非线性Black-Scholes方程的对称约化和精确解

在等式（11）中，参数σisas遵循σ=σ1-aσrπdt！。作者证明了在常数c、d、Vc和vd的某些条件下，BVP（11）和（12）允许一个凸唯一的经典解，它可以作为上（下）解的非增（非减）序列的极限。注意，在a=0的情况下，（11）与方程式（2）的固定版本一致。因此，这里可以方便地考虑以下静态BVPaxuxx+bxuxx+cxux- cu=0，x∈ （A，B），（13）x=A:u=UA，（14）x=B:u=UB，（15）其中A>0，B>0，c>0，B>A≥ 0，UA≥ 0，UB>0。我们将以显式形式找到BVP（13）-（15）的精确解。考虑表4的解决方案5：u=cxbnc+hεc+a1+a2c信息技术-a2clog x++2kδp1- 4εk- 1.K- 1.ct+logx, （16） c在哪里∈ R、 ε，δ∈ {-如果ε=-1或0<| k |≤如果ε=1。这是演化方程（3）的解。为了得到静态方程（13）的解，我们需要消除公式（16）中的时间系数，即εc+a1+a2c+c2kδp1- 4εk- 1.K- 1.= 0.求解这个方程w.r.t.参数k，我们得到k1,2=c·εc-A.1+a2c±εc+a1+a2cq1+2ac1+a2c（1+ε）c+εac1+a2c+A.1+a2c.在这种情况下，相关方程（13）允许这样的解：u=cxb（c+M logx），（17）其中M≡2kδp1- 4εk- 1.-a2c=ε+a2c（1+a2c）1-K-a2c，即M1,2=ε+a2c1+a2c1.-c·（1+ε）c+εac（1+a2c）+a（1+a2c）εc-a（1+a2c）±|εc+a（1+a2c）| q1+2ac（1+a2c）-a2c。（18） 将解（17）代入边界条件（14）和（15），将A=0和UA=0代入（14）。然后（14）在右极限x=0的意义下满足，并且从（15）我们在系数c上得到以下条件：cBb（c+M log B）=UB。因此，我们得到c=bUBcB- 因此，我们证明了下面的陈述。提议2。

A=0和UA=0的BVP（13）-（15）在x上接受经典解（17）∈ （0，B），其中常数M和care分别由公式（18）和（19）定义。需要注意的是，如果ε=-1和0<| k |≤, 如果ε=1（见表4）。在A>0的情况下，得到的结果略有不同。这里的边界条件（14）和（15）给出驾驶室（c+M日志A）=UA，cBb（c+M日志B）=UB。从第二个条件我们仍然得到公式（19），但第一个条件导致条件M logAB+bcUBB-UAA= 0.（20）因此，得到以下陈述。提议3。A>0的BVP（13）-（15）在x上接受经典解（17）∈ （A，B），其中常数M和care分别由公式（18）和（19）定义，当且仅当条件（20）成立时。现在我们要考虑一个演化边值问题，其控制方程（3）在x上∈ (0, +∞) 和t∈ （0，T），终端条件T=T:u=h（x），边界条件x=0:u=0。在终端条件下，h（x）是所谓的pay-o-off函数，通常采用形式h（x）=（x）- K） +，（21）和h（x）=（K）- x） 分别适用于欧洲看涨期权和看跌期权。这里K>0是一个实常数，如果f（x）>0，则表示f+（x）=（f（x）如果f（x）>0，如果f（x）≤ 使用0。请注意，公式（21）和（22）是薪酬的最简单形式，具有很强的经济意义，但没有任何证据表明使用了其他更复杂的薪酬函数。在我们的研究中，我们讨论了以下支付函数h（x）：h（x）=[Ax（B+logx）]+，（23）图1:K=e的支付函数图（21）和B=1的支付函数图（23）以及A>0和B是一些实常数的各种值。很容易看出，函数（23）的行为非常接近欧洲看涨期权（21）的经典支付函数（见图。

