非线性Black-Scholes方程的对称约化和精确解

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英文标题：
《Symmetry reduction and exact solutions of the non-linear Black--Scholes
  equation》
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作者：
Oleksii Patsiuk, Sergii Kovalenko
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this paper, we investigate the non-linear Black--Scholes equation: $$u_t+ax^2u_{xx}+bx^3u_{xx}^2+c(xu_x-u)=0,\\quad a,b>0,\\ c\\geq0.$$ and show that the one can be reduced to the equation $$u_t+(u_{xx}+u_x)^2=0$$ by an appropriate point transformation of variables. For the resulting equation, we study the group-theoretic properties, namely, we find the maximal algebra of invariance of its in Lie sense, carry out the symmetry reduction and seek for a number of exact group-invariant solutions of the equation. Using the results obtained, we get a number of exact solutions of the Black--Scholes equation under study and apply the ones to resolving several boundary value problems with appropriate from the economic point of view terminal and boundary conditions.
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中文摘要：
本文研究了非线性Black-Scholes方程：$$u_t+ax^2u_{xx}+bx^3u_{xx}^2+c（xu_x-u）=0、\\quad a，b>0、\\c\\geq0.$$并证明了通过适当的变量点变换，这个方程可以简化为$$u_t+（u_{xx}+u_x）^2=0$$。对于得到的方程，我们研究了它的群论性质，即在李意义下找到其不变性的极大代数，进行对称约化，并寻求方程的若干精确群不变解。利用所得结果，我们得到了所研究的Black-Scholes方程的一些精确解，并从经济角度和边界条件出发，将这些精确解应用于解决几个具有适当边界条件的边值问题。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：SCHOLES choles Black Holes lack

非线性Black-Scholes方程的对称约化和精确解Oleksii Patsiuka，b，*, 乌克兰国家科学院数学研究所Sergii Kovalenkocai，3 Tereshchenkivs\'kaStr。，01601基辅-4，乌克兰私人银行，6 Seryozhnikova街，14006 Chernihiv，乌克兰卡达斯集团公司，77 20 richchya Peremohy街，49127 Dnipro，乌克兰斯特拉特本文研究非线性Black-Scholes方程：ut+axuxx+bxuxx+c（xux- u） =0，a，b>0，c≥ 0.并表明，通过适当的变量点变换，可以将其简化为方程ut+（uxx+ux）=0。对于得到的方程，我们研究了它的群论性质，即，我们找到了它在李意义下不变性的最大代数，进行了对称约化，并寻求了方程的一些精确群不变解。利用所得结果，我们得到了所研究的Black–Scholes方程的一些精确解，并从经济角度和边界条件出发，将这些精确解应用于解决几个边值问题。关键词：布莱克-斯科尔斯方程，对称约化，精确解1。在现代数学金融中，布莱克-斯科尔斯方程（BSE）是期权定价理论中使用的关键方程之一。请注意，标准衍生品定价理论是基于完全流动市场的假设。在这种情况下，使用了经过充分研究的线性BSE[1，2]。但近年来，人们对流动性差的市场给予了极大关注。

如[3]所述（另见[4]），提供欧式期权价格的最全面的方程是以下非线性BSE:ut+~σ（S，uS，uSS）SuSS+r（SuS- u） =0，r≥ 0, (1)*通讯作者。电子邮件地址：patsyuck@yahoo.com（Oleksii Patsiuk），kovalenko@imath.kiev.ua（Sergii Kovalenko）提交给《非线性科学与数值模拟通讯》的预印本2018年3月15日，其中u是研究中的欧式期权的价格，S是标的股票的价格，r是无风险利率，σ是波动函数。对于非流动性市场的建模，可以使用[4]：1）交易成本模型，其波动率函数的形式为：△σ=σ（1+2ρSuSS）；2） 波动率函数∧σ=σ（1）的简化形式随机微分方程（SDE）模型- ρSuSS）；3） 波动率函数∑=σ（1）的平衡（反应函数）模型- ρuS）（1- ρuS- ρSuSS）。在所有这些公式中，σ是恒定（历史）波动率，ρ是所研究市场流动性的参数模型。由于ρ通常被认为很小，我们可以在最后两个公式中，用ρ=0附近的一阶泰勒近似来代替∑。因此，对于ρ的较小值，我们可以通过交易成本模型来限制我们的考虑，并且只研究形式为ut+σSuSS（1+2ρSuSS）+r（SuS）的BSE- u） =0，σ，ρ>0，r≥ 0.（2）形式为σ（1+2ρSuSS）的非线性BSE在金融数学中被广泛使用。注意，等式（2）是[7]和[8]中分别考虑的等式（1.1）和（28）的部分情况。[3,4,6,9]中也研究了r=0的方程式（2）。

