非流动资产组合的优化问题：李群

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英文标题：
《Optimization problem for a portfolio with an illiquid asset: Lie group
  analysis》
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作者：
Ljudmila A. Bordag, Ivan P. Yamshchikov
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Management of a portfolio that includes an illiquid asset is an important problem of modern mathematical finance. One of the ways to model illiquidity among others is to build an optimization problem and assume that one of the assets in a portfolio can not be sold until a certain finite, infinite or random moment of time. This approach arises a certain amount of models that are actively studied at the moment.   Working in the Merton\'s optimal consumption framework with continuous time we consider an optimization problem for a portfolio with an illiquid, a risky and a risk-free asset. Our goal in this paper is to carry out a complete Lie group analysis of PDEs describing value function and investment and consumption strategies for a portfolio with an illiquid asset that is sold in an exogenous random moment of time with a prescribed liquidation time distribution. The problem of such type leads to three dimensional nonlinear Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equations. Such equations are not only tedious for analytical methods but are also quite challenging form a numeric point of view. To reduce the three-dimensional problem to a two-dimensional one or even to an ODE one usually uses some substitutions, yet the methods used to find such substitutions are rarely discussed by the authors.   We find the admitted Lie algebra for a broad class of liquidation time distributions in cases of HARA and log utility functions and formulate corresponding theorems for all these cases. We use found Lie algebras to obtain reductions of the studied equations. Several of similar substitutions were used in other papers before whereas others are new to our knowledge. This method gives us the possibility to provide a complete set of non-equivalent substitutions and reduced equations.
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中文摘要：
管理包含非流动资产的投资组合是现代数学金融学的一个重要问题。建立流动性不足模型的一种方法是建立一个优化问题，并假设投资组合中的一项资产在某个有限、无限或随机时刻之前无法出售。这种方法产生了一些目前正在积极研究的模型。在默顿的连续时间最优消费框架下，我们考虑了一个非流动资产、风险资产和无风险资产组合的优化问题。本文的目标是对描述价值函数和投资与消费策略的偏微分方程进行完整的李群分析，投资组合中的非流动资产在规定的清算时间分布的外生随机时刻出售。这类问题导致了三维非线性Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程。这样的方程不仅对分析方法来说是乏味的，而且从数值的角度来看也是相当具有挑战性的。为了将三维问题简化为二维问题，甚至简化为常微分方程，通常会使用一些代换，然而，作者很少讨论寻找此类代换的方法。在HARA和log效用函数的情况下，我们找到了一类广泛的清算时间分布的公认李代数，并对所有这些情况给出了相应的定理。我们使用发现的李代数来获得所研究方程的约化。之前有几篇论文使用过类似的替代方法，而其他的是我们所知的新方法。这种方法为我们提供了一套完整的非等价代换和约化方程的可能性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Analysis of PDEs        偏微分方程分析
分类描述：Existence and uniqueness, boundary conditions, linear and non-linear operators, stability, soliton theory, integrable PDE\'s, conservation laws, qualitative dynamics
存在唯一性，边界条件，线性和非线性算子，稳定性，孤子理论，可积偏微分方程，守恒律，定性动力学
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PDF下载：
--> Optimization_problem_for_a_portfolio_with_an_illiquid_asset:_Lie_group_analysis.pdf (394.02 KB)

2022-5-9 17:19:47 上传

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关键词：流动资产 资产组合 substitution Optimization Mathematical

具有非流动资产的投资组合的优化问题：李群分析Judmila a.Bordag，Ivan P.Yamshchikov，应用科学大学齐塔/戈利茨分校数学与自然科学学院，德国齐塔州西奥多-科纳-阿莱16，D-02763 Zittau，D-02763摘要包含非流动资产的投资组合的管理是现代数学金融的一个重要问题。建立流动性不足模型的一种方法是建立一个优化问题，并假设投资组合中的一项资产在某个特定时间、特定时间或随机时刻才能出售。这种方法产生了目前正在积极研究的一定数量的模型。在Merton的连续时间最优消费框架下，我们考虑了一个非流动资产、arisky资产和无风险资产组合的优化问题。我们在本文中的目标是对描述价值函数和投资与消费策略的偏微分方程进行完整的李群分析，投资组合中的非流动资产是在外生随机时刻出售的，具有规定的清算时间分布。这类问题导致了三维非线性Hamilton-JacobiBellman（HJB）方程。这样的方程不仅对于分析方法来说是乏味的，而且从数值的角度来看也是相当具有挑战性的。为了将三维问题简化为二维问题，甚至简化为常微分方程问题，通常会使用一些替换，但作者很少讨论用于查找此类替换的方法。在HARA和log效用函数的情况下，我们找到了一类广泛的清算时间分布的公认李代数，并为所有这些情况制定了相应的理论。我们使用发现的李代数来获得所研究方程的约化。

