将波动率微笑纳入马尔可夫函数模型

随后将介绍UVDDmodel。置换扩散模型（以下简称DD）在这种情况下，我们假设在远期测量qn，N+1下互换率Sn（t）的动态如下，dSn（t）=σN（Sn（t）+mn）dWn，N+1t。（3.2）参数mn称为位移系数。按照从方程A.6到A.7的相同推理，我们可以导出数字接收器接收值的闭式解，DSNn（0；K）=Pn（0）Φ（log（K+mnSn（0）+mn）+σnTnσn√Tn）。（3.3）类似地，欧洲互换期权的价值由esnn（0；K）=φPn（0）（（Sn（0）+mn）Φ（φd+）给出- （K+mn）Φ（φd）-)) （3.4）d±=对数（Sn（0）+mnK+mn）±σnTnσn√Tn，其中，支付方欧洲掉期期权为1，接收方掉期期权为-1。图3.1：各种位移系数值的隐含偏差。位移系数可用于生成隐含挥发物的倾斜形状。位移系数的正值产生向下倾斜的倾斜，而负值产生向上倾斜的倾斜。后者是不现实的，不应该使用。我们在图3.1中报告了各种位移系数值的隐含偏差。mn=0%的情况对应于通常的对数正态模型。我们使用了与附录E.1.1中的数据集I和附录E.2.3.1中的交易I相对应的市场数据，将波动率微笑纳入MF模型17。测试工具是在第五个浮动重置日到期的欧洲互换期权，即T，货币互换率为5.45%。调整参数σ，使所有情况下隐含的ATM波动率相同。更准确地说，我们确定σ，使得UVDD ATM价格等于BS ATM价格。DD模型只能包含波动率偏差，但市场数据表明，互换期权的波动率报价通常是微笑形状[9]。

因此，DD模型不足以描述市场报价。UVDD模型在UVDD设置中，假设Sn（t）+mn具有以下动态Sn（t）=（σn（Sn（t）+mn）dWn，n+1tt∈ [0，ε]ηn（Sn（t）+mn）dWn，n+1tt>ε，（3.5）其中σnis为常数，ηnis为独立于Wn，n+1的随机变量，可取下列值，ηn=概率为λn的σn概率为λn的σn。。。σMn的概率为λMn，（3.6），其中∑Mi=1λin=1。用P表示前向测度qn，N+1下的风险中性概率，我们有P{Sn（t）+mn≤ y} =∑Mi=1P{{Sn（t）+mn≤ y}∩{ηn=σin}=σMi=1λiP{Sin（t）+mn≤ y |ηn=σin}，（3.7）微分方程3.7关于y，我们得到了n（t）+mn，pn，t（y）的概率密度函数=yP{Sn（t）+mn≤ y} =σMi=1λinyP{Sin（t）+mn≤ y |ηn=σin}=∑Mi=1λinpin，t（y），（3.8），其中pin，t（y）是具有恒定挥发性σin的位移对数正态变量的密度。数字接收机选择的值可以用Qn表示，N+1如下，DSNn（0；K）=Pn（0）En，N+1[Pn（Tn）I{Sn（Tn）<K}Pn（Tn）]=Pn（0）En，N+1[Pn（Tn）I{Sn（Tn）+mn mn<K+mn}Pn（Tn）]=Pn（0）Z+∞I{y<K+mn}∑Mi=1λinpin，t（y）dy=∑Mi=1λinPn（0）Z+∞I{y<K+mn}pin，t（y）dy=∑Mi=1λinPn（0）En，N+1[I{Sin（Tn）+mn<K+mn}]=∑Mi=1λinPn（0）En，N+1[I{Sin（Tn）<K}。（3.9）18波动率微笑的积分3现在，我们再次遵循从A.6到A.7的相同推理路线，推导出数字接收机选择值的封闭形式解，DSNn（0；K）=Pn（0）∑Mi=1λinΦ（log（K+mnSn（0）+mn）+（σin）Tnσin√Tn）。（3.10）类似地，欧式互换期权的值可以通过ESNN（0；K）=~nPn（0）∑Mi=1λin（（Sn（0）+mn）Φ（ψdi+）解析确定- （K+mn）Φ（φdi）-)) （3.11）di±=对数（Sn（0）+mnK+mn）±（σin）Tnσin√Tn，其中，支付方欧洲掉期期权为1，接收方掉期期权为-1。我们使用两个组件（M=2）进行了本章中报告的测试。模型可以用以下参数mn、σn、σn、λn、λn表示。