特别是，利用李群论的方法，Bobrov[9]找到了一的最大不变性代数，进行了对称约化，并给出了精确不变解的例子。使用符号a=σ、b=ρσ、c=r和x=S，我们以更方便的形式重写（2）：ut+axuxx+bxuxx+cxux- cu=0，a，b>0，c≥ 0.（3）在下文中，我们只考虑域R+×R+中自变量t，x的值（这是由于这些变量的经济意义）。为了避免Bobrov在C=0的情况下进行繁琐的计算，我们使用变量的点变换将（3）简化为更简单的形式。该模型由C,etin、Jarrow和Protter[5]提出。注意，在[4]中，考虑了其他几种具有不同波动率函数的交易成本模型。对于ρ=0，市场是完全流动的（我们有线性BSE），而对于ρ大，交易对交易价格有很大影响。对于美国大公司的股票，ρ是一个小参数（约为10）-4） [6，第186页]。对得到的方程进行了群分析，并建立了它的一些精确不变解，我们利用变量的逆变换将它们转化为方程（3）的解。本文的结构如下。在第2节中，使用变量的简化点变换，我们将非线性BSE（3）简化为偏微分方程（PDE），这是著名手册[10]中方程的特例。在第三节中，我们给出了该方程的最大不变代数（MAI）的一维子代数的最优系统，进行了对称约化，得到了该方程的若干精确群不变解。回到BSE（3），我们在第4节中得到了它的一些精确解。

接下来，我们应用第4节中的解，用控制方程（3）求解几个BVP。最后，在第6节中，我们简要总结了本文的结果。2.使用变量ST=t，x=logxb，u=bux+alogxb的点变换简化变量的点变换-at（c=0）；（4） t=ct，x=logcxb- ct，u=bucx+a2clogcxb-A.1+a2ct（c>0），（5）我们可以将方程（3）简化为方程ut+（ux+uxx）=0（6）（为了方便起见，下文省略上划线）。我们得到一个形式为ut=F（ux，uxx）的方程。已知（见[10，Subs.12.1.1，No.2]）得到的方程允许行波解u（t，x）=u（ξ），ξ=kx+λt，（7），其中函数u（ξ）由自治常微分方程（ODE）F（kuξ，kuξ）确定- λuξ=0，以及公式u（t，x）=c+ct+ξ（ξ），ξ=kx+λt（8）的一个更复杂的解，其中函数u（ξ）由自治的ODEF（k洎ξ，k洎ξ）确定- λφξ- c=0。在第3节中，我们找到了方程（6）的许多其他解。利用LIE[11]程序对方程（6）进行对称约化和精确解，我们得到方程（6）的MAI基可以如下选择：X=-x、 x=-E-十、u、 X=t、 X=u、 X=tT- Uu、 这个算子的非零交换子是：[X，X]=X，[X，X]=-十、 [X，X]=X[X，X]=-因此，我们的MAIA可以写成一维代数和四维理想的半直和：A={X}A{X，X，X，X}。理想的是A2型。2.⊕2A（此处我们使用[12]中使用的符号）。利用这些事实，并执行著名的分类算法[13，第1450页]，我们得到以下断言。提议1。

