市场冲击博弈中纳什均衡的高频极限

上述影响带来的节约有时会超过增加的交易成本中的额外费用，从而导致所有市场参与者的成本整体降低。另外一个影响是，交易成本的增加减少了交易量，因此可以“稳定市场”。本文的主要目的之一是对[28，第2.4节]中的上述数值观测进行数学证明和定量分析。为此，以下章节将分析均衡策略和成本的高频极限，即当N↑ ∞. 然而，在此之前，我们通过回顾[28]中关于如果我们的二次交易被（分段）线性交易取代，结果可能会受到怎样的影响的讨论来结束本节。备注2.5（二次交易成本与比例交易成本）。[28，命题2.6]表明，在定理2.3的背景下，存在一个形式为τ（|x |）=θ|x |+MXk=1θk（|x |）的分段线性函数τ- ck）[ck，∞)（|x |）（4）具有一定的系数θk>0和阈值0<c<·cm，使得（ξ）*, η*) 也是一个纳什均衡min X（X，T）×X（y，T），用于修正的预期成本函数，其中二次交易成本函数X 7→ θxin（1）和（2）替换为x7→ τ（|x |）。表（4）中的交易成本可以模拟交易税，该交易税受税收累进的影响。有了这样一种税，小订单，例如小投资者下的订单，其税率低于大订单，而大订单的目的可能是为了推动市场。此外，由于二次交易成本和比例交易成本的主要区别在于它们在原点的行为，人们可能会猜测，本节中提到的二次交易成本和固定N的类似结果也可能适用于比例交易成本。

然而，上述结果适用的函数τ取决于所有模型参数，尤其是N。因此，如果我们的二次交易成本函数被原函数邻域内的比例交易成本所取代，我们不能期望在以下章节中得到的极限结果仍然有效。的确，在极限N↑ ∞, 均衡策略的单个交易可以成为任意交易，因此二次交易成本和比例交易成本之间的差异变得至关重要。3.均衡策略和成本的高频限制介绍：=lNtTmθ=0θ=0.05θ=θ*=0.2520 40 60 80 100 1200.700.720.740.760.78图1：预期成本E[CTN（ξ|η）]作为交易频率N的函数，θ=0，θ=0.05，θ=θ=θ*= 如果ρT=1，x=y=1，则为1/4。重整化策略sv（N）t:=1-ntXk=1vkand W（N）t=1-ntXk=1周，0≤ T≤ T、 其中v=（v，…，vN+1）>和w=（w，…，wN+1）>如（3）所示。为了保持符号的简单性，我们不会明确表示v、w和许多其他量对N的依赖关系。我们的第一个主要结果将处理V（N）和W（N）的渐近性。定理3.1（策略的渐近性）。

