养老金计划的随机模型

极限x（t）=limN的存在性→∞如果a（x，t）和b（x，t）是x中的一致Lipschitz连续函数，则xN（t）由以下定理1（Skorokhd[36]）保证∈ R、 t∈ [t，t]，那么极限x（t）Pr=limN→∞xN（t）（概率收敛）存在，是（32）的解。pdf的收敛性由定理2（[32]）保证，（33）的解xN（t，ω）的pdf pN（x，t | x）收敛于asN→ ∞ 关于FPE的解p（x，t | x）p（y，t | x，s）t=[b（y，t）p（y，t|x，s）]Y- [a（y，t）p（y，t|x，s）]在初始条件限制下↓ sp（y，t | x，s）=δ（y）- x） 。通过对Xn（t）的500条基本轨迹xi（t）进行平均，我们构造了10000条Xn（t）的轨迹≤ T≤ 600个月。轨迹xi（t）是用schemexi（t）=xi（t）构造的- 1） +φxi（t）- 1） ·N（0，1），代表1≤ T≤ 600，xi（0）=1。对数正态分布的质量如[1]所示。2.4工资的随机模型我们假设，成员i在时间t之前的工资增长si（t）由SDEdsi（t）=a（si，t）dt+b（si，t）dwi（t），si（t）=1，（34）控制，其中wi（t）是独立的MBM。2.4.1漂移和扩散系数的离散近似方案我们通过（34）的连续轨迹近似年度CPI调整工资向量的离散轨迹。我们用S（τ，x）表示在τ时间测量的所有个体相对于其初始值乘以x的集合。第j个人的薪酬增长轨迹用xj（t）表示。近似SDE（34）的系数由经验平均值（13）确定。工资模型的构建数据（13）取自收入动态数据库[37]的面板研究。PSID是自1968年以来对美国个人和家庭的代表性样本进行的纵向调查。

不断收集个人及其后代的信息，包括就业、收入、财富、支出、健康、婚姻、生育、儿童发展、慈善、教育和许多其他主题的数据。出于养老金目的，我们对个人的养老金计划缴款感兴趣。不幸的是，PSIDdatabase不提供完整的跨年度个人养老金缴款时间序列，因此我们使用从劳动中赚取的总工资，并假设缴款比率。此外，由于数据的不连续性和稀疏性，奖金、独立业务、二级专业实践、佣金、小费和其他来源的收入不包括在内。建造的轨迹跨越1970年至1992年。总共考虑了58807人，其中只有3669人在1970年开始工作。图5（第21页）给出了每年开始工作的人数。所有工资数据均根据生活成本进行调整，使用劳工统计局的历史CPI值。对于高噪声波动率估计，最大波动率值的3%被忽略为异常值，最高工资增长率的5%也被忽略（25000%的增长率等）。1965 1970 1975 1980 1985 1990 19950500100150020002500300040004500就业人数图5:PSID调查的每年就业人数。工资模型的漂移系数和差异系数的计算如第2节所示。2.2. 具体来说[1]，dsi（t）=ξsi（t）dt+ηsi（t）dwi（t），si（ti）=1，（35）和ξ（t）≡ -0.0328，η（t）≡r、 （36）2.5养老基金随机模型的构建在我们的养老计划模型中，养老基金的资产投资于股票市场指数，如标准普尔500指数。

该指数的价值是其组成部分股票价格的市场资本化加权平均值。我们使用以下定义：ovi（t）=到时间t时，基金应付给成员i的金额的增长。oTi={Ti<Ti<…<tin=t}=与第i个成员对养老基金的缴款相对应的间隔[Ti，t]的均分。oci（t）=∧si（t）=总供款（雇主和雇员）是工资∧的恒定比例（约10%）。oαi=会员的第一份工资（美元）。通过以下观察，我们将近似投资组合回报的模型Zn（t）与vi（t）方程的推导结合起来。每0≤ J≤ n、 tijis时的分摊美元金额由αici（tij）给出，其中该金额的升值由tij通过Tinj合成，由Zn（tin）/Zn（tij）给出。因此，可归属于第j次供款的养老金总金额部分由αici（tij）Zn（t）Zn（tij）（37）给出，可归属于第j次供款的养老金总增长部分由（37）除以αi得出。因此，从时间Ti0到时间t的养老金总增长由vi（t）=Xτ给出∈Tici（τ）Zn（t）Zn（τ）=Zn（t）Xτ∈Tici（τ）Zn（τ）。（38）vi（t）的连续模型通过将（38）表示为Riemann-sumvi（t）=Zn（t）得到tnXj=1ci（jt） 锌（j）（t）t（39）在哪里t=（tij）- 蒂吉-1） 是连续两次发薪之间经过的固定时间。基于PSID数据库，t=1年。我们把vi（t）写成积分形式vi（t）=Zn（t）tZtici（u）Zn（u）du, （40）以美元支付给成员i的绝对金额现在可以表示为vi（t）=αivi（t）。（41）我们通过微分（40）并应用链式规则dvi（t）=dZn（t）获得vi（t）的SDEtZtici（u）Zn（u）du+ 锌（t）ci（t）Zn（t）dt.