MAIof方程（6）的一维子代数的最优系统由以下子代数组成：hXi，hXi，hXi，hXi，hXi，hX+εXi，hX+εXi，hX+εXi，hX+εXi，hX+εXi，hX+y（εX+εX）i，hX+sin（εX+εX）i，hX+zXi，hX-X+εXi，其中ε=±1，ε=±1，ε=±1，y>0，z 6=0，-1和0<η<π。首先，注意代数hXi、hXi和hX+εX |ε=±1i不满足非退化不变量解存在的必要条件。此外，我们基于命题1中的所有其他代数，对不变解进行了详细的分析。我们的调查结果见表1和表2。表1由子代数生成的ANZATSE和相应的简化方程组成，精确解（或一阶常微分方程，如果我们找不到它们的解）如表2所示。备注1。只有当ε=-1.备注2。在表2:1）中，解决方案1无关紧要，可以包含在解决方案2中；2） 解3是行波解，可以从（7）得到，如果我们把k=1，λ=ε；3） 如果我们把c=0，那么可以从溶液3中得到溶液4；4） 解7的形式是（8），如果我们把k=1，λ=k，c=ε；表1：等式（6）的对称性约化。

AlgebraaAnsatz约化方程1 hXi u=Д（t）Д=02 hXi u=Д（x）Д+Д=03 hX+εXi u=Д（x+εt）（Д+Д）+εД=04 hX+εXi u=Д（t）- εxа=-15 hX+εXi u=Д（x）- εte-x（ν+ν）- εe-x=06 hX+εXi u=Д（x）+εt（Д+Д）+ε=0bhX+k（x+εx）i u=Д（y）+εt（Д+Д）+kД+ε=0chX+k（x+εx）i u=Д（x）+ε -柯-十、t（~n+~n）-柯-x+ε=09 hXi u=t-1а（x）（а+а）- ~n=0dhX+kXi u=t-1а（y）（а+а）+kа- ~n=0ehX- X+εXi u=e-x（~n（y）- εx）（ν- φ+ ε)- ey~n=0在该列中，ε=±1。在这种情况下，k6=0，y=x+kt。在这种情况下，0<| k |<1。在这种情况下，k6=0，-1，y=x+k log t。在这种情况下，y=x- log t.5）如果我们从表1z=-键ω=eys-ε+k~n（y）,并接受参数形式的解（见[14，Subs.1.3.1，No.2]）：z=z（τ），w=τ·z（τ），其中z（τ）定义为：a）z（τ）=c2τ - 1 +√4k+11.-√4k+12τ - 1.-√4k+11+√4k+1-,如果ε=-1，k6=0；b） z（τ）=c2τ - 1 +√1.- 4k1.-√1.-4k2τ - 1.-√1.- 4k1+√1.-4k-,如果ε=1，且0<| k |<；c） z（τ）=c2τ-1e2τ-1，如果ε=1，k=±；d） z（τ）=c（τ）- τ+k）-E-√4k-1arctan2τ-1.√4k-1，如果ε=1，和| k |>；6） 如果我们把表1z=p~n中的ODE 9，ω=~n，则得到ODE 12；这是第二类阿贝尔方程[14，Subs.1.3.2]；表2：方程（6）的精确群不变解。

代数精确解或一阶ODEb1 1 u=c2 2 u=c+ce-x3 3 u=c- ε（x+εt）+4δce-（x+εt）+εce-（x+εt）4 u=c- T- εx5 5 u=c+4δe-十、- （t+c）e-x6 6（ε=-1） u=c+ce-x+δx- tc7（φ=常数）u=c+εt+2kδ√1.- 4εk- 1.x+ktd8（ε=-1） u=c+ce-十、-1+ke-十、t++δkhK-E-十、十、- 3pk（k+e）-x） +（2k）- E-x） 日志√k+√k+e-十、ie8（ε=-1） u=c+ce-十、-1.-柯-十、t++δkhk+e-十、十、- 3pk（k）- E-x） +（2k+e）-x） 日志√k+√K- E-十、if8（ε=1）u=c+ce-x+1.-柯-十、t++δkhk+e-十、arctanqk（e）-十、- （k）- 3pk（e）-十、- k） ig7（ψ6=常数）w（z）=1- εkzw（z）12 9 w（z）=w（z）-q3zh10 w（а）=√φ-千瓦（u）瓦（u）- 114 11 w（z）=1- εe-2zw（z）在这一列中，表1中的代数数被指出。bIn该列，ε，δ∈ {1, -1}; c、 关心任意的实常数。在这种情况下，k6=0，如果ε=-1和0<| k |≤, 如果ε=1。在这种情况下，0<k<1。在这种情况下，0<k<1，x≥ - 在这种情况下，0<k<1，x≤ - 在这种情况下，k6=0。在这种情况下，k6=0，-1.表3：方程（3）的精确解，c=0No。