重整化策略V（N）和W（N）的行为如下↑ ∞.（a） 如果θ>0，那么V（N）=1和V（N）t-→e3ρT6ρ（T）- t） +4- 4e3ρt2e3ρT（3ρT+5）- 1,0<t≤ T.（b）对于θ=0，我们定义函数f±，g±：[0，T]→ R byf±（t）：=2e6ρT（3ρT+5）+e3ρT+3ρT+7-1.±3e3ρ（T-t） ±6e3ρ（2T-t） ++e6ρt6ρ（T）- t） +4+ 3ρ（T）- t） +2e3ρt+4e3ρt- 4e3ρ（T+T）+3,g±（t）：=2e6ρT（3ρT+5）- 3e3ρT- 3ρT- 7.-1.±3e3ρ（T-t） ±6e3ρ（2T-t） ++e6ρt6ρ（T）- t） +4- 3ρ（T）- （t）- 2e3ρT- 4e3ρt- 4e3ρ（T+T）- 3..那么V（N）=1，对于0<t≤ T序列（V（2N）T）N∈NHA正好是两个簇点f+（t）和f-（t） ，和（V（2N+1）t）N∈NHA正好是两个聚类点g+（t）和g-（t） 。（c） 如果θ>0，那么w（N）t-→ρ（T）- t） +1ρt+1,0≤ T≤ T.（d）对于θ=0，我们定义了函数φ±，ψ±：[0，T]→ R乘以φ±（t）：=1+ρ（t）- t） ±e-ρ（T）-t） 1+ρt+e-ρT，ψ±（T）：=1+ρ（T）- t） ±e-ρ（T）-t） 1+ρt- E-ρT.0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.60.81.0V（50）tt0。2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.60.81.0V（50）tt图2：对于小但非零的θ（左）和大θ（右），V（75）t（蓝色）到V（红色）的会聚。0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.60.81.0W（50）tt~n+ν-0.20.40.60.81.0V（50）ttf+f-图3：θ=0时，蓝色的W（50）（左）和V（50）（右），以及红色的定理3.1（b）和（d）中相应的振荡极限。那么W（N）T=0，对于0≤ t<t序列（W（2N）t）N∈nHa正好是两个簇点+（t）和-（t） ，和（W（2N+1）t）N∈nha正好是两个簇点ψ+（t）和ψ-（t） 。请注意，上述定理（a）和（c）部分中的极限与θ>0的特定值无关。从以下结果的（A）部分可以看出，预期成本的渐近性也会产生类似的影响。定理3.2（预期成本的渐近性）。

对于x，y∈ R和N≥ 2，设ξ（N）∈ X（X，TN）和η（N）∈ X（y，TN）是相应的平衡策略。（a） 如果θ>0，则↑∞EhCTN（ξ（N）|η（N））i=（x+y）36e6ρT（8ρT+13）- 60e3ρT- 3.2e3ρT（3ρT+5）- 1.+十、- y2（ρT+1）+（x- y） 16（ρT+1）。（b） 如果θ=0，则↑∞EhCT2N（ξ（2N）|η（2N））i=（x+y）6e6ρT+32e6ρT（3ρT+5）+e3ρT+3ρT+7+十、- YE-ρT+ρT+1,安德林↑∞EhCT2N+1（ξ（2N+1）|η（2N+1））i=（x+y）6e6ρT- 3.2e6ρT（3ρT+5）- 3e3ρT- 3ρT- 7.+十、- Y-E-ρT+ρT+1.-图4:x，y区域∈ [-5, 5] × [-5,5]对于θ=θ，预期成本的极限E[CTN（ξ（N）|η（N））]*= 如果θ=0，对于ρT=0.69（蓝色）、ρT=3（绿色）和ρT=6（橙色），则1/4严格低于预期成本的下限。根据前面定理中所述的成本限制，我们现在可以用数学上严格的方式证明，增加交易成本水平θ有时可以降低所有市场参与者的预期成本。这一说法在下面的推论中得到了精确的表述，并在图3中进行了说明。推论3.3。设x=y，ρT>log（4+√62/2)/3 ≈ 0.69. 那么，θ>0时的预期成本限制se[CTN（ξ（N）|η（N））]严格低于θ=0时的预期成本限制。在我们的分析中，我们考虑了高频极限N↑ ∞ 同时将所有其他模型参数，尤其是ρ作为常数。事实上，人们可能会认为，交易频率的增加也有助于形成一个更具弹性的市场。也就是说，ρ可能随着N的增加而增加。请注意，推论3.3只需要对某些常数c进行形式ρ>c的条件处理。因此，如果用ρ随N增加的变量替换框架，我们可以预期推论3.3的结论是稳健的。

