统计分析中企业规模数据的Box-Cox变换

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英文标题：
《Box-Cox transformation of firm size data in statistical analysis》
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作者：
Ting Ting Chen, Tetsuya Takaishi
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Firm size data usually do not show the normality that is often assumed in statistical analysis such as regression analysis. In this study we focus on two firm size data: the number of employees and sale. Those data deviate considerably from a normal distribution. To improve the normality of those data we transform them by the Box-Cox transformation with appropriate parameters. The Box-Cox transformation parameters are determined so that the transformed data best show the kurtosis of a normal distribution. It is found that the two firm size data transformed by the Box-Cox transformation show strong linearity. This indicates that the number of employees and sale have the similar property as a firm size indicator. The Box-Cox parameters obtained for the firm size data are found to be very close to zero. In this case the Box-Cox transformations are approximately a log-transformation. This suggests that the firm size data we used are approximately log-normal distributions.
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中文摘要：
企业规模数据通常不显示回归分析等统计分析中经常假设的正态性。在本研究中，我们关注两个公司规模数据：员工数量和销售额。这些数据大大偏离了正态分布。为了提高这些数据的正态性，我们使用具有适当参数的Box-Cox变换对它们进行变换。确定Box-Cox变换参数，以便变换后的数据最好地显示正态分布的峰度。研究发现，通过Box-Cox变换得到的两个企业规模数据具有很强的线性关系。这表明员工数量和销售额与公司规模指标具有相似的属性。公司规模数据的Box-Cox参数非常接近于零。在这种情况下，Box-Cox变换近似于对数变换。这表明我们使用的公司规模数据近似于对数正态分布。
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分类信息：

一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Box-Cox_transformation_of_firm_size_data_in_statistical_analysis.pdf (752.58 KB)

2022-5-9 13:14:48 上传

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关键词：企业规模 统计分析 计分析 Cox box

企业规模数据的Box-Cox变换不稳定性分析，日本广岛大学综合艺术与科学学院，东广岛739-8521，日本经济大学，广岛731-0192，日本邮件：d102355@hiroshima-u、 ac.JP电子邮件：tt-taka@hue.ac.jpAbstract.企业规模数据通常不显示回归分析等统计分析中经常假设的正态性。在本研究中，我们关注两个企业规模数据：员工数量和销售额。这些数据大大偏离了正态分布。为了提高这些数据的正态性，我们使用适当的参数通过Box-Cox变换进行变换。Box-Cox变换参数的确定是为了在变换数据处最好地显示正态分布的峰度。研究发现，通过Box-Cox变换得到的两个企业规模的数据显示出很强的线性。这表明员工数量和销售额与企业规模指标具有相似的属性。我们发现，为企业规模数据获得的Box协参数非常接近于零。在这种情况下，box-Cox变换近似于对数变换。这表明我们使用的固定数据近似为对数正态分布。1.简介在社会科学中，我们经常使用回归分析等统计技术来确定数据之间的关系并进行预测。在许多情况下，为了利用统计技术，假设数据不真实。然而，在实践中，常态假设经常遭到质疑。违反规范会导致某些困难[1,2]。克服这些困难的一种方法是将变量转换为具有所需属性的变量。

在这项研究中，我们使用了Box-Cox幂变换[3]，它还包括一个特殊的对数变换。企业规模数据是发现财务指标之间关系的重要变量。然而，众所周知，企业规模数据不是正态分布，通常建议遵循对数正态分布[4,5,6,7,8]。另一方面，也有研究表明，企业规模分布偏离对数正态分布[9,10]。在这项研究中，我们对企业规模使用了两个定义：员工数量和销售额。根据后来的分析，这些企业规模数据通常不分布。为了提高正态性，我们对这些数据进行了Box-Cox变换。确定Box-Cox变换参数，以便变换数据的峰度接近正态分布的峰度。使用偏斜度的类似方法已被用于确定Box-Cox变换[11]的最佳参数。图1中的员工0 1000 2000 3000 40001e+05#。32006家公司的员工人数。2000 3000 40001e+052e+053e+054e+055e+055销售图2。与图1相同，但可出售。2.Box-Cox变换让我们来验证第i次观察结果。xi的Box-cox变换由x（λ）i=（（xi+C）λ）给出-1λ如果λ6=0log（xi+c）如果λ=0（1），其中c是一个常数，以确保xi+c为正。由于公司规模均为正值，我们设定C=0.3。公司规模数据我们使用两个公司规模数据：2011年在东京证券交易所交易的3206家公司的员工数量和销售额。图1和图2显示了3206家公司的员工人数和销售额。可以看出，它们分布广泛。图3和图4显示了两个企业规模数据的分布。人们注意到它们不是正态分布。4.

