论资产负债表的分形几何与资产负债表的分形指数

因此，我们现在将FACO定义为企业破产风险指数（FIRI）。定义5。菲里==  菲里= （0,2]（16）可以将（16）中的表达式分解为其水平方向，,  垂直的，, 组件由以下人员给出：  (0,2]      (17)  （0,2]（18）通过去掉模数符号，我们得到了两者和这给了我们不同的风险度量。衡量资产由权益和资本融资的不同程度从债务融资的角度衡量资产差异程度。所有公司对风险的解释都很容易，且具有可比性。对于较小的值意味着较高的风险和风险价值越高意味着风险越高。图1显示了FIRI风险面。因此，在图1a中和如果是相等的，两条等FACO射线上的每个坐标点共享一个相等的FACO值，该值说明了水平和垂直方向对总资产风险的贡献。equi-FACO轨迹由所有点组成，只有d和e坐标共用一个公共坐标的点价值如图1a所示，当FIRI射线从垂直轴（d）向齿轮=1线扫掠时，它朝着一个统一的斜率递减，当它从水平轴（e）向齿轮=1线扫掠时，它朝着一个统一的斜率递增。4.资产负债表的分形分析在本文的过程中，反复给出了破产风险和资产负债表“断裂”性质的几何暗示。事实上，菲里指数是风险的一个分数度量，这绝非巧合。

我们现在考虑破产风险和上述资产负债表“断裂”性质的几何学。最终，我们打算通过分形几何来展示资产负债表在时间和横截面上的演变，可以用代表资产风险和权益安全的适当函数形式来捕捉。图1显示了在d/e=1的平衡风险线上结算之前，FIRI线如何与横扫其垂直轴和水平轴的总资产线成比例缩放。在图1中可以清楚地看到，ACO和总资产线如何形成一个直角三角形，其规模不断扩大，直到收敛到IRBOX的东北角。这表明存在自相似性。分形维数是一种复杂度的统计指数，它将细节的变化与测量的尺度进行比较（Falconer 2003）。Mandelbrotfirst引入了“分形”一词来描述这些模式或集合。与具有整数值的拓扑维度不同，分形的维度不是整数，而是“介于两者之间”（Mandelbrot，1967）。因此，虽然许多日常对象都具有平滑维度，但分形显示的是“粗糙”几何体。例如，人们最熟悉的形状，如圆形、方形、三角形或矩形，与雪花或蕨类植物叶子等自然形状相比，具有平滑的几何尺寸。接下来，我们将对IRBOX的分形进行简单分析。我们认为这是首次尝试表明资产负债表显示分形几何的特性，正是这种特性使我们能够设计对称、尺度不变和成比例的FIRI指数。图2。

TR、NR、ACO和FIRI等线在其边界内的几何级数。为了便于说明，我们考虑图2，图1中的IRBOX被分解为六个直角三角形。每个直角三角形由TR或总资产线作为斜边，ACO线作为边组成。图2清楚地显示了FIRI线如何与TR线的长度、从表示为t（1）的三角形1到表示为t（6）的三角形的每个连续迭代三角形的面积和周长成比例地缩放。这些线还与TR线、每个三角形的面积和周长成比例。NR线的比例与FIRI线相似，尽管图中未显示。每个连续三角形都是第一个三角形的连续收缩映射，是IRBOX的子集。因此，三角形t（2）到t（6）与t（1）相似。当三角形的面积收敛到零时，FIRI线收敛到d/e=1线。因此，t（1）对每次迭代都是不变的。这意味着静止在t（1）水平轴和垂直轴上的FIRI线对反转ACO等参线的变化也是不变的 = 1TR等线水平ACO等线：t（1）：t（3）：t（2）：t（4）：t（5）：t（6）TR，这意味着FIRI与TR成比例缩放。因此，FIRI线细节的变化随其测量的比例而变化。该图表明，对于每个坐标（x，y），都存在一个共同的NR、ACO和FIRI值，该值与TR成比例缩放。图B1还显示了一个有趣的几何图形，其中d/e=1线是IRBOX的正常基础。

因此，这意味着每一条NR线也是在IRBOX内有界的每一个直角三角形的正常基础。4.1 IRBOX的分形维数：对称性、尺度不变性和比例性的起源。分形维数如下所示：， , 其中N是新形状或盒子的数量，e是放大的程度。这种公式被称为确定分形维数的盒子计数法，最容易应用（Falconer，2003）。考虑下面的图3，它显示了一个规则的单位正方形被放大两倍，并产生四个新的正方形。因此，正方形的尺寸；  = 2，一个整数。大多数人造几何体都有完整的整数尺寸。图3：正方形的尺寸我们现在考虑图4，其中IRBOX表示为五次迭代中的单位正方形。由于IRBOX是一个完美的单位正方形，它实际上由s（1）中的两个直角三角形组成。因此，在两条对角线上都存在对称性。在下一步s（2）中，我们删除两个三角形。如前所述，TR和ACO线形成一个直角等腰三角形。因此，聚焦于每个直角等腰三角形，我们有两个直角的Sierpinskitriangle。移除的每个三角形比s（1）中的原始三角形小两倍，并生成三个新三角形。或者，我们可以通过将迭代次数（2）表示为移除的第一个平方来观察问题，该平方比s（1）的原始平方小两倍。这将给我们留下三个新的方块。因此，我们有，e=2，N=3Theorem 1。IRBOX垫片的分形维数为= 1.585.这个结果很简单，很明显，IRBOX垫片的分形维数与Sierpinski垫片相同。

