随机拉姆齐模型中的可持续性

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英文标题：
《Sustainability in the Stochastic Ramsey Model》
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作者：
Rabi Bhattacharya, Hyeonju Kim, Mukul Majumdar
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In this paper we provide a self-contained exposition of the problem of sustaining a constant consumption level in a Ramsey model. Our focus is on the case in which the output capital-ratio is random. After a brief review of the known results on the probabilities of sustaining a target consumption from an initial stock, we present some new results on estimating the probabilities by using Chebyshev inequalities. Some numerical calculations for these estimates are also provided.
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中文摘要：
在本文中，我们提供了一个在拉姆齐模型中保持恒定消费水平的问题的自包含的解释。我们关注的是产出资本比率是随机的情况。在简要回顾了关于从初始库存维持目标消费概率的已知结果之后，我们给出了使用切比雪夫不等式估计概率的一些新结果。还提供了这些估计的一些数值计算。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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关键词：拉姆齐模型 可持续性 可持续 持续性 拉姆齐

Rabi BhattacharyaUniversity of Arizona，Tucson，Usahyonju Kimju，University of Arizona，Tucson，USAMukul Majumdarnell University，Ithaca，US2018年10月28日摘要本文对Ramsey模型中维持恒定消费水平的问题进行了全面阐述。我们关注的是产出资本比率是随机的情况。在简要回顾了关于从初始库存维持目标消费概率的已知结果之后，我们给出了一些关于使用切比雪夫不等式估计概率的新结果。还提供了这些估计的一些数值计算。1简介：具有线性生产函数的离散时间一个好模型（“多夫曼·萨缪尔森·索洛[3，第11.2章]或麦克法登[6，第6节]）长期以来一直是探索跨期经济学中许多主题的便利框架。在本文中，该模型被用来阐明与可持续消费相关的问题。首先，让我们讨论确定性情况下的可持续性问题。经济始于一种商品的正初始存量x（任何可再生产的资源或资产：增长理论的隐喻性“玉米”）。从中减去一个正数c。参数c是一个基准：它是经济想要维持的目标消费水平。如果余数i=x- c为零或负，经济就“毁灭了”如果其余部分严格为正值，则将其解释为对某些生产活动的san输入（即“投资”）。该活动的输出（或投资回报）即为下一期开始时的股票，由X=r·i=r·（X）给出- c） ，其中r>0也是一个参数（规划文献中的“产出资本比率”，或投资的“生产率”指数）。

同样，在第一个周期，参数c从X中减去，故事重复。设N为第一个周期（如果有），使XN<0。如果N是有限的，我们说经济可以维持c直到（但不包括）N期（或者，经济可以维持到N期）。如果N是有限的（即Xn≥ 0表示所有n），我们认为消费目标c是可持续的（或者说，经济永存）。对该模型还有其他解释。例如，在友邦经济层面上，经济代理人或单位（投资者、赌徒、致力于管理金融机构的公司等）破产（g破产，失去参与机会游戏的特权，面临管理资源灭绝的问题，…）如果其财富（或现金储备，或可再生资源的存量，…）任何时期的收益都低于规定的水平（最低股息率、参与机会博弈的费用、目标收获水平等）。目的是研究决定可持续性的参数r、x和CT的条件。不难看出，如果≤ 1，那么没有初始x可以维持任何c>0。如果r>1，当且仅当x≥ [r/（r）- 1） [c.为了扩大我们的分析范围，假设投资的回报是不确定的，而不是确定性的。我们通过引入正随机变量的i.i.d.序列来对此进行建模。根据规则Xn+1=（n+1）·in.进行的投资。在确定性的情况下，经济以初始库存x开始，并有一个目标消费c。如果（x- c）≤ 0.如果x- c>0，则周期一的存量为X=（X- c） 。再说一次，如果X- C≤ 0，它被毁了。否则，消耗后，X- c投资产生X=·（X- c） 。一般来说，一个人研究过程；X=X，Xn+1=（n+1）（Xn- c） +，其中a+=max（a，0）。

