非流动资产组合的优化问题：李群

（3.17）李代数LHARAhas下列非零交换子关系[U，U]=γU，[U，U]=U（3.18）李代数LHARAhas下列非零交换子关系[U，U]=γU，[U，U]=-κU[U，U]=U[U，U]=-rU（3.19）备注3.1发现的李代数描述了方程（3.12）对于任意函数Φ（t）的对称性。在[5]，[6]中，我们证明了清算时间分布的HJB方程解的存在唯一性定理，其中Φ（t）~ E-κtor比t更快→ ∞, 所以我们将进一步研究这类分布方程的解析性质。教授3.1和[4]一样，我们引入了第二束射流j（2），并以以下形式给出了方程（3.12）（l，h，t，V，Vl，Vh，Vt，Vll，Vll，Vlh，Vhh）=0作为喷射束j（2）中这些变量的函数。我们在formu=ξ（l，h，t，V）中寻找公认李代数的生成元 l+ξ（l，h，t，V） h+ξ（l，h，t，V）t+η（l，h，t，V）五、 （3.20）其中，函数ξ、ξ、ξ、η可使用超定方程组SU（2）求出（长，高，t，V，Vl，Vh，Vt，Vll，Vll，Vlh，Vhh）|=0=0，（3.21），其中U（2）是j（2）中U的第二个延伸。我们来看看U（2）对（l，h，t，V，Vl，Vh，Vt，Vll，Vll，Vlh，Vhh）在其溶液子品种上 = 0，并从（3.20）中获得函数ξ、ξ、ξ和η的一个确定的偏微分方程组。该系统在函数ξ、ξ、ξ、η上有137个偏微分方程。其中大多数是平凡的，并导致函数（ξ）l=a（t），（ξ）h=0，（ξ）V=0，（ξ）l=0，（ξ）V=0（ξ）l=0，（ξ）h=0，（ξ）V=0，（η）l=0，（η）V=d（h，t）。这基本上意味着未知函数具有以下结构：ξ（l，h，t，V）=a（t）l+a（t），ξ（l，h，t，V）=ξ（h，t），ξ（l，h，t，V）=ξ（t），η（l，h，t，V）=d（h，t）V+d（h，t）。（3.22）这里a（t）和d（h，t）是一些函数，将在后面定义。

为了找到未知函数a（t），a（t），ξ（h，t），d（h，t），d（h，t），我们应该仔细观察所获得系统的非平凡方程，它们是左。经过所有简化，我们得到了七个PDEs2（ξ）的系统- hξh）+hξt=0，（3.23）（1- γ)ΦηV- ξ- ξtΦtΦ+ γL（η）=0，（3.24）ηV- γξl-ΦtΦξ- (1 - γ） ξt=0，（3.25）（α）- r） ξt+2ηρhηhV=0，（α- r） （ξ）- hξh+hξt）+ηρσhηhV=0，rξ- ξt- ξl（δh+rl）+δξ+（δh+rl）ξt=0，（u- δ )(ξ- hξh+hξt）- ξt-ηhηhh=0，其中L=t+ηh H- (δ - u）h handξ，ξ，ξ=常数，η满足（3.22）。使用（3.22），我们得到了一个简化的系统。求解任意函数Φ（t）的系统，我们得到ξ=bl+aert，（3.26）ξ=bh，ξ=0，η=bγV+d- b（1）- γ） ZΦ（t）dt+d（h，t）。方程（3.26）包含三个任意常数a，b，和函数d（h，t），这是Ld（h，t）=0的任意解。公式（3.26）定义了有限维李代数LHARA（3.15）和有限维代数L的三个生成器∞如定理3.1所述。如果我们假设方程（3.24）和（3.25）中的表达式ΦtΦ=const，即清算时间呈指数分布，我们还获得了第四对称性（3.16）。当李代数有任何扩展时，这是一个独特的情况。3.2对数效用函数的情况对数效用函数与HARA函数非常接近，而且它可以被视为HARA效用的极限情况（3.11）。然而，对数的某些性质使得这种特殊情况相当普遍，因此我们单独分析它。整个方法与第3.1节中描述的方法非常相似，因此我们省略了一些细节。

在对数效用函数的情况下，形式最大化程序后的HJB方程将采用以下形式vt（t，l，h）+ηhVhh（t，l，h）+（rl+δh）Vl（t，l，h）+（u- δ）hVh（t，l，h）-(α - r） Vl（t，l，h）+2（α）- r） ηρhVl（t，l，h）Vlh（t，l，h）+ηρσhVlh（t，l，h）2σVll（t，l，h）- Φ（t）logVl- 对数Φ（t）+1= 0，V-→T→∞0.（3.27）这里的投资π（t，l，h）和消费c（t，l，h）根据值函数Vπ（t，l，h）如下所示：-ηρσhVlh（t，l，h）+（α）- r） Vl（t，l，h）σVll（t，l，h），（3.28）c（t，l，h）=Φ（t）Vl（t，l，h）。（3.29）备注3.2我们以（3.11）的方式选择HARA效用的形式。现在我们看到，将HJB方程转换为PdeP的最大化过程也保留了这个性质。如果我们把（3.12）的极限作为γ→ 0（3.27）。与前一章类似，我们可以为这个偏微分方程建立李群分析的主要定理。定理3.2等式（3.27）允许三维李代数LLOG，由生成器LLOG=<U，U，U>生成，其中U=五、 U=ert l、 U=l l+h H-ZΦ（t）dt五、 （3.30）任何清算时间分配。此外，当且仅当清算时间分布具有指数形式，即Φ（t）=de-κt，其中d，κ是常数，所研究的方程允许一个带有额外生成元u的四维李代数LLOGW=T- κV五、 （3.31）即LLOG=<U，U，U，U>。除了有限维李代数和相应的有限维李代数外，方程（3.27）也允许有限维代数L∞=< ψ（h，t）五> 其中函数ψ（h，t）是线性偏微分方程ψt（h，t）+ηhψhh（h，t）+（u）的任意解- δ）hψh（h，t）=0。（3.32）李代数LLOGHA是一个非零交换子关系[U，U]=U。李代数LLOGHA是下列非零交换子关系[U，U]=-κU[U，U]=U[U，U]=-鲁。备注3.3如果我们比较Hara和log实用程序中李代数生成器的形式，即。