两个随机因素模型下美式期权的数值定价

为此，将局部积分方程（3.22）转化为一个代数方程系统，在用于空间近似的节点处具有实未知质量，如下一节所述。3.4. 空间近似与使用传统的非重叠、连续网格来制定插值计划不同，MPG方法使用局部插值或近似来表示在一些随机位置的节点上未知变量的值（或实际值）的试验或测试函数。为此，我们将找到一系列当地的企业整合计划。径向点插值法就是其中之一。本文采用了LRPI方案。本节回顾了LRPI的基本思想。考虑一个子域OhmxofOhm = [0,1]×[0,1]在点x附近，用于定义x附近试验函数的theLRPI近似值。根据局部点插值[12]，任意（给定）点x的点插值近似值Uk（x）∈ Ohm 通过n个节点sx，x，…，处的插值进行近似。，xn（百分位）位于x的一个对流社区，即。Ohmx、 选择这些节点的域（其形状可能取决于点x）通常称为局部支持域。根据用于插值Uk（x）的函数，可以获得各种不同的局部点插值方法。在本文中，我们将注意力集中在所谓的局部径向点插值法（LRPI）上，该方法采用多项式和径向基函数的组合。近似函数Uk（x）在Ohmx、 在多个随机定位的节点{xi}上，i=1，2。。。，n、 ea ch x的Uk（x）的径向点插值近似Uk（x）∈ Ohmx、 可以用euk（x）=nXi=1Ri（x）aki+mXj=1Pj（x）bkj（3.23）定义，其中P，P。

，Pmdenote按升序排列的前m个单项式和R，R。，以x为中心的n个径向函数。，分别是xn。而且ak，ak。，akn，bk，bk。，B必须确定n+m真实系数。对于径向基函数R，R。，考虑到这一点，有几种选择是可能的（例如，见[53]）。在这项工作中，我们决定将Wendland的紧支撑径向基函数（WCS RBF）与C、C和C光滑度[50]结合使用，因为它们不涉及任何自由形状参数（这不容易选择，请参见[54、55、56、57、58]）。具有C、C和C平滑度的WCS RBF分别如下所示：Ri（s）=（1- ri）+（1+4ri），i=1，2，n，Ri（s）=（1- ri）+（3+18ri+35ri），i=1,2，n，Ri（s）=（1- ri）+（1+8ri+25ri+32ri），i=1，2，n，其中ri=kx- xik/riwis是到节点xito x的距离，而riwis是径向函数Ri（x）的支撑大小。在这项研究中，为了简单起见，我们为所有i设置riw=RW-ri）l+是（1）-ri）lfor 0≤ ri<1，否则为零。注意单项式P，P。，P并非总是采用（如果bki=0，i=1，2，…，m，则获得近似值）。在目前的工作中，使用常数和线性单项式来增强RBF（即，我们设置m=4）。通过要求函数eukinterpolate U在x，x。，xn，我们得到一组n个方程，在n+m个未知系数中。，akn，bk，bk。，bkm:nXi=1Ri（xp）aki+mXj=1Pj（xp）bkj=bUk（xp），p=1,2，n、 （3.24）其中Bukar为活动节点。此外，为了唯一确定eEuk，我们还施加：nXi=1Pj（xi）aki=0，j=1，2，m、 （3.25）也就是说，我们有以下线性方程组：akbk=巴克,其中buk=hbUkbUk。bUkniT=hbUk（x）bUk（x）。bUk（xn）iT，（3.26）G=R PPT,R=R（x）R（x）。Rn（x）R（x）R（x）。