（1） 如果x>c，维持c的概率定义为ρ（x）=P（Xn>c，对于所有n≥ 0 | X=X）。（2） 结果表明，ρ（x）=P(∞Xn=1（..n）-1<（x/c）- 1.（3）该公式（3）可用于确定n的公共分布条件，在该条件下，ρ（x）的值可以指定（见命题3.1和命题3.3）。例如，如果Elog≤ 对于所有的x和c，ρ（x）=0。caseElog>0可能是最有趣的，结果证明是具有挑战性的。请注意，如果我们将随机变量Z定义为：Z=∞Xn=1（··n）-1，（4）我们意识到，Z的分布对于确定ρ（x）至关重要。为此，我们推导了一个递归关系，它有助于计算Z的动量（命题3.3及其推论）。接下来，奥尼利用切比雪夫不等式（第3.3节）得到生存概率和破产概率的估计。我们还讨论了估计将一个消费目标维持到一定数量的可能性的问题（见第3.5节）。第3.4节和第3.5节提供了这些估算的数值计算。我们的论述借鉴了Majumdar和Radner[5]以及Bhattacharya和Waymire[1]。有大量文献使用连续时间模型来处理密切相关的问题。Majumdar和Radner[4]在一个扩散模型中推导出了一种药剂的存活概率，并将分析扩展到该药剂可以从一组可用技术中顺序选择的情况。Radner[7]回顾了随后关于企业生存的研究。关于数学生物学模型，破产（灭绝）问题已经在各种背景下进行了研究（见Brauer和Castillo-Chavez[2，第1章，第2章]）。

一个特别著名的例子是，从一个种群中“不断收获产量”，而这个种群的增长受逻辑定律的制约，由此得出了微分方程；dx/dt=θx（1）- x/K）- c、 （5）其中θ>0是“固有”增长率，K是“环境的承载能力”（或者说，环境可以维持的最大种群规模）。关于灭绝和可持续性的完整论述是可用的（Brauer和Castillo Chavez[2，第28-29页]）。2关于确定性案例的评论我们对确定性案例做一些评论，并陈述主要结果。这里，从初始Lx>0开始，如果x- C≤ 0.如果x>c，则投资i=x- c生成股票X=r·i=r（X- c） a t第一阶段的开始。经济在第1阶段被摧毁，如果X- C≤ 0.如果X>c，则投资i=X- c生成X=r·i=r（X- c） 等等。如果经济体能将c维持到（但不包括）周期2，我们知道c+i=x，c+i=r·i.（6）由此得出c（1+1/r）+i/r=x，导致：c（1+1/r）<x。因此，如果经济体能将c维持到周期N，我们必须-1Xn=0（1/rn）<x/c.（7）我们立即得出结论，如果r≤ 1，那么对于任何c>0，没有x>0这样的c可以永远持续。事实上，验证以下内容也很容易：命题2.1。让r>1。当且仅当ifr/（r）时，经济可以维持c>0- 1) ≤ x/c.（8）3随机ic拉姆齐模型3。1.有限期生存概率和共同分布的条件为了避免过度重复，经济从初始存量x>0开始，并计划维持消费水平c>0。如果x- C≤ 0，它“立即”被摧毁因此，请关注案例x>c。投资i=x- c根据第1期的库存情况，X=（X-c） ，其中是一个非负随机变量。