此外，在[28]中观察到，对于固定和固定N，只要θ保持足够小，预期成本E[CTN（ξ（N）|η（N））]可以是θ的递减函数。我们模型中的二次交易成本也可以解释为二次交易税，θ≥ 0作为税率。推论3.3表明，这种税收有时可以让每个人都受益，也可以产生一些额外的税收收入。为了更详细地分析税收收入和额外成本之间的权衡，我们引入以下定义。定义3.4。如果N∈ N、 税率为θ，ξ（N）∈ X（X，TN）和η（N）∈ X（y，TN）是相应的均衡策略，总税收为trn:=θξ（N）>ξ（N）+θη（N）>η（N）总成本定义为asCN（θ）：=E[CTN（ξ（N）|η（N））]+E[CTN（η（N）|ξ（N））]，总税收成本定义为tcn:=CN（θ）- CN（0）。总税收成本的渐近行为可以从定理3.2中得知。对于总税收的渐近行为，我们有以下结果。结果表明，税收收入与税率θ在整体上是独立的，并且它们在总税收成本中占主导地位；另见图5。从这个意义上说，在我们的模型中，征收小额交易税是有益的。20 40 60 80 1000.020.040.060.080.100.12TRNTC图5:N=2的总税收和总税收成本，100，x=1，y=1/2，ρT=1，θ=θ*= 1/4.推论3.5。

对于θ>0和初始位置x，y∈ R、 TRN-→（x+y）9（1+2e3ρT）8（1- 2e3ρT（5+3ρT））+（x- y） 8（ρT+1）作为N↑ ∞.此外，lim infN↑∞（TRN）- TCN）=（x+y）2e3ρT+13（ρT+3）+2e6ρT（3ρT+5）- e3ρT（12ρT+19）1.- 2e3ρT（3ρT+5）3ρT+e3ρT+2e6ρT（3ρT+5）+7这个表达式总是非负的，如果x6=-y、 4连续时间内的纳什均衡鉴于上一节的收敛结果，很自然地会问，在我们模型的连续时间扩展中，所获得的极限是否可能与纳什均衡有关。为此，我们现在介绍一个主要模型的连续时间版本。第三作者的博士论文[34]首次陈述了本节陈述及其证明的先前版本。4.1可接受策略和纳什均衡的定义我们首次定义了连续时间内的可接受策略。文献[16,18,27,24,3,1]中对此类策略有各种定义；这里我们使用[24]中的一个，其中策略是右连续的，但可能在时间t=0时立即跳转，因此需要一个起始值Z0-= z在时间t=0之前立即出现。定义4.1。A战略（Zt）t≥0-如果满足以下条件，则称为可接受：o（Zt）t≥0适用于过滤（Ft）t≥0;o 函数t7→ Zt是P-a.s.右连续且有界；o函数t7→ ZT具有有限和P-a.s.有界总变化存在T>0，使得所有T的Zt=0 P-a.s≥ T我们用初值Z0表示所有可容许策略Z的类-= z和时间范围T×x（z，[0，T]）。如果两个代理使用可接受的策略X和Y，则受影响的价格SX，Ys定义为asSX，Yt=St+Z[0，t）e-ρ（t）-s） dXs+Z[0，t）e-ρ（t）-s） dYs，这里的积分是Stieltjes积分。