之前，在其他论文中使用了一些类似的替代品，而我们所知的其他替代品是新的。这种方法使我们有可能提供一套完整的非等价代换和约化方程。1简介对非流动资产优化问题的研究导致了三维非线性Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程。这样的方程不仅对分析方法来说是乏味的，而且从数值的角度来看也是相当具有挑战性的。标准技术之一是找到方程的内部对称性，并将变量数量至少减少到两个，或者如果可能的话减少到一个。低维问题通常会得到更好的研究，因此更容易处理。我们所知道的所有致力于三维HJB方程的论文都提供了变量替换，但没有说明如何在其他情况下获得类似的替换，也没有说明为什么使用这个或那个替换。然而，由于S.Lie[16]的著名工作众所周知，线性或非线性偏微分方程（PDE）所允许的具有连续参数的光滑点变换可以通过李群分析的算法找到。许多教科书中都详细描述了帮助找到PDE认可的对称群的过程，例如，我们可以向感兴趣的读者推荐[20]、[13]或[4]。然而，这些程序的实际应用与冗长乏味的计算有关，而这些计算只能在现代计算机软件包的帮助下轻松实现。例如，在准备本文时，我们使用IntroToSymmetry程序来获得方程组的确定系统。

求解这些偏微分方程的确定系统通常相当困难，而且很少能通过算法来完成，但找到确定方程系统的可能性有助于研究人员的工作，因为这些系统相当庞大。例如，在所研究的情况下，系统有100多个方程。一旦发现所研究的偏微分方程所承认的李代数，就可以找到所有降低给定偏微分方程维数的非等价变量替换（如果有）。偏微分方程所承认的李代数生成了该方程的相应对称群。利用所考虑的李代数伴随表示的相应指数映射，我们也可以找到方程的对称群或相应子群。我们不必寻找对称群的显式形式来找到所研究的偏微分方程的约化和方程的不变解。知道并使用与所承认的对称群相对应的对称代数的性质就足够了。这一代数的最优子代数系统产生了一整套不等价的代换，并由此产生了一组不同的被研究数据的约化。约化偏微分方程的解称为不变解，因为它们在给定子群的作用下是不变的。本文的目标是找到公认的偏微分方程李代数，描述非流动资产组合的价值函数以及投资和消费策略，该资产在随机时刻以规定的清算时间分布出售。在Hara和log效用函数的情况下，我们找到了一类清算时间分布的可接受李代数，并给出了相应的定理。

我们在HARA和对数效用函数的两种情况下，给出了清算时间分布的一般情况下的最优子代数系统。我们分别考虑了清算时间的指数分布情况，其中相应的偏微分方程包含扩展李代数。它导致了某些区别性质，在某些情况下，三维偏微分方程对二维方程甚至常微分方程的非平凡约化。我们描述了所有的非等价替代，给出了相应的约化和相应的低维方程，以及相应的分配-消耗策略。2.经济设置在[5]，[6]中，作者详细描述了一个与以下情况相对应的优化问题：投资者拥有一项非流动资产，该资产具有一定的账面价值，直到某个随机时刻才能出售，且具有规定的分布。他试图将自己的平均消费最大化，投资于与非流动资产部分相关的风险资产，以及具有恒定分割率的无风险资产。2.1优化问题的表述投资者的投资组合包括无风险债券Bt、风险资产和非交易资产，这些资产产生随机收入，即股息或维持资产的成本。投资组合T的清算时间是一个随机分布的连续变量。无风险银行账户Bt，利率为r，跟随DBT=rBtdt，t≤ T、 （2.1）其中r为常数。股票价格St遵循几何布朗运动St=St（αdt+σdW），t≤ T、 （2.2）连续复合收益率α>r和标准差σ。小写指数t表示t时刻资产的即期价值。