Rn（x）。。。。。。。。。。。。R（xn）R（xn）。Rn（xn）,P=P（x）P（x）。Pm（x）P（x）P（x）。Pm（x）。。。。。。。。。。。。P（xn）P（xn）。Pm（xn）,ak=[akak…akn]T，（3.27）bk=[bkbk…bkm]T，（3.28）如果矩阵R的逆存在，则得到唯一解，因此akbk= G-1.巴克.因此，（3.23）可以改写为（x）=RT（x）PT（x）akbk,或者，相当于eUk（x）=RT（x）PT（x）G-1.巴克. （3.29）让我们定义形状函数的向量：Φ（x）=[~n（x）~n（x）..~nn（x）]，式中ρp（x）=nXi=1Ri（x）G-1i，p+mXj=1Pj（x）G-1n+j，p，p=1，2，n，（3.30）和G-1i，pis矩阵G的（i，p）元素-1.使用（3.30）关系（3.29）以最紧凑的形式重写：eUk（x）=Φ（x）bUk，（3.31）或等效地，eUk（x）=nXi=1bUki~ni（x）。（3.32）可以很容易地证明，形状函数（3.30）满足所谓的Kronecker性质，即φi（xj）=δij，（3.33），其中δij是众所周知的Kronecker符号，因此可以很容易地施加第2节中考虑的基本边界和最终条件（例如关系式（3.14））。还要注意的是，通过（3.32）中的直接微分，可以很容易地获得关于x或z的（任意阶）导数。离散化方程在我们展示如何以（3.22）的形式离散模型之前，我们关注如何选择节点。LetX={x，x，…，xN} Ohm 是分散的网格点，其中一些点位于边界上以执行边界条件。事实上，x，xN∈ Ohm. 本文所考虑的期权支付函数是非光滑函数，尤其是在s trike价格下，其衍生工具是不连续的。因此，为了减少精度损失，试验函数的点集中在接近tos=E的空间区域。

因此，我们分别使用关系式（3.10）和以下沿X和z方向的均匀节点来满足这个问题：xi=ix、 i=0，1。。。，Nx，（3.34）zj=jz、 j=0，1。。。，新西兰，哪里x=1/Nx，z=1/Nz和N=（Nx+1）（Nz+1）。重要的是要注意Uk+1（x）必须被视为已知量，因为它在上一次迭代中是近似的。我们想用LRPI近似来近似Euk（x）。在MLPG格式中，对于由LRPI近似构造的形状函数，很容易执行边界条件（3.6）。LRPI近似具有具有delta函数特性的形状函数，因此可以轻松地施加本质边界和初始（或最终）条件。将公式（3.31）中的位移表达式替换为中每个内部节点的局部弱形式（3.22）Ohm其离散方程的矩阵形式如下所示：fbuk=GbUk+1，（3.35），其中buk=[bUkNz+1bUkNz+2bUk…bUkN-新西兰-1] T（N）-2Nz-1)×1. （3.36）我们应该再次注意到，关于（3.36），bUk，bUk。。。，bUkNzandbUkN-新西兰，bUkN-新西兰+1。。。，Bukna很容易计算出delta函数的性质。同样在线性系统（3.35）中，G=[GNz+1GNz+2…GN-新西兰-1] 这是- 2Nz- 1） ×（N）- 2Nz- 1） 带bw的带状矩阵，如GI=teEi+NXl=0leLi，i=Nz+1。。。，N- 新西兰- 1，其中{eEi}j=（eEij，xj）∈ 十、∩ Ohmis，0，o.w.（3.37）这个定义为{eEi}的分段函数是可扩展的toleLi。也就是F=[FNz+1FNz+2…FN-新西兰-1] 这是- 2Nz- 1） ×（N）- 2Nz- 1） 带bw的带状矩阵。我们有fi=eAi+eBi+eCi+eDi+（r+λ）+t） eEi，i=Nz+1。。。，N- 新西兰- 1.（3.38）我们再次强调，根据（3.37）定义为{eEi}的分段函数可扩展为ai、eBi、ecaindei。