如[24]所述，我们对两人环境下清算成本的定义将由离散时间近似值驱动。为此，让X∈ X（X[0，T]），Y∈ X（y，[0，T]），和N∈ N被给予。对于tNk:=kT/N∈ TN，我们定义了以下离散化交易ξN:=X- X0-ξNk:=XtNk- XtNk-对于k={1,2，…，N}；ηN:=Y- Y0-ηNk:=YtNk- YtNk-对于k={1,2，…，N}。然后ξN∈ X（X，TN）和ηN∈ X（y，TN）。此外，对于每个N∈ N let（εNk）k∈{0,1，…，N}是独立于σ（St）的i.i.d.伯努利（）分布随机变量序列≥0英尺）。根据定义2.2，我们有，CTN（ξN |ηN）：=xS0-+NXk=0（ξNk）- SξN，ηNtNkξNk+εNkξNkηNk+θ（ξNk）,CTN（ηN |ξN）：=yS0-+NXk=0（ηNk）- SξN，ηNtNkηNk+（1）- εNk）ξNkηNk+θ（ηNk）.在下面的引理中，我们得到了预期清算成本的收敛性。它的证明类似于[24，引理1]中的证明，因此省略了。引理4.2。作为N↑ ∞, 我们有[CTN（ξN |ηN）]-→EZ[0，T]Z[0，T]e-ρ| t-s | dXsdXt+Z[0，T]Z[0，T）e-ρ（t）-s） dYsdXt+Xt∈[0，T]XtYt+θXt∈[0，T](Xt）.显然，通过交换前面引理中X和Y的作用，我们得到了预期成本E[CTN（ηN |ξN）]的收敛性。受这个引理的启发，我们现在可以陈述以下定义。定义4.3。给定初始资产头寸x，y∈ R和T>0，X的清算成本∈ 给定Y的X（X，[0，T]）∈ X（y[0，T]）定义为asC（X | y）=Z[0，T]Z[0，T]e-ρ| t-s | dXsdXt+Z[0，T]Z[0，T）e-ρ（t）-s） dYsdXt+Xt∈[0，T]XtYt+θXt∈[0，T](Xt）。我们现在可以在这个连续时间环境中定义纳什均衡的概念。定义4.4。

对于给定的时间范围[0，T]和初始资产头寸x，y∈ R、 纳什均衡是一对（X*, Y*) 在X（X，[0，T]）×X（y，[0，T]）中的策略*|Y*) ] = infX∈X（X[0，T]）E[C（X | Y*) ] 和E[C（Y）]*|十、*) ] = 英菲∈X（y[0，T]）E[C（y | X*) ].4.2纳什均衡的存在性和不存在性下列结果给出了纳什均衡在连续时间内的存在性、唯一性和特征化问题的完整解。它特别指出，所有初始位置x，y都存在纳什均衡∈ R当且仅当θ等于临界值θ*= 1/4; 在这种情况下，纳什均衡是唯一的，并且由定理3.1中导出的θ>0的均衡策略的连续时间限制给出。定理4.5。设ρ＞0，T＞0，x，y∈ R将被给予。（a） 对于θ=θ*= 1/4，存在唯一的纳什均衡（X*, Y*) 在适应策略的类X（X[0，T]）×X（y[0，T]）中。最优策略*还有Y*是确定性的和给定的*t=（x+y）Vt+（x）- y） WTY和y*t=（x+y）Vt-（十）- y） Wt，（5）式中vt=e3ρT6ρ（T）- t） +4- 4e3ρt2e3ρT（3ρT+5）- 1如果∈ [0，T]和V0-= 1，Wt=ρ（T- t） +1ρt+1如果t∈ [0，T），W0-= 1，WT=0。（b） 对于θ6=θ*, 当且仅当x=y=0时，纳什均衡才存在，此时纳什均衡是唯一的，均衡策略完全消失。从定理4.5（A）来看，一个自然的问题是，如定理3.2中观察到的θ>0时，离散时间预期成本的收敛是否可以解释为向连续时间均衡成本的收敛。以下推论以肯定的方式回答了这个问题。推论4.6。对于x，y∈ R、 让X*还有Y*如（5）所示，假设θ=θ*= 1/4.