（42）将（23）、ci（t）=∧si（t）和（40）代入（43），我们得到了SDEdvi（t）=[ψ（t）vi（t）+∧si（t）]dt+Φ（t）vi（t）dW（t）。（43）系统（35），（43）的解（si（t），vi（t））的联合概率密度函数p（v，s，t）的福克-普朗克方程如下所示：Pt=-v[（ψv+λs）p]-s（ξsp）+sηsp+五、Φ（t）vp. （44）2.6养老金的概率密度函数Vi（t）的概率分布函数是在t时个人i可支付的养老金超过y美元的概率。要计算，Pr（Vi（t）>y）=Pr（Vi（t）>yαti）=1- Pr（vi（t）≤我们从FPE（44）出发，在初始条件p（v，s，ti | v，s，ti）=δ（v）下，计算过程vi（t）和si（t）的联合跃迁概率密度函数p（v，s，t | v，s，ti）- v、 s- s） ，其中v=s=1.2.6.1边界条件随机过程si（t）总是正的，因为它是高斯过程的指数。此外，随机过程vi（t）总是正的，因为它是一个对数正态过程与两个对数正态过程之比的乘积的和。因此，接合密度不能包含边界上的任何质量，且thusp（v，0，t）=p（0，s，t）=0。（47）因为随机过程无法达到v=0和s=0的边界，所以条件（47）是用数字设定的。网格的遥远边界描述了市场/工资在给定时间内达到闻所未闻的水平的可能性。因为在这样的水平上没有数据，所以在遥远的边界v=Nv，s=Ns处，FPE的零条件是，网格覆盖了矩形G={0<v<Nv，0<s<Ns}。边界G是模型的一部分，与数据一致。因此，我们设置（v，s，t）G=0。

（48）2.6.2初始条件我们近似δ（v- v、 s-s） 通过具有小标准偏差的多元正态分布，并将pj设置为协方差矩阵∑的多元高斯分布=σv0σs,Hm NvNsNvNsNvh Nsm（51）0.025 0.2 720 25 1440 50 18 5 1.0805·10-表2：网格大小、域大小和错误。式中σv，σs 平均u=（v，s）T=（1，1）T。对于每一个v=（v，s）T∈ Rpj，l=2πpdet（σ）exp-（五）- u）T∑-1（v）- u)==2πσvσsexp-（五）- 1） 2σv-（s）- 1） 2σs. （49）我们用步骤离散Ron a（t，v，s）网格(KHm） 缩写p（vj，sl，tn）=pnj，l，代表j，l，n≥ 0，（50），其中vj=jh，sl=lm和tn=nk、 初始密度通过^pj进行归一化，l=pj，l/RRpj，lto确保归一化∞-∞R∞-∞p（v，s，0）ds dv=1。在解不消失的区域，零条件的位置对解的影响可以忽略不计。将网格边界从（Nv，Ns）扩展到（Nv，Ns），Nv>Nv，Ns>n会导致与边界对应的有限差分模式的线性方程发生变化。在隐式方法方案（见下文）下，域内部的误差过滤系数取决于M手k、 因此，如果我们证明NVZNSZPJ，ldsdv-NvZNsZpj，ldsdv（51）是可以忽略的，然后通过上述论证，我们得出结论，溶液中的变化是可以忽略的。有几种数值方法可以近似正常CDF[40]、[41]、[42]。我们对18×5扩展到36×10的网格进行了（51）数值计算。下面的附录1给出了计算的数值分析。表2.2.6.3结果总结了数值精度。通过有限差分法（FDM）构造了FPE初边值问题的数值解。

我们使用稳定的隐式BTCS（一阶后向时间中心空间）[38]方法来近似t>t时G中的p（v，s，t）。养老基金规模为y的概率等于基金增长率等于y和初始工资α的比例的概率。这个比率是问题的无量纲参数。在下表中，我们展示了目标养老金规模的概率初始工资储蓄期隐含年回报率概率3。11 25年1.64%65.40%3.33 25年2.15%54.40%3.55 25年2.61%45.17%4.00 25年3.60%28.27%4.44 25年4.17%16.16%5.00 25年4.98%7.37%5.83 25年6.02%1.72%6.67 25年6.90%0.34%表3：25年储蓄的养老金规模概率。假设10%的工资贡献，不同的比率。我们说，目标养老金y，初始工资为α，储蓄时间为t年，具有隐含的年回报率r，ifPti=1α（1+r）i=y。图6给出了t=25时的联合密度函数p（v，s，t）的三维图，图8给出了t=50时的联合密度函数p（v，s，t）（第26页）。2.7养老金消费的随机模型我们考虑养老金消费过程，~Vi（t），这是我退休后剩下的一美元-tyears，这里是退休时间，每年的美元消费率不变。假设Ti={Ti<Ti<…<tin=t}是成员i退休的等距年份。Vi（t）的初始条件由Vi（t）=Vr给出，其中Vis为个人工作期间累积的养老金。退休后工资停止。