如果X≤ c、 经济在第一阶段被摧毁；否则，如果X>c，投资将在下一个时期产生股票，依此类推。一般来说，我们研究：X=X，Xn+1=n+1（Xn- c） +（n）≥ 0），a+=max（a，0），（9）式中{n:n≥ 1} 是一个无负随机变量的i.i.d.序列。状态空间可以取为[0，∞) ab吸附在0。初始种群x>c的经济主体的生存概率ρ（x）：=P（Xn>c≥ 0 | X=X）。（10） 假设P（>0）=1。否则，很容易检查最终的破产是确定的，即ρ（x）=0。从（9）开始，连续迭代产量Xn+1>cifffxn>c+cn+1iffxn-1> c+c+c/n+1n··i ffx≡ x>c+c+c+c+n+1。因此，在集合{n>0表示所有n}上，{Xn>c表示所有n}=x>c+cnXj=1···jn=x>c+c∞Xn=1··n=∞Xn=1··n<xc- 1.换句话说，ρ（x）=P∞Xn=1··n<xc- 1.. （11） 为了完整性，我们回顾了关于n的公共分布的条件，其中一个条件是：a）ρ（x）=0，（b）ρ（x）=1，或（c）ρ（x）<1（x>c）。强大的大数定律给出nxr=1logra。s-→ E log。因此，如果E log<0，则→ 0 a.s.这意味着，如果e log<0，则有限系列蛋白（11）的a.s.发散，即所有x的ρ（x）=0。（12） 如果是非退化的且E log=0，则pnr=1logralso有一个子序列收敛到-∞ a、 （11）中的级数再次发散，ρ（x）=0，根据詹森不等式，E log≤ log E，如果是非退化的，则具有严格不等式，我们假设。因此，E≤ 1表示log<0，因此ρ（x）=0。接下来，让我们考虑E log>0的情况。定义m:=inf{z≥ 0:P（≤ z） >0}。我们将证明ρ（x）<1对于所有x，如果m≤ 1.（13）修正A>0，无论多大。可以发现n>AQ∞r=1（1+r）-2） asQ（1+r）-2） <exp{Pr-2} < ∞. 如果我≤ 1然后P（）≤ 1+r-2） 对于所有r>0≥ 1.

因此，0<P（r≤ 1+r-2对于1≤ R≤ n）≤ PnXr=1··r≥nXr=1Qrj=1（1+1/j）≤ PnXr=1··r≥nQ∞j=1（1+1/j）≤ P（nXr=1（n）-1> （A）≤ P(∞Xr=1（···r）-1> A）。由于A是任意的，（11）对于所有x小于1，证明（13）。也可以证明，对于m>1，ρ（x）< 1如果x<c（mm-1） ，=1如果x≥ c（毫米）-1). （m>1）。（14） 注意这一点∞n=1（n）-1.≤P∞n=1m-n=1/（m）-1） ，如果m>1，则概率为1。（14）中的第二个关系随后由（11）得出。对于（14）中的第一个关系式，让x<cm/（m）- 1) - 对于某些δ>0的情况，cδ意味着x/c- 1<1/（米）- 1) - δ. 我们可以选择n（δ），这样p∞r=n（δ）m-r<δ/2，然后选择δr>0（1≤ R≤ n（δ）- 1） 这样n（δ）-1Xr=1（m+δ）··（m+δr）>n（δ）-1Xr=1mr-δ.对于1，则0<P（r<m+δrf≤ R≤ n（δ）- 1) ≤ Pn（δ）-1Xr=1··r>n（δ）-1Xr=1mr-δ≤ P∞Xr=1··r>∞Xr=1mr- δ= P∞Xr=1··r>m- 1.- δ.当δ>0足够小时，la st概率小于P（P（·············）-1> x/c- 1） 如果x/c- 1<1/（米）- 1） ，即，如果x<cm/（m- 1). 对于这样的x，1- ρ（x）>0。得到了预期的结果。以下命题总结了上述结果：命题3.1。（[1]，[5]）设m:=inf{z≥ 0:P（≤ z） >0}。（a） 我的日志≤ 对于所有x和c，则ρ（x）=0。（b）如果E log>0，则ρ（x）=（<1，如果m≤ 1.x、 或x<cmm-1（m>1），=1如果x≥ 坐标测量机-1（m>1）。随后的命题3.2提供了关于ρ（x）的更明确的陈述。这使得ρ（x）可以通过用n的公共分布估计Z来构造。（[1]，[5]）假设E log>0，Z:=P1≤n<∞（··n）-1.定义d=inf{z≥ 0:P（Z）≤ z） >0}，d=sup{z≥ 0:P（Z）≥ z） >0}，M=sup{z≥ 0:P（≥ z） >0}。