非流动资产Ht，在时间T之前不能交易，其账面价值与股票价格相关，由DHTHT=（u）决定- δ） dt+η（ρdW+p1）- ρdWt），t≤ T、 （2.3）如[6]所示，其中u是风险非流动资产的预期收益率，（W，W）是两个独立的标准布朗运动，δ是非流动资产支付的股息率，η是收益率的标准偏差，ρ∈ (-1,1）是股票指数和非流动性风险资产之间的相关系数。参数u、δ、η、ρ均假定为常数。随机分布的时间T是一个外生时间，它不依赖于布朗运动（W，W）。T分布的概率密度函数用φ（T）表示，而Φ（T）表示累积分布函数，Φ（T）表示生存函数，也称为可靠性函数，Φ（T）=1- Φ（t）。为了缩短公式，我们省略了分布的可能参数的明确概念。我们假设投资者以c（t）的速度从流动财富中消费，而分配消费计划（π，c）由投资于股票的现金量π=π（t）、消费流c=c（t）和债券中剩余的资本组成。此外，为了公式的清晰性，我们有时忽略了方程中对t的依赖性。当且仅当消费流C为正且存在融资策略时，消费流C才是可接受的。所有收入都来自资本收益，投资者必须有偿付能力。换句话说，流动财富过程必须覆盖消费流。财富过程LTI是非交易资产中持有的债券、股票和随机分割的现金减去消费流的总和，即。

它必须满足平衡方程DLT=rLt+δHt+πt（α- r）- ctdt+πtσdW。投资者希望最大化在清算时间T之前消耗的总效用，给定byU（c）：=EZ∞Φ（t）U（c）dt. （2.4）这意味着我们处理的问题（2.4）对应于值函数v（l，h，t），定义为asV（l，h，t）=max（π，c）EZ∞tΦ（t）U（c）dt | L（t）=L，H（t）=H, （2.5）其中l可被视为初始资本，h可被视为非流动资产的账面价值。价值函数V（l，h，t）满足价值函数的汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程，表示为l，h和tVt（l，h，t）+ηhVhh（l，h，t）+（rl+δh）Vl（l，h，t）+（u- δ）hVh（l，h，t）+maxπG[π]+maxc≥0H[c]=0，（2.6）G[π]=Vll（l，h，t）πσ+Vhl（l，h，t）ηρπσh+π（α- r） Vl（l，h，t），（2.7）h[c]=-带边界条件v（l，h，t）的cVl（l，h，t）+Φ（t）U（c），（2.8）→ 0，作为t→ ∞. （2.9）在[5]和[6]中，作者已经证明了公式化问题在某些条件下具有唯一解。也就是说，1。U（c）在c，2中是严格递增的、凹的和二次可微的。U（c）≤ M（1+c）γ与0<γ<1和M>0,3。极限→0U（c）=+∞, 极限→+∞U（c）=0.4。极限→∞Φ（T）E[U（c（T））]=0，Φ（T）~ E-κTor比T更快→ ∞,5.r- u+δ>0和r- α+ηρσ6=0在本文中，我们将自己具体限制在通过定义满足三个第一条件的HARA和对数效用的情况下。我们还假设默认情况下，选择问题的其他参数来满足上述所有条件，从而保证解的存在性和唯一性。2.2文献中描述的类似问题在优化框架中有很多工作，这些工作涉及与HJB方程相对应的问题，这些方程看起来非常类似（2.6）。几乎所有使用这种模型的作者都会使用他们所使用的PDE的某些缩减。