我们也可以很容易地看到tha teAij=ZOhmisM（x）~nj（x）dOhm,eBij=ZOhmisN（x）~nj（x）dΓ，eCij=ZOhmisI（x）x~nj（x）dΓ，eDij=ZOhmisΘ（x）z~nj（x）dΓ，leLij=λzOhm伊斯茨Ohmlsr′（^r）s（x）f（^rs（x））~nj（^r，z）d^rdOhm,eEij=ZOhm是φj（x）dOhm,式中m（x）=（r）- Q-λκ）“s（x）s′（x）#′+ξ”η-y（z）y′（z）#′+y（z）“s（x）s′（x）（s′（x））#- y（z）“s（x）s′（x）#”-θy′（z）+θy（z）y′（z）（y′（z））-“s（x）s′（x）#”y（z）y′（z）#′，N（x）=-（r）- Q-λκ）s（x）s′（x）ν- ξη - y（z）y′（z）ν+s（x）s′（x）“y（z）y′（z）#+y（z）s（x）s′（x）“s′（x）#′ν+y（z）s（x）s′（x）ν+θy′（z）ν+y（z）y′（z）#y′（z）#ν，I（x）=-y（z）“s（x）s′（x）#ν-s（x）y（z）s′（x）y′（z）ν，Θ（x）=-θy（z）（y′（z））ν，最后，组合等式。（3.15）和（3.35）导致以下系统：（FbΞk=GbUk+1，bUk=max{bΞk，b∏}，（3.39）对k=M进行递归求解- 1米- 2.0，从bum=b∏（3.40）开始，其中b∏由LRPI近似的δ函数性质和期权的支付（3.16）获得。注2：本工作中提出的数值方法要求在每个时间步解一个线性方程组（系统（3.35））。现在，与该系统相关联的矩阵F是带宽为BW且条件良好的带，因此，使用带部分旋转的带LU分解方法求解上述线性系统，该方法特别适用于带矩阵。还应注意的是，带部分枢轴的带状LU分解方法的复杂性为O（2N（2bw+3）（2bw+5））。我们观察到，该算法的复杂度远低于MLPG强形式的LU分解法或全局RBF方法的复杂度，即O（N/3）。

此外，由于每个时间步的矩阵F都是相同的，因此在数值模拟开始时，带系数iz只能执行一次，因此在每个时间步，相应的线性系统通过正向和反向递归有效地求解（见[59]）。注3：MLPG中的一个关键点是对局部积分的精确估计。由于基于LRPI的模态试验函数非常复杂，因此很难对弱形式进行精确的数值积分。在这项工作中，所使用的数值积分程序是4点高斯-勒让德规则，通过适当的变量变化。3.6. 稳定性分析在本节中，我们对所提出方案的稳定性进行了分析。首先，我们为buk、F和GbUk=[bUkbUk…bUkq]T=[bUkNz+1bUkNz+2…bUkN提供了一个新的简单的符号-新西兰-1] T（N）-2Nz-1） *1，F=[FF…Fq]T=[FNz+1FNz+2…FN-新西兰-1] T，G=[GG…Gq]T=[GNz+1GNz+2…GN-新西兰-1] T，其中q=N- 2Nz- 2.在该方案中，可使用等式获得任何时间水平的解。（3.31）和（3.39）eUk=φmax{F-1Gφ-1eUk+1，e∏}，（3.41），其中φ是（N- 2Nz- 1） ×（N）- 2Nz- 1） 单位矩阵Euk=φbUk，我们也有e∏k=φb∏k。通过选择k=l并使用（3.41），我们得到Eul。假设bul=[bulbul…bUlq]T，同样，让uLe成为第l个时间级别的精确解，具有以下c成分uLe=[Ule0Ule1Ule2。