Box-Cox变换数据为了找到最佳的Box-Cox变换参数，最好地展示正态分布的峰度，我们计算峰度作为λ的函数。图5显示了峰度作为λ的函数。在这里，峰度κ由κ=E[（x）定义-u）]V ar（x），其中u=E[x]。如图所示。5原来峰度总是大于3。因此，可以在最少的点上获得员工数量和销售的最佳参数。然后我们得到了最佳参数κ的最佳峰值参数和峰度，员工数量为λc=0.005和κ=3.69，销售为λc=0.022和κ=3.77。图6和图7分别显示了Box Coxtormation后员工数量和销售额的分布情况。可以清楚地看到，这些分布被转化为更正常的分布。图中的红线是正态分布的拟合结果。接下来，我们调查员工数量和销售之间的关系。没有任何明显的理由表明他们有密切的关系。事实上，如图8所示，员工数量和销售额之间没有明显的关系。它们之间的相关系数计算为0.662。另一方面，图9显示了Box-Cox变换后员工数量和销售额之间的关系，这表明员工数量和销售额具有很强的线性关系。计算出的相关系数为0.873，也支持2000 40000.00050.0010.0015#个员工如图3所示。雇员人数的分布。50000 1e+05 1.5e+05 2e+051e-052e-053e-054e-055销售图4。销售分配-员工的0.50.5λ#如图5所示。峰度是Box-Cox变换参数λ的函数。强线性。这一结果可能表明，员工数量和销售额可以用作具有类似性质的企业规模指标。5.

结论为了提高企业规模数据的正态性，我们使用了Box-Cox变换。确定了最佳的Box-C-ox变换参数，以便将数据转换为更多的正常数据。我们发现，Box-Cox变换后的员工数量和销售额呈强线性关系。这可能表明员工数量和销售额与企业规模指标具有相似的属性。我们得到的最佳Box-Cox变换参数非常接近于零。因此，我们执行的Box-Cox变换实际上接近于对数变换，这意味着员工数量和销售额的分布接近于对数正态分布。这与之前的文献一致，该文献声称企业规模分布遵循对数正态分布[4,5,6,7,8]。确认这项工作中的数值计算是在Yukawa研究所的计算机设施中进行的。这项工作得到了JSPS KAKENHI赠款编号25330047.0.10.20.30.4《员工（Box Cox）》拟合结果图6的支持。用最优参数对Box-Cox变换后的员工人数分布进行了分析。红线是exp的匹配结果(-（十）- u）/（2σ））/（2πσ）1/2，σ=2.24，u=6.42.0.050.10.150.20.25销售拟合结果图7。与图8相同，但对于Salees，σ=4.22，u=11.37.0 1000 2000 3000 4000#的员工，见图8。员工数量与销售额之比雇员人数如图9所示。

在使用Optimum参数进行Box-Cox变换后，员工人数与销售人数之比。参考文献[1]Sakia R M 1992统计学家41 169-178[2]Hossain M Z 2011经济和管理科学新兴趋势杂志2（1）32-39[3]Box G E P和Cox D R 1964皇家统计学会杂志B 26 211-234[4]Gibrat R 1931 Les Inegalites Economiques[5]Kalecki M 1945计量经济学13 161-170[6]哈特P E和巴黎S J 1956 Economica（新系列）29 29-39[7]Quandt R E1966年《美国经济评论》56 416-432[8]斯坦德J 1965年《随机过程与公司成长》纽约，哈夫纳[9]卡布拉尔L M B和马塔J 2003年《美国经济评论》93 1075-1090[10]凯佐吉T，伊耶托米H和池田Y 2006年《进化与制度经济学评论》2（2）183-198[11]奥斯本J W 2010年《实践评估、研究与评估》第12期