索尔。aExact溶液B1 2 u=c+a2bxc+at- 对数x2 5 u=c- t+4δpxb+a2bxc+at- 对数x3.6 u=c+a+2ε2bxc+a-2εt- 对数x4.3 u=εce-εt+4δce-εtpxb+a+2ε2bxc+a-2εt- 对数xC7U=xbhc+ε+aT-alog x+2kδ√1.- 4εk- 1.kt+logxid8 u=c-kt+xbc+A.- 1.T-alog x++δ1.-b2kx日志2kxb1+q1+bkx+ 1.- 3q1+bkxe9 u=c+kt+xbc+A.- 1.T-alog x++δ1+b2kx日志2kxb1+q1-bkx- 1.- 3q1-bkxf10 u=c-kt+xbc+a+1T-alog x++δ1+b2kxarctanqbkx- 1.- 3qbkx- 1.在这一列中，表2中等式（6）的解的数量如下所示。bIn该列，ε，δ∈ {1, -1}; c、 关心任意的实常数。在这种情况下，k6=0，如果ε=-1和0<| k |≤, 如果ε=1。在这种情况下，0<k<1。在这种情况下，0<k<1，x≥在这种情况下，0<k<1，x≤bk.7）如果我们将表1中的ODE 10放入w（ν）=~n，则获得ODE 13；8） 如果我们把表1z=y，ω=e中的ODE 11加进去，就得到了ODE 14-yp k（y）。方程（3）的精确解利用方程（6）的解2-3、5-10（见表2）和变量（4）-（5）的点变换，我们得到了表3和表4中给出的方程（3）的许多精确解。将我们获得的解与[9]中的解进行比较。表4:c 6=0时方程（3）的精确解。

索尔。aExact溶液B1 2 u=cect+a2bxc+a+2ct- 对数x2.5 u=（c）- ct）ect+4δectpcxb+a2bxc+a+2ct- 对数x3.6 u=cect+a+2εc2bxc+a+2（1）-ε） ct- 对数x4 3 u=εce（1-ε） ct+4δcec（1-ε） tpcxb+a+2εc2bxc+a+2（1）-ε） ct- 对数xC7U=cxbc+εc+a1+a2cT-a2clog x++2kδ√1.- 4εk- 1.K- 1.ct+logxD8U=C-cktect+cxbc+A.1+a2c- CT-a2clog x++δ1.-B2KCExect日志2kcxbe-ct1+q1+bkcxect+ 1.- 3q1+bkcxecte9 u=c+cktect+cxbc+A.1+a2c- CT-a2clog x++δ1+B2KCExect日志2kcxbe-ct1+q1-bkcxect- 1.- 3q1-bkcxectf10 u=C-cktect+cxbc+A.1+a2c+ CT-a2clog x++δ1+B2KCExectarctanqbkcxect- 1.- 3qbkcxect- 1.在这一列中，表2中等式（6）的解的数量如下所示。bIn该列，ε，δ∈ {1, -1}; c、 关心任意的实常数。在这种情况下，k6=0，如果ε=-1和0<| k |≤, 如果ε=1。在这种情况下，0<k<1。在这种情况下，0<k<1，x≥bkcect。在这种情况下，0<k<1，x≤bkcect。常数，我们可以用以下形式重写Bobrov解：u（t，x）=c+cx{c+（a- bc）t- logx}；（9） u（t，x）=c+ct+x（c+ct）-A2X博客-3δ√-cbKbr1+Kx--δcK√-cbK1.-2Kx记录“2Kx1+r1+Kx！+1#），（10）K=4cb- a4cb，δ=±1。很容易看出，表3中的溶液1和3（以及a=1的5）是形式（9），溶液6是形式（10）。在本节中，我们将应用第4节中发现的非线性Black–Sholes方程（3）的解来求解各种BVP。在[7]中，下列方程的定常边值问题五、S+bσS五、s+ R五、党卫军- 五、= 0，S∈ （c，d）（11）在Dirichlet边界条件下，对于某些固定的d>c>0，考虑了sv（c）=Vc，V（d）=Vd（12）。