然后C（X）*|Y*)等于定理3.2（a）中离散时间预期成本的极限。4.3唯一性和一阶条件在本节中，我们分析连续时间的纳什均衡。特别是，我们将证明纳什均衡的唯一性，证明确定性策略类中的纳什均衡也是更大的适应策略类中的纳什均衡，并扩展[18]中导出的Fredholm积分方程，为纳什均衡中的最优策略提供一阶条件。对于容许策略X和Y，我们定义了以下表达式C（X，Y）：=EZ[0，T]Z[0，T]e-ρ| t-s | dYsdXt,C（X，Y）：=EZ[0，T]Z[0，T）e-ρ（t）-s） dYsdXt, C（X，Y）：=EXt∈[0，T]XtYt.然后，EC（X | Y）=C（X，X）+C（X，Y）+C（X，Y）+θC（X，X）。（6） 证明纳什均衡唯一性的第一步是映射X7的严格凸性→E[C（X | Y）]，建立在下面的引理中。引理4.7。给定T>0，ρ>0，θ≥ 0，初始资产头寸x，y∈ R和一个可接受的策略∈ X（y[0，T]），泛函E[C（X | y）]相对于X是严格凸的∈ X（X[0，T]）。证据让α∈ （0,1）和X,X∈ X（X[0，T]）是两种不同的容许策略。从7号函数开始→ E-ρ这是Bochner意义上的正定义，我们得到c（X- 十、 X- 十） =EZ[0，T]Z[0，T]e-ρ| s-t|dXs- XsDXt- Xt> 0; （7） 见[18，提案2.6]。因此，C（αX+（1- α） X，αX+（1）- α） X）<C（αX+（1）- α） X，αX+（1）- α） X）+α（1）- α） C（X）- 十、 X- 十） =αC（X，X）+（1）- α） C（X，X）+2α（1）- α） C（X，X）+α（1）- α） C（X，X）- 2α(1 - α） C（X，X）+α（1）- α） C（X，X）=αC（X，X）+（1）- α） C（X，X）。此外，C（X，Y）和C（X，Y）显然是X中的一个函数，而C（X，X）是凸的。结果如下（6）。我们现在可以建立纳什均衡的唯一性。提案4.8。

给定T>0，ρ>0，θ≥ 0和初始资产头寸x，y∈ R、 在适应策略的类X（X，[0，T]）×X（y，[0，T]）中至多存在一个平衡。证据我们使用了与[28，引理3.3]和[29，引理4.1]类似的推理。我们假设在X（X[0，T]）×X（Y[0，T]）中存在两个不同的纳什均衡（X，Y）和（X，Y）。然后我们定义α∈ [0,1]Xα：=αX+（1）- α） x和Yα：=αY+（1）- α） 我们进一步假设f（α）：=EhC（Xα| Y）+C（Yα| X）+C（X1）-α| Y）+C（Y1-α| X）i.根据引理4.7和两个纳什均衡（X，Y）和（X，Y）不同的假设，f（α）在α中是严格凸的，因此在α=0时有唯一的最小值。接下来是Thatlim↓0f（h）- f（0）h=df（α）dαα=0+≥ 另一方面，我们有dαα=0E[C（Xα| Y）]=C（X- 十、 X）+C（X- 十、 Y）+C（X- 十、 Y）+2θC（X- 十、 X）。取E[C（Yα| X）]，E[C（X1）的导数-α| Y]和E[C（Y1-α| X）]α=0= -C（X）- 十、 X- 十）- C（Y）- Y、 Y- Y）- C（Y）- Y、 Y- Y）- 2θC（X）- 十、 X- 十） +C（Y）- Y、 Y- Y）< -C（X）- 十、 X- 十）-C（Y）- Y、 Y- Y）-C（X）- 十、 Y- Y） <0，这与（8）相矛盾。下面的引理将允许我们在寻找纳什均衡时专注于确定性策略。它类似于[28，引理3.4]。引理4.9。确定性策略类Xdet（x，[0，T]）×Xdet（y，[0，T]）中的纳什均衡也是适应性策略类x（x，[0，T]）×x（y，[0，T]）中的纳什均衡。证据让（X）*, Y*) ∈ Xdet（x[0，T]）×Xdet（y[0，T]）是确定性策略类中的纳什均衡。对于任何策略X∈ X（X[0，T]），我们有c（X（ω）|Y*) ≥ C（X）*|Y*) 对于P-几乎所有ω∈ Ohm.因此我们得到了E[C（X | Y）*)] ≥ C（X）*|Y*) 具有等式的当且仅当C（X | Y）*) = C（X）*|Y*) P-a.s.这表明了X的最优性*在适应性策略的类X（X，[0，T]）中。