我们通过改变Zn的初始条件，结合近似投资组合收益的模型来推导＠Vi（t）的方程，从而得到一个新的过程＠Zn（t），d＠Zn（t）=ψ（t）＠Zn（t）dt+Φ（t）＠Zn（t）dW（t），对于t>ti，＠Zn（ti）=Zr（52），并进行以下观察；每0<j≤ n、 Vi（tij）的值增加了Zn（tij）／Zn（tij）-1） ，相对于上一年Vi（tij-1） ，而β-偶像则被吃掉。目标养老金规模初始工资储蓄期隐含年回报率5。00 40年1.05%59.38%6.5040年2.23%54.51%7.0040年2.55%49.17%7.5040年2.85%41.77%9.5040年3.83%21.69%11.0040年4.43%14.86%15.0040年5.65%1.07%表4：40年储蓄的养老金规模概率。012345051015200134567x10-t=25年的3vp（v，s，t）s0123450510152002468x 10-t=25年的3sp（v，s，t）图6：25年的联合pdf p（v，s，t）。v轴上的栅格有720个点，空格d0。s轴上有25个点，间距为0.2。t=0.1因此，通过递推关系Vi（tij）=Vi（tij）给出Vi（tij）的值-1） ~Zn（tij）~Zn（tij）-1)- βi，对于0<j≤ n、 ~Vi（ti）=Vr0 2 4 6 8 10 12 14 16 1800.511.522.533.5x 10-t=50年的3vp（v，s，t）0 1 2 3 4 500.511.522.533.5x 10-t=50年的3p（v，s，t）图7：50年的联合pdf p（v，s，t）。（左）投影在v轴上的p（v，s，t）。（右）投影在s轴上的p（v，s，t）。0 5 10 15 2001234567x 10-t=25年的3vp（v，s，t）0 1 2 3 4 501234567x 10-t=25年的3p（v，s，t）图8：25年的联合pdf p（v，s，t）。（左）投影在v轴上的p（v，s，t）。（右）p（v，s，t）投影在s轴上，以其闭合形式，~Vi（t）=Vr ~Zn（t）Zr- βnXj=1~Zn（t）~Zn（tij）=~Zn（t）VrZr- βnXj=1Zn（tij）！。

（53）01234505101500.511.522.533.5x 10-t=50年的3vp（v，s，t）s02405101500.511.522.533.5x 10-t=50年的3svp（v，s，t）图9:50年的联合pdf p（v，s，t）。v轴上的栅格有720个点，间距为0.03，s轴上的栅格有25个点，间距为0.2。t=0.1通过将（53）表示为Riemann和＠Vi（t）=＠Zn（t）VrZr得到＠Vi（t）的连续模型-βitnXj=1t~Zn（ti+j）t） ！，（54）在哪里t=（tij）-蒂吉-1） =1是连续时间段之间经过的恒定时间（时间以年为单位）。过程Vi（t）近似为积分Vi（t）=Zn（t）VrZr- β-itZtiduZn（u）. （55）我们对（55）进行微分以获得SDEdVi（t）=dZn（t）VrZr- β-itZtiduZn（u）+锌（t）dVrZr- β-itZtiduZn（u）=d~Zn（t）VrZr- β-itZtiduZn（u）+锌（t）-βidtZn（t）. （56）现在，使用（56）中的（52）和（55），我们得到了非齐次线性SDEd＠Vi（t）=hψ（t）＠Vi（t）- βiidt+Φ（t）~Vi（t）dW（t），~Vi（ti）=Vr。（57）式（57）的解由式（9）给出，其简化为Vi（t）=H（t）1.- (s), 对于t>ti，Vi（ti）=Vr，（58），其中h（t）=VrexptZtiψ（s）-Φ（s）ds+tZtiΦ（s）dW（s）.我们从（58）中得出结论，对于t>ti，Vi（t）=0，因此tztidsh（s）=βi。对于（57）解的pdf，福克-普朗克方程由下式给出： ~pt=-~v[（ψ）~v- βi）~p]+Φ（t）~v~v ~p（59）对于t>ti，~v>0，其中，~p=~p（~v，t | Vr，ti）是~Vi（t）与初始条件limt的转移概率密度函数→tip（~v，t | Vr，ti）=δ（~v- Vr）。