这种简化在文献中几乎没有解释过，通常在没有任何形式推导的情况下呈现给读者，但对于进一步分析问题至关重要。在对我们在第2节中提出的问题进行李群分析之前，让我们简要描述一下作者使用的与本文中进一步得到的类似的李型约简的工作。在[9]中，作者提出了收益风险不可分散的最优投资问题。该问题也是三种资产组合的优化问题，其中一种是无风险的，一种是有风险的经典股票，第三种是非负随机收益。该问题是在有限的时间范围内考虑的，因此所研究的方程是二维的。在[10]中，作者将同样的问题与有限的时间范围和特定的HARA实用程序联系起来。作者使用替换u（x，y）=yγu（x/y），其中u是一个值函数，x和y是两个空间变量。我们可以在（4.42）中进一步看到这种替代的起源。[25]中使用了相同的替换，但没有背后的推理，用于有限时间范围内的问题。这种替代将三维问题简化为二维问题。[23]中的作者认为一个问题与第2节中描述的问题非常相似。他们还使用三资产组合，其中一项资产是非流动资产，一项资产在预定的时间内被解决。我们的方法与[23]之间的主要区别在于，我们使用的是一个随机分布的外部清算时间。

[23]中的作者使用约化V（l，h，t）=h1-γV（z，t），但不评论该替代物是如何获得的。3具有一般清算时间分布和不同效用函数的问题的李群分析在所选效用函数的形式最大化（2.7）和（2.8）后，方程（2.6）成为三维非线性偏微分方程（所有细节见[5]和[6]）。正如我们在本文中已经说过的，我们考虑了两种不同的实用功能，现在我们分别来看HARA实用程序和log实用程序的情况。3.1在HARA效用函数的情况下，众所周知，效用函数U（c），其中风险容限R（c）定义为asR（c）=-U（c）U（c）是c的线性函数，称为HARA（双曲绝对风险规避）效用函数。在本文中，我们使用两种类型的效用函数：aHARA效用函数UHARA（c）和log效用函数ULOG（c）=log（c）。让我们注意一下，对数效用函数通常被视为效用函数的极限情况。当HARA utility的参数γ为零时，我们确实可以选择HARA utility，允许从HARA utility到log utility的形式转换，但一般来说，这种转换不适用于任何形式的HARA utility。我们将在不同的层面上演示这种转变，因此在本文中，我们将在formUHARA（c）=1中使用HARA效用- γγc1- γγ- 1., （3.10）风险承受能力T（c）=c1-γ, 0 < γ < 1. 人们很容易将其视为γ→ 0HARA实用程序函数（3.10）倾向于记录实用程序uhara-→γ→乌洛格。

（3.11）HJB方程（2.6）中，我们在形式最大化程序（另见[6]）后以形式（3.10）插入HARA效用，其形式为vt（t，l，h）+ηhVhh（t，l，h）+（rlδh）Vl（t，l，h）+（u- δ）hVh（t，l，h）-(α - r） Vl（t，l，h）+2（α）- r） ηρhVl（t，l，h）Vlh（t，l，h）+ηρσhVlh（t，l，h）2σVll（t，l，h）+（1- γ） γΦ（t）1-γVl（t，l，h）-γ1-γ-1.- γΦ（t）=0，V-→T→∞0.（3.12）这里的投资π（t，l，h）和消费c（t，l，h）根据价值函数Vπ（t，l，h）如下所示：-ηρσhVlh（t，l，h）+（α）- r） Vl（t，l，h）σVll（t，l，h），（3.13）c（t，l，h）=（1- γ） Vl（t，l，h）-1.-γΦ（t）1-γ. （3.14）方程（3.12）是一个具有三个独立变量t、h、l的非线性三维偏微分方程。为了降低方程（3.12）的维数，我们使用李群分析，这使我们能够找到该方程所承认的相应对称代数的生成元。在[4]中，我们可以详细找到适用于类似偏微分方程的这种方法的描述。本文给出了HARA型效用函数优化问题的李群分析的主要定理。定理3.1等式（3.12）承认三维李代数LHARA，由生成器LHARA=<U，U，U>生成，其中U=五、 U=ert l、 U=l l+h h+γV- (1 - γ） ZΦ（t）dt五、 （3.15）任何清算时间分配。此外，当且仅当清算时间分布具有指数形式，即Φ（t）=de-κt，其中d，κ是常数，所研究的方程允许一个带有额外生成元u的四维李代数=T- κV五、 （3.16）即拉腊=<U，U，U，U>。除了有限维李代数（3.15）和（3.16）之外，相应地，方程（3.12）也允许有限维代数L∞=< ψ（h，t）五> 其中函数ψ（h，t）是线性偏微分方程ψt（h，t）+ηhψhh（h，t）+（u）的任意解- δ）hψh（h，t）=0。