然后，（a）Z是有限的（几乎可以肯定）。（b） ρ（x）=如果x<c（d+1），则为0，∈ （0,1）如果c（d+1）<x<c（d+1），如果x>c（d+1），则为1。（c） 如果x<cMM，ρ（x）=0-1（1<M<∞), 或者所有的x（M）≤ 1).（d） 人们可以用、名称l y、m和m的形式来表示（基本）下界和上界dofZ：（i）d=P1≤n<∞M-n=1/（M）-1） 如果M>1，且d=∞ 如果我≤ 1.（ii）d=P1≤n<∞M-n=1/（m）- 1） 如果m>1，且d=∞ 如果我≤ 1，其中m在（13）中定义。证据（a） 根据强大的大数定律≤J≤nlogj）/n→ u（概率为1），其中u=E log（>0）。因此，存在arandom变量N，它是有限的a.s.，因此（P1≤J≤n>n的nlogj）/n>u/2。换句话说，（·n）-1<e-nu/2表示n>n。这表明sthatz=X1≤N≤N（··N）-1+Xn>N（··N）-1（15）<X1≤N≤N（··N）-1+Xn>Ne-n/2<∞ a、 s.（16）（b）x<c（d+1）意味着x/c- 1<d.可以找到θ>0，这样x/c- 1<d- θ、 这意味着ρ（x）=P（Z≤ x/c- 1) ≤ P（Z<d- θ) = 0 .同样，x>c（d+1）表示x/c- 1>d。在中，可以找到θ>0，这样x/c- 1>d+θ，表示1=P（Z<d+θ）≤ P（Z）≤ x/c- 1） =ρ（x）。最后，c（d+1）<x<c（d+1）表示d<x/c- 1<d.然后x/c- 对于某些θ>0，1>d+θ，这意味着ρ（x）=P（Z≤ x/c- 1) ≥P（Z<d+θ）>0。同样，x/c- 1<d- θ′对于某些θ′>0的情况，其结果是ρ（x）=P（Z）≤ x/c- 1) ≤ P（Z<d- θ′) < 1.（c） x<cM/（M）-1） 可以以x/c的形式重写-1<1/（米）-1).注意P（>M）=0。这是因为如果P（>M）>0，那么P（）≤M） <1。因此，存在θ>0，使得P（≥ M+θ）>0，矛盾。Z=P1≤n<∞（··n）-1.≥P1≤n<∞M-n=1/（M）- 1） >x/c- 所以ρ（x）=P（Z≤ x/c- 1) = 0.接下来，M≤ 1导致··n≤ 1.所有人。

