限价订单市场的半马尔可夫模型

然后我们设置Tn+1=T，并从递归的步骤n移动到步骤n+1每个T∈ {Tn+\'Tn，ak}k≥1，图书事件van，T:=Vn，aNn，aToccurs在询问端的时间T处。如果qaT-+ van，T>0，在时间T没有价格变化，我们有：（sbT，qbT，qaT，VbT，VaT）=（sbT）-, qbT-, qaT-+ van，T，VbT-, 范，T）。如果另一方面-+ van，T=0，在时间T有一个价格变化，模型被初始化：（sbT，qbT，qaT，VbT，VaT）=（sbT-+ δ、 xbn，xan，vb0，n，va0，n），其中{（xbk，xak）}k≥0是独立于所有其他随机变量的i.i.d.随机变量，联合分布f在N上*×N*, 和{vb0，k，va0，k}k≥0是上面定义的i.i.d.随机变量。然后我们设置Tn+1=T，并从递归的步骤n移动到步骤n+1。它是上述构造和过程{Rn，a}n的马尔可夫更新结构的结果≥0，{Rn，b}n≥0该过程是马尔可夫过程。因为过程{Rn，a}n≥0是相同的kernelQa马尔可夫更新过程的独立副本，我们将在适当的时候删除索引n，以使标记更轻。在这句话之后，我们将为ask，for i，j介绍以下符号∈ {-1,1}（对于标书，它们的定义类似）：Pa（i，j）：=P[Vak+1=j | Vak=i]，Fa（i，t）：=P[Tak+1≤ t | Vak=i]，Ha（i，j，t）：=P[Tak+1≤ t | Vak=i，Vak+1=j]，ha（i，j）：=Z∞tHa（i，j，dt），ha:=ha（1，1）+ha(-1.-1） 哈哈(-1，1）+ha（1，-1） ，ma（s，i，j）：=Z∞E-stQa（i，j，dt），s∈ C、 Ma（s，i）：=Ma（s，i，-1） +ma（s，i，1）=Z∞E-stFa（i，dt），s∈ C.在本文中，我们将使用以下温和的技术假设：（A1）0<Pa（i，j）<1，0<Pb（i，j）<1，i，j）∈ {-1, 1}.（A2）Fa（i，0）<1，Fb（i，0）<1，i∈ {-1, 1}.（A3）R∞tHa（i，j，dt）<∞,R∞泰铢（i，j，dt）<∞, i、 j∈ {-1, 1}.对这些假设的一些简短评论：（A1）意味着每个状态±1都可以从每个状态访问。

（A2）表示图书事件之间的每个到达时间都有非零的正概率，（A3）构成累积分布函数Ha和Hb的二阶矩可积性假设。3.本节和前面提到的主要概率结果，因为过程{Rn，a}n≥0是内核Qa的相同马尔可夫更新过程的独立副本，我们将在适当的时候删除指数n，以使随机变量Tn、ak、`Tn、ak、Vn、ak的符号更轻（对于投标方来说也是如此）。3.1在给出投标和询问队列的初始配置（qb、Qa）=（nb、na）（nb、NAINTERS）的情况下，持续到下一次价格变化的时间，wedenoteσb第一次耗尽投标队列的时间：σb=\'Tbk*, K*:= inf{k:nb+kXm=1Vbm=0}。同样，我们定义了询问队列第一次耗尽的时间。因此，直到下一次价格变动的持续时间为：τ：=σa∧ σb.为了得到一个真实的模型，其中队列总是在某个点耗尽，即P[σa<∞] = P[σb<∞] = 1，我们施加条件：Pa（1，1）≤ 爸爸(-1.-1） ，Pb（1,1）≤ 铅(-1.-1).这些条件对应于条件λ≤ θ+u在[5]中，下面命题的证明表明它们分别等价于P[σa<∞] = 1和P[σb<∞] = 1.事实上→ 0（s>0），拉普拉斯变换La（s）：=E[E-σa的sσa]与P[σa<∞]. 下面的公式表明，如果Pa（1，1）>Pa(-1.-1） ，该数量严格小于1，且ifPa（1，1）≤ 爸爸(-1.-1） ，这个数量等于1。我们得到了以下结果，推广了[5]中的命题1（另见下面的备注2）：命题1。