它也可以用参数mn，σn，ωn，λnw表示：σn=σnσn=ωnσnλn=λnλn=1- λn.（3.12）我们在图3.2中首次报告了通过将λ设置为0.75获得的波动微笑的形状，图3.2：UVDD对ω（λ=0.75，m=0）的各种值的隐含微笑。将ωnf从1变为5。ωn=1的情况简化为通常的对数正态模型。在本次测试和下一次测试中，我们使用的数据集和交易规范与前面描述的DD案例相同。我们再次调整参数σ，使3。1将波动率微笑纳入MF模型19，对应于货币罢工时的隐含黑色波动率在所有情况下都是相同的。我们看到，没有位移的对数正态分量的混合会产生一个对称英里，该英里围绕着货币走向的中心。微笑形状在ω值较高时更明显。这是因为增加ω的值意味着在基础分布中有更厚的尾部（左右两侧），因此在对数正态模型中，远离货币期权的价格更低。我们在图3.3中报告了图3.3的形状：不同m值（λ=0.75，ω=2）下UVDD隐含的微笑。通过将λ设置为0.75，ω设置为2，并将mfrom从1变为5，可获得波动率微笑。当错误设置为零时，会产生对称的微笑。为该参数指定一个正值会使低打击的权重增加，而高打击的权重减少。当错误设置为负值时，会发生相反的情况。这是因为较高的位移意味着底层分布的左尾较薄，右尾较薄。

因此，UVD方法允许将微笑的对称形状与向上或向下倾斜的行为相结合。3.1.3 UVDD数字映射我们可以通过对原始BSmapping进行微小更改来执行UVDD数字映射。BS映射在第2.2.3节中解释。在UVDD数字映射中，应使用对应于UVDD模型（方程式3.10）的数字交换选项分析公式，而不是黑色数字公式。通过数值求解以下关于Xn的方程，我们得到了Sn（Xn）的函数形式，DSNn（0；K）=DSNn（0；Sn（Xn））=Pn（0）∑Mi=1λiΦ（log（Sn（Xn）+mnSn（0）+mn）+（σin）Tnσin√Tn）=^DSNn（0；xn）。（3.13）20波动率的积分3注意，^DSNn（0；xn）在等式2.21中定义。这是一个非线性寻根问题，我们采用牛顿-拉夫森方法。3.2不同数字地图的测试结果我们根据附录E中数据集I的市场数据进行了大量测试。1和使用附录E.2中贸易I的设置。测试针对以下数字映射进行：o案例1：Black-Scholes映射；o案例2：mn=2.5%的移位扩散图案例3：mn=5%的移位扩散图案例4：mn=-2.5%;o 案例5：mn=0%、λn=0.75和ωn=2的UVDD映射案例6：mn=0%、λn=0.75和ωn=5的UVDD映射案例7：mn=2.5%、λn=0.75和ωn=2的UVDD映射案例8：mn=2.5%、λn=0.75和ωn=3的UVDD映射。对于情况2至8，我们调整参数σn（n=1，2，…，10），以恢复与情况1相同的挥发性¨σn（n=1，2，…，10）。我们首先讨论一些一致性检查的结果。

接下来，将展示一些测试结果，以验证MF模型中假设的有效性，以及马尔可夫泛函模型关于离散化参数的收敛性。最后，我们将讨论smileon对百慕大Swaption价值的影响。3.2.1欧洲互换期权价格的一致性为了证明实施的正确性，我们首先将MF模型获得的欧洲互换期权值（n=1..10的ESNN）与上述八种情况的分析公式进行比较。罢工（固定息票率）设定为5%。结果如表3.1至表3.4所示。第一行是指1:10周期选项，最后一行是指10:1周期选项。