然后，（··n）-1.≥ 1表示所有n，这意味着Z=∞ 几乎可以肯定，ρ（x）=P（Z≤ x/c- 1） =0，无论x有多大。（d） -（i）FOR M≤ 1，P（n）≤ M） =1表示所有n，产生Z=P1≤n<∞（··n）-1.≥P1≤n<∞M-n=∞ 几乎可以肯定。因此d=∞.对于M>1，同样是P（n）≤ M） =1表示所有n，建议Z=P1≤n<∞（··n）-1.≥P1≤n<∞M-n=1/（M）- 1） 几乎可以肯定。因此，d≥ 1/（米）- 1). 托普罗夫≤ 1/（米）- 1） 注意，存在θ>0这样的t- θ>1，P（>M- θ） M的定义为>0。由于n是独立的，P（n>M- θ对于所有n=1，2。。。，N） =Q1≤N≤NP（n>M）- θ） 埃弗林>0。这意味着P（P1≤N≤N（··N）-1<P1≤N≤N（M）-θ)-n） 埃弗林>0。此外，P1≤N≤N（··N）-1.→ Z、 和P1≤N≤N（M）- θ)-n收敛到1/（米）- θ - 1） 作为N→ ∞. 结果表明P（Z）≤ 1/（米）- θ - 1)) > 0.因此，d≤ 1/（米）- θ - 1） 每θ>0。Lθ↓ 0产生tod≤ 1/（米）- 1 ) .（d） -（ii）对于m>1，P（）≥ m） =1，表示Z=P1≤n<∞（··n）-1.≤P1≤n<∞M-n=1/（m）-1） 几乎可以肯定。它跟在d后面≤ 1/（米）-1). 注t hatP（Z）≥ 1/（米）-1） 对于所有θ′>0的情况，+θ′=0。证明≥ 1/（米）-1） 对于任何θ>0的情况，我们得到sp（<m+θ）>0，并且通过定义m。如（i）中所述，我们证明P（P1≤N≤N（··N）-1> P1≤N≤N（m+θ）-n） 每n和P（Z）大于0≥ 1/（m+θ）- 1） ）>0作为N→ ∞. 这证明了D≥ 1/（m+θ）- 1). 对于θ>0，这是真的，所以≥ 1/（米）- 1).现在让我≤ 1.对于每个θ>0，P（）≤ 1+θ）>0，表示P（Z）≥P1≤N≤N（1+θ）-n） >0。因为Z=P1≤n<∞（··n）-1.≥P1≤N≤N（1+θ）-N→ 1/θ为N→ ∞. 因此，P（Z≥ 1/θ）>0表示每θ>0，表示d=∞.3.2 Zt矩的递归计算以下使用递归关系的新方法有助于计算分布非常棘手的Z矩。提议3.3。

其中有一个关系z=（1/）（1+W），（17），其中W=P2≤N≤N（··N）-1具有与Z相同的分布，而Wand独立于t。推论3.4。设E（log）>0。（i） 如果m=0，则d=∞, 和（ii）ifM=∞, 那么d=0。在某些情况下，0<ρ（x）<1f或x>c.证明。（i） Z>1/，以正概率超过任何大值。（ii）（1/）（1+W）随着进入实体，a接近于零。现在我们使用命题3.2。推论3.5。设E（log）>0。用βr=EZr，γr=E（1/）r分别表示Z和1/的力矩，y（r=1，2，…）。那么，对于所有γr<1的r，βr=γrX0≤J≤Rrjβj；(1 - γr）βr=γrX0≤J≤R-1.rjβj；βr=[γr/（1）- γr）]X0≤J≤R-1.rjβj.（18）Ifγr≥ 1对于som e r，βr=∞.证据该关系直接源自命题3.3中的表示，即W和的独立性，以及（1+W）r的二项式公式。示例3.1。（对数正态）设=eNbe对数正态，其中N是均值u>0的正态随机变量，正方差σ。应用推论3.4给出d=0和d=∞. 因此，根据命题3.2，每x>c.1/=e，0<ρ（x）<1-这也很正常，-N在卑鄙中保持正常-u<0和方差σ。因此，1/的力矩由γr=E给出-r=e-ru+rσ（r=1,2，…）。（19） 根据推论3.5和（19），现在可以计算力矩βrof Z。必须要求r<2u/σ。注：如果N是具有均值u和方差σ的常模l，则根据正态分布的矩母函数的著名公式，eNis E（eN）r=E（erN）=eru+（1/2）rσ的Rh矩。例3.2。（Pareto）设k>0，β>0。假设~密度为f（x）=βkβ/xβ+1I{x的帕累托（β，k）≥k} 。设k和β为E log=log k+β-1> 0. 然后，对于e，每x>c得到0<ρ（x）<1-1/β<k≤ 1.现在1/的密度函数是f（y）=βkβyβ-1I{0<y≤k} ，其时间由拜拜提供-r=βkr（β+r）。