Uleq]T，众所周知，对于任何i=0，1。。。，N，eUli小于或大于它，即eUli<Ulei，oreUli≥ 尤利， i=0，1。。，q、 案例1：首先，我们考虑具有以下性质的乌拉和乌拉的向量分量≥ Ulei，让我们来定义一下Loloweuli的矢量（eUli，eUli）≥ Ulei，0，o.w.Ulei=（Ulei，eUli）≥ Ulei，0，o.w.关系（3.41）可以使用向量fo llowseUl=φmax{F重写-1Gφ-1eUl+1，Me∏}，（3.42），其中M是a（N）- 2新西兰- 1） ×（N）- 2Nz- 1） matrixMij=（1，i=j，andeUli）≥ Ulei，0，o.w.（3.43）与第lth时间水平相关的误差由EL=eUl给出-Ule，（3.44）重要的是要观察ELA的所有c组分都是正值，而且我们得出的结论是El=El+Ule。（3.45）利用（3.42）和（3.45）之间的关系，我们得到：-1Gφ-1Ul+1e+F-1Qφ-1El+1，Me∏}，（3.46）我们可以很容易地看到，关系式（3.46）使用最大函数属性转换为以下等式：El+Ule≤ φmax{F-1Gφ-1Ul+1e，Me∏}+φmax{F-1Gφ-1El+1，O}，（3.47），其中O是零向量。我们也知道Ule=φmax{F-1Gφ-因此，使用（3.47）和（3.48）我们可以编写≤ φmax{F-1Gφ-最后，我们得到| | | El | |≤ ||φmax{F-1Gφ-1El+1，O}||≤ ||φF-1Gφ-1El+1 | |≤ ||φF-1Gφ-1 | | | | El+1 | | |，（3.50）或等效的| | El |≤ ||φF-1Gφ-1 | | | | El+1 | |，（3.51）案例2。现在，我们考虑具有以下性质的UlandUlei的向量分量，假设EulandUlei是由eUli=（eUli，eUli<Ulei，0，o.w.Ulei=（Ulei，eUli<Ulei，0，o.w.）定义的两个向量。

（3.41）与ul有关的可称为aseUl=φmax{F-1Gφ-1eUl+1，Ne∏}，（3.52），其中N是a（N- 2Nz- 1） ×（N）- 2Nz- 1） 由nij=（1，i=j，andeUli<Ulei，0，o.w.（3.53）定义的矩阵。在这种情况下，我们提出了与第长期时间水平相关的误差=eUl-（3.54）很明显，Elis持有asEl≥ 0，（3.55）通过使用关系式（3.54），我们得到EUL=Ule- 艾尔。（3.56）因此，关系式（3.52）转换为以下等式- El=φmax{F-1Gφ-1Ul+1e- F-1Gφ-1El+1，Ne∏}，（3.57）此外，利用最大函数性质，我们得到了- 埃尔≥ φmax{F-1Gφ-1Ul+1e，Ne∏}- φmax{F-1Gφ-1El+1，O}，（3.58）或0≤ 埃尔≤ φmax{F-1Gφ-1El+1，O}，（3.59）那么，根据范数和极大值性质| | El | |≤ ||φmax{F-1Gφ-1El+1，O}||≤ ||φF-1Gφ-1El+1 | |≤ ||φF-1Gφ-1 | | | | El+1 | | |，（3.60）或等效的| | El |≤ ||φF-1Gφ-1 | | | | El+1 | |。（3.61）如果l→ ∞, 错误| | El | |→ 0和| | El | |→ 0.只要ρ（φF）可以保证-1Gφ-1) ≤ 1或ρ（F）-1G）≤ 1（beca使用F-1G和φF-1Gφ-1是类似的矩阵），其中ρ表示矩阵的谱半径。为了进行分析，我们需要矩阵F和G的一个简单版本。它由F=eA+eB+eC+eD+（r+λ）给出+t） eE，G=teE+NXl=0LEL，其中EA、eB、eC、eD、eE和LEL是（N- 2Nz- 1） ×（N）- 2Nz- 1） 使用关系式（3.38）获得其行的稀疏矩阵。然后我们就可以得到b tainf=S+三通，（3.62）G=Q+T形三通，式中=eA+eB+eC+eD+（r+λ）eE，Q=NXl=0leL。然而，我们可以考虑-1F=eE-1S+tI，（3.63）eE-1G=eE-1Q+另一方面，我们知道-1G=F-1eee-1G=（eE）-1F）-1（eE）-1G），让我们定义∑=eE-1F，Γ=eE-1G，Υ=eE-1S，ψ=eE-因此，我们可以将关系式（3.64）改写为∑=Υ+tI，（3.64）Γ=ψ+现在，通过应用凯利-汉密尔顿定理和盖尔芬德公式，我们得到ρ（F）-1G）=ρ（σ）-1Γ) ≤tρ（Υ）+1tρ（ψ）+1< 1，（3.65），其中ρ是矩阵的谱半径。