经过五次迭代，我们得到了第五个迭代集s（5），我们将其表示为IRBOX垫圈。为了省钱，我们在五次迭代中停止。理论上，迭代可以继续接近无穷大，三角形填满了IRBOX内的风险空间，这意味着IRBOX有一个有限的面积，但无穷大。因此，我们提供了s（5）中资产负债表的分数几何图形。图4:IRBOX和五次连续迭代（1）s（2）s（3）s（4）s（5）定理2。IRBOX垫片的面积为1，周长无限。证明（封装的替代证明）。在每次迭代中，删除的三角形数遵循一个几何级数，从s（2）中的2开始，我们继续到s（4）中的6英寸（3）和18英寸。因此，每次k次迭代移除的三角形数：2，2（3），2（3）。。。2（3k-1）。每边的长度后面跟着1/2，1/4，1/8…1/2k。因此，每次迭代移除的面积为2（3）k-1（1/2k）。因此，k迭代后去除的总面积遵循年龄计量级数2[1/4+3/16+9/64+…..2（3）k-1（1/2k）]。几何序列的和由Sk=, 式中，Ai为第一项，Rk为共同比率。在这种情况下，a=1/4和rk=3/4是显而易见的。因此，k次迭代后移除的总面积isSk== 1-（3/4）k。当k接近有限度时，移除的总面积的极限值为S∞=   = 1.现在让我们考虑周长计算。s（1）中的第一次迭代显示，当删除两个三角形时，仍保留六个三角形。因此，在k次迭代后，剩余三角形的数量为2（3）k。每个剩余三角形的周长为在第k次迭代之后。

因此，k-变形后所有剩余三角形的总周长为.  让X来吧 .  这就引出了2x的几何序列（3/2+9/4+27/8+…。).  现在很明显，a=3/2，rk=3/2。因此，k次迭代后剩余的总周长为Sk== 3[（3/2）k-1]。当k接近无穷大时，剩余总周长的极限值为S∞=     =  ∞.这就完成了证明。这也是封装的另一种证明，因为无穷远意味着每个无穷小点都会被捕捉到盒子中。在图5中，我们可以在IRBOX中完整地可视化TR、NR、ACO和FIRI等线。在这里我们可以看到，每个直角等腰三角形代表一条TR和一条a线，这些三角形是自相似的，填满了盒子的整个空间。这种自相似性使得FIRI指数能够与代表资产负债表规模的总资产成比例地进行缩放。因此，FIRI指数可以随着其测量范围的变化而变化，红色三角形试图传达这种缩放信息。这意味着通过应用IRBOX和FIRI指数，不需要i.i.d或正态性等分布假设。图5:IRBOX5的分形几何结构。结论曼德尔布罗特长期以来一直认为分形几何是金融学中不可或缺的工具，这种工具出现在资产负债表几何的讨论中并非偶然。

分形的标度对称性起源也可以在金融和经济的各个领域找到，表现为价格和其他市场行为。本文的目的是证明，在适当的功能下，资产负债表可以菲里等高线 = 1被证明是以分形模式进化的。因此，自相似性是资产负债表的固有属性。因此，产业内贸易（IIT）将受本文讨论的类似分形几何的控制，因为我们的FIRI指数在功能形式上与用于IIT测量的格鲁贝尔劳埃德（格鲁贝尔&劳埃德1971）指数相似。由于资产负债表可以以分形模式显示，我们可以构建一个分形指数来衡量资产的风险。该指标可以区分资产风险的相似性和相异性。此外，所构建的指数是一个分形指数，它将具有自相似性和对企业特征的不确定性。这些是构成其资产构成的特征。因此，对资产衍生的所有类型的风险都是不变的。横截面上的自相似性和尺度不变性允许直接比较资产的风险程度。自然地，分形指数是最高上限（0,2），它可以像一个风险温度计一样发挥作用。我们可以进一步分配破产的几何概率P（如果债务大于0，权益等于或小于0）。参考Sazhar，A.，Gan，V.B.和Strobel，F.，2015年。同一枚硬币的两面：巴塞尔III的破产风险度量和资本充足率规则。伯明翰大学经济学讨论论文。Azhar，A.K.M.和Elliott，R.J.R.，2006年。论产业内贸易中产品质量的衡量。

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