrn，对于所有n，β（n）：=1≥ 和β（0）r:=0表示所有r.γr:=E（1/）r（r=1，2，…），γ：=1。例3.5。根据关系式（28），我们可以得到Zn，β（n）r=EZrn，对于n=1，2，…，元素的显式形式：β（1）r=γr(r=0,1,2，…）；β(2)= γ(1 + β(1)) = γ(1 + γ),β(2)= γ(1 + 2β(1)+ β(1)) = γ(1 + 2γ+ γ),β(2)= γ(1 + 3β(1)+ 3β(1)+ β(1)) = γ(1 + 3γ+ 3γ+ γ), ...;β(3)= γ(1 + β(2)) = γ(1 + γ(1 + γ)) = γ+ γ+ γ),β(3)= γ(1 + 2β(2)+ β(2)) = γ(1 + 2γ+ 2γ+ γ+ 2γγ+ γ), ...;...最后得到破产概率的上估计和n时刻前生存概率的下估计- ρn（x）<β（n）r（x/c）- 1） r，ρn（x）>1-β（n）r（x/c）- 1） r，（x>c），（29），其中r的选择如下：（c（1+β（n）r/β（n）r）-1） <x≤ c（1+β（n）r+1/β（n）r）如果r≥ 2，c<x≤ c（1+β（n）/β（n）），如果r=1，示例3.6。（较低估计值（ρn（x））的甲虫生存概率（ρn（x））：对数正态分布、帕累托分布和伽马分布。）表4-表6展示了基于（29）的x的边界值，其中的分布分别为对数正态分布、帕累托分布和伽马分布。以与例3.4相同的方式，的第一和第二时刻-对于所有三种分布，1是匹配的，因此可以通过多重切比雪夫不等式比较生存概率（ρn（x））和相应的下界（ρn（x）），zn的不同时刻取决于x。通过这种方式，可以得到ln~ N（0.2146,0.0645），~ 帕累托（β=3，k=0.9）和~ γ（α=17，θ=13.3333）。ZN的有限矩是根据这些分布精确计算出来的。

这些表格表明，x的边界随着时间的推移而增大R≥ 1随着n的增加，即Zn-→ Z.r ZZZZZZ C 1 1 1 11 3.3 137 4.3807 5.9908 7.0502 7.28572 3.5 46 4.8419 7.0 433 8.8004 9.27953 3.8 072 5.3915 8.4725 11.6162 12.78264 4.1 018 6.0525 10.4814 16.7021 20.53845 4 4.4 353 6.8551 13.4176 27.5237 52.1729表4:Rthρn（x）的低估计值的x边界，由带Zn（n，ln=10，ln）和Zn=10的矩的多重切比雪夫公式计算得出，其中：~ N（0.2146,0.0645），c=1（固定消费量）。r ZZZZZZZ C 1 1 1 1 11 3.3 137 4.3807 5.9908 7.0 502 7.28572 3.4 698 4.6962 6.7183 8.2 603 8.66183 3.5 932 4.9592 7.3887 9.5 165 10.17374 3.6 938 5.1826 8.0083 10.8238 11.86615 3.7 777 5.3752 8.5816 12.1805 13.791表5:x乘用车的ρn（x）的较低估计值的x边界（带RTH1Z的矩的不等式=10，式中，n，式中~ 帕累托（β=3，k=0.9）和c=1（固定消费量）。表7-表9展示了有限时间内的生存概率（ρn（x））和相应的较低估计值（ρn（x）），使用多个切比雪夫不等式，zn的不同时刻取决于x。这些表展示了ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZC11111.3137 4.38075.99087.05027.28572 3.5606.877.1073.90919.4053.858.858.895.498.90919.4053.853.858.858.548.548.548.458.458.7564.6846 7.4534 15.8266 39.6022 256.6073表6：由多重切比雪夫不等式得出的ρn（x）的下估计的x的边界，其中r矩为Zn（n=3,5,10,20）和Z，式中~ Γ（α=17，θ=13.3333）和c=1（固定消耗量）（表4-6中对应于任何c？0的计算可以通过将x解释为x/c来处理）。当x固定时，生存概率降低的方式是s时间n增加。它们还显示，随着初始股票x的增加，每一时间n的生存概率会高出多少。

除了这些观察结果之外，当x在每个n上变大时，由多个切比雪夫不等式估计出的ρn（x）会变得更接近ρn（x）。特别是，我们可以观察到，随着每n的x变得更大，帕累托分布的存活概率ρn（x）比其他两个分布的估计值ρn（x）更接近。此外，对数正态分布的较低估计值ρn（x）比伽马分布的存活概率ρn（x）略好于伽马分布的存活概率ρn（x）。

结果表明，多重切比雪夫不等式对ρn（x）的较低估计，其zn的不同阶矩取决于Paretodistribution、lognormal和gamma的x阶，显示出接近真实概率的良好性能。xρl，3（x）ρ（x）ρl，5（x）ρ（x）ρl，10（x）ρ（x）ρl，20（x）ρ（x）3.50.22020.7530 0.0000 0.3 6330 0.0000 0.1290.0000 0.09077.50.99070.9997 0.92570.9 927 0.5396 0.8890 0.3027 0.81939.5 0.9806 0.9997 0.8190 0.9700.9700.9700.6258 0.928012.5 0.99570.000 0.9555 0.99630.5 0.7表7：使用多重切比南不等式对混合动力汽车存活概率的ρn（x）的较低估计值~ 5（x）P（x）P（x）P（x）P（x）5（x）P（x）P（x）P（x）P（x）P）l，10（x）P（x）P（x）P（x）P（x）P（x）P（x）P（x）P（x）P）P（x）10（x）P），20（x）P（x）P（x）P（x）P（x）P（x）P（x）x）P（x）x）x）x）3（x）3.5（x）P（x）x）x）0（x）x）3.5（x）P（x）P（x）x）x）0（x）0（x）0（x）3）0（x）0（x）3）0（x）3）0（x）3）0（x）3）3）0（x）0（x）0（x）3）0（x）3）0（xρl，N（x））与的存活概率（ρN（x））之比~ 帕累托（β=3，k=0.9）xρl，3（x）ρ（x）ρl，5（x）ρ（x）ρl，10（x）ρ（x）ρl，20（x）ρ（x）3.50.22020.7860 0.0000 0.3653 0.0000 0.12930.0000 0.07807.50.9901 0.9997 0.9192 0.987 0.5347 0.9133 0.3027 0.82679.5 0.9848 0.9983 0.8102 0.9767 0.6206 0.929312.5 0.9983 0.000 0.9490 0.9957 0.8508 0.97779表9：使用多个切比南不等式对存活概率的ρ（x）的较低估计值~ Γ（α=17，θ=13.333）参考文献[1]R.N.巴塔查里亚和E.C.韦米尔。随机过程与应用，第6卷1。暹罗，19-90岁。[2] F.布拉乌尔和C.卡斯蒂略·查韦斯。人口生物学和流行病学中的数学模型，第1卷。2001年春天。[3] R·多夫曼、P·A·萨缪尔森和R·M·索洛。线性规划与经济分析。麦格劳·希尔，纽约，1958年。[4] 马朱姆达尔先生和拉德纳先生。

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