1).因此，我们正在处理这样的欧洲看涨期权类型BVPut+axuxx+bxuxx+cxux- cu=0，x∈ (0, +∞), T∈ （0，T），（24）T=T:u=[Ax（B+logx）]+，（25）x=0:u=0，（26）其中a>0，B>0，c>0，a>0和B是一些实常数。我们再次打算使用表4的溶液5（见公式（16））。为了方便起见，我们将这个解决方案改写为公式u=cxb（C+M（t- T）+N logx，（27）式中m=εc+a1+a2c+c2kδp1- 4εk- 1.K- 1.,N=2kδp1- 4εk- 1.-a2c，和c=c+MT。我们还应该提醒读者，在（27）k6=0中，如果ε=-1和0<| k |≤,如果ε=1。考虑到终端条件（25），我们正在寻找BVP（24）–（26）的解决方案，公式为cxb（C+M（t）- T）+N log x）如果x>e-B+MN（T）-t） 如果0<x，则为0≤ E-B+MN（T）-t） 。（28）替换终端条件（25）中的公式（28）和边界元（26），我们发现k=-2c（2bA+a）（2bA+a）+4εc，（29）和c=BN。因此，我们证明了这一说法。提议4。欧洲看涨期权类型BVP（24）-（26）承认经典解U=（cxb（BN+M（t- T）+N log x）如果x>e-B+MN（T）-t） 如果0<x，则为0≤ E-B+MN（T）-t） 式中m=εc+a1+a2c+c2kδp1- 4εk- 1.K- 1.,N=2kδp1- 4εk- 1.-a2c，k由公式（29）定义，符合附加条件：k6=0，如果ε=-1和0<| k |≤, 如果ε=1。注意你~ x记录x为x→ +∞.实例设a=2·10-2，b=4·10-6，c=10-1, δ = 1, ε = -1.如果我们计算a=10，B=1，T=1（一年），那么k=，M=-0.064，N=0.4，和u（t，x）=（400x（25对数x- 4t+29）如果x>e0。16吨-1.16,0如果0<x≤ e0。16吨-1.16.该解决方案的图表如图2所示。请注意，我们的参数a、b、c和T与[15，p.809]中的参数类似。图2：对于某些固定值ti6，BVP（24）-（26）u=u（ti，x）的解。

结论本文从群论的角度研究了非线性Black-Scholes方程（2）。首先，在第二节中，我们使用变量（4）-（5）的点变换，将方程导出为更简单的标准形式（6）。我们发现这个方程有几个已知的精确解。我们的主要目的是对方程进行对称性分析，以便使用对普通微分方程进行对称约化的方法，获得方程的自相似（不变）精确解的综合列表。在第3节中，我们找到了方程（6）的MAI。这个代数是维李代数，可以写成一维代数和四维可解理想的半直和。考虑到众所周知的低维李代数的子代数分类[13]，并使用Patera–Winternitz–Zassenhaus算法，我们找到了方程（6）中MAI的一维子代数的最优系统。利用满足非退化不变解存在必要条件的定理，我们对一阶和二阶常微分方程（见表1）进行了方程的对称约化，并找到了方程的几个通解。对于许多简化方程，我们无法在元素函数中找到显式形式的通解（见表2中的情况11–14）。在第4节中，我们利用得到的约化方程的通解，构造了一组待研究的Black–Scholes方程的精确解。表3和表4给出了解决方案的完整列表。

最后，我们将我们的解决方案与之前找到的解决方案进行了比较。在第5节中，我们应用了前一节中的结果，在c>0的情况下，用控制Black–Scholes方程（3）求解几个BVP。我们利用表4中的解5，分别找到Dirichlet和欧洲看涨期权类型的静态（13）-（15）和非平稳（24）-（26）BVP的精确经典解。资助该研究没有从公共、商业或非营利部门的资助机构获得任何特定资助。参考文献[1]Black F，Scholes M.期权和公司负债的定价。J政治经济学。1973;81:637–59.[2] 默顿RC。理性期权定价理论。贝尔·J·经济。1973;4:141–83.[3] Agliardi R，Popivanov P，Slavova A.关于非线性Black-Scholes方程。2013年非线性分析差异方程；1(2):75–81.[4] Bordag LA，Frey R.非流动市场的非线性期权定价模型：标度性质和显式解。作者：Ehrhardt M，编辑。数学金融中的非线性模型：期权定价的新研究趋势，纽约：Nova Science Publishers Inc。；2008年[5]C,etin U，Jarrow RA，Protter P.流动性风险和套利定价理论。金融斯托赫2004；8:311–41.[6] Frey R，Polte U.《金融中的非线性Black–Scholes方程：相关控制问题和解的性质》。2011年《暹罗杂志》；49(1):185–204.[7] Amsterr P，Averbuj CG，Mariani MC，Rial D.考虑交易成本的Black-Scholes期权定价模型。J数学分析应用2005；303:688–95.[8] Bakstein D.，Howison S.一个具有可观察衍生工具参数的无套利流动性模型。牛津大学预印本2003。[9] 波布罗夫MV。非流动市场中的公平价格估值。金融数学硕士论文，技术报告IDE0738，瑞典哈姆施塔德大学，2007年。[10] Polyanin AD，扎伊采夫VF。

非线性偏微分方程手册。博卡拉顿：华润出版社；2012年[11]头AK。LIE，一个用于微分方程LIE分析的PC程序。1996年公共体育大学；96:311–13.[12] Basarab Horwath P，Lahno V，Zhdanov R.李代数的结构和偏微分方程的分类问题。2001年应用数学学报；69:43–94.[13] Patera J，Winternitz P.实三维和四维李代数的子代数。1977年数学物理杂志；18:1449–55.[14] Polyanin AD，扎伊采夫VF。普通微分方程精确解手册。博卡拉顿：华润出版社；2003年[15]安库迪诺娃J，埃哈特M.关于非线性Black-Scholes方程的数值解。计算机数学应用2008；56:799–812.

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