我们可以很容易地看到，不等式（3.65）总是满足的，如果ρ（Υ），则方案将是无条件稳定的≤ ρ(Ψ). 图3显示了ρ（Υ）的数值变化-ρ（ψ）是N的函数。请记住，只有当ρ（Υ）时，才满足稳定性条件- ρ(Ψ) ≤ 0.从图3可以看出，本数值方法满足该条件。4.数值结果和讨论：为了更好地理解本文中提出的方法的有效性，让我们将该模式用于解决一些测试问题。按照第3节中使用的符号，让V和VLRP i分别表示期权价格（欧洲或美国）及其使用上一节中开发的LRPI方法获得的近似值。为了在当前时间测量VLRP方法的准确性，离散最大范数和根平均平方相对差（RMSRD）与以下定义一起使用：MaxErrorLRP I=maxi=0,1，。。。，l | VLRP I（Si，y，0）- V（Si，y，0）|，（4.1）RMSRDLRP I=l+1vuutlXi=0VLRP I（Si，y，0）- V（Si，y，0）V（Si，y，0）. （4.2）在MaxErrorLRP和RMSRDLRP I，Si，I=0,1。。，l是l+1个不同的点，它们将在E走向的一个方便的邻域中选择，即Si∈ （E，E）。为了简单起见，在欧洲和美国的选项中，我们设置Si=（0.1i+0.8）E，其中i∈ Ξ={0,1,2,3,4}或i∈ Ξ= {1, 2, 3}. 请注意，只有在SV模型下的欧式期权情况下，V的准确值才可用。

因此，对于其他方法，我们使用的是参考价格，这些参考价格在之前的论文中描述过，它们是通过在非常有限的网格上进行精确（而且非常耗时）模拟得到的。在以下分析中，使用M axError（或RMSRD）与不同rQ值的关系图选择局部子域半径的最佳值（SV模型见图4和图5；SVJ模型见图6、7、8、9和图10；SVJ模型见图11和图12）。RQI的大小应确保工会0 50 100 150 200 300 350 400 450 500-0.33-0.32-0.31-0.3-0.29-0.28-0.27nspectralradius20 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-0.28-0.27-0.26-0.25-0.24NC40 50 100 200 250 300 350 400 450 500-0.04-0.0200.020.040.060.08n光谱半径6图3：∑的光谱半径-1Γ在基于Wendland紧支撑径向基函数（WCSRBF）的LRPI方法中，具有C、C和Csmo不稳定度。其中一个子域必须覆盖整个全局域，即。∪Ohm是 Ohm. 还值得注意的是，只有当G为非单变量r或P e quals m的秩，且至少每个x的m刻度函数为非零，即n>m时，才能很好地定义theMLS近似∈ Ohm. 因此，为了满足这些条件，支持域RW的大小应该足够大，以便有足够数量的no de覆盖在其中Ohm对于每个采样点（n>m）。在本工作中呈现的所有模拟中，我们使用rw=l h，其中l=1.5、2、2.5、3，h是节点之间的距离。SV模型的图4和图5；SVJmodel的图6、7、8、9和10；SVCJ模型的图11和图12说明了局部子域RQ的半径和支持域RW的大小对我们的解决方案的影响。在这些图中，显示了RQ和rwon MaxError（或RMSRD）的影响。