σagiven qa=n的条件律≥ 1有一个规则变化的尾部，如果Pa（1，1）<Pa，则尾部指数为1(-1.-1).o 尾指数1/2，如果Pa（1，1）=Pa(-1.-1).更准确地说，我们得到：如果Pa（1，1）=Pa(-1.-1） =pa:P[σa>t |qa=n]t→∞~αa（n）√twith：αa（n）：=pa√π（n+2pa）- 1pa- 1va（1））ppa（1）- pa）qpaha+（1）- 帕）哈。如果Pa（1，1）<Pa(-1.-1） 我们得到：P[σa>t |qa=n]t→∞~βa（n）twith:βa（n）：=va（1）ua+va(-1） ua+（n）- 1） ua，ua:=ha（1，-1） +Pa（1,1）1- Pa（1,1）（ua+ha（1,1））ua=-ha（1,1）+1- 爸爸(-1.-1)1 - Pa（1,1）（ua+ha（1,1））+Pa(-1.-1） ha+（1）- 爸爸(-1.-1） ）ha，ua:=ha（1，1）+1- Pa（1，1）Pa(-1.-1) - Pa（1，1）（Pa）(-1.-1） ha+（1）- 爸爸(-1.-1） ）哈）。对于P[σb>t | qb=n]也得到了类似的表达式，其中索引替换为b。备注2。我们检索[5]的结果：如果Pa（1，1）=Pa(-1.-1） ，然后在[5]的上下文/符号中，我们得到pa=1/2和：ha（i，j）=Z∞2tλe-2λtdt=2λ，因此αa（n）=n√πλ. 对于Pa（1，1）<Pa的情况(-1.-1） （λ<θ+u及其符号），我们发现：βa（n）=nθ+u- λ、 这与[5]的结果不同，即βa（n）=n（θ+u+λ）2λ（θ+u-λ).. 我们认为，他们在第10页的泰勒展开式中犯了一个很小的错误：如果λ<θ+u，他们应该找到：L（s，x）s→0~ 1.-sxθ+u- λ.证据设s>0，表示L（s，n，i）：=E[E-sσa | qa=n，Va=i]。我们有：σa=k*Xm=1Tam，k*:= inf{k:n+kXm=1Vam=0}。因此：L（s，n，i）=E[E-sTaE[e]-s（σa）-Ta）| qa=n，Va=i，Va，Ta]| qa=n，Va=i]=E[E-sTaE[e]-s（σa）-|qaTa=n+Va，Va=i，Va，Ta]|{z}L（s，n+Va，Va）|qa=n，Va=i]=E[E]-sTaL（s，n+Va，Va）| qa=n，Va=i]=Z∞E-stL（s，n+1，1）Qa（i，1，dt）+Z∞E-stL（南，北）- 1.-1） 质量保证（一），-1，dt）=ma（s，i，1）L（s，n+1，1）+ma（s，i，-1） L（s，n）- 1.-1） 为了清楚起见，表示an:=L（s，n，1），bn:=L（s，n，-1).

因此，这些序列求解耦合的递归方程组：an+1=ma（s，1，1）an+2+ma（s，1，-1） bn，n≥ 0bn+1=毫安，-1,1）安+2+毫安，-1.-1） bna=b=1。简单代数（计算an+1）-马(s)，-1.-1） anon手头和ma（s，1，1）bn+1-B另一方面）给出了A和B解相同的递推方程（但初始条件不同）：ma（s，1，1）un+2- (1 + a（s）un+1+ma（s），-1.-1） 联合国≥ 1与：a（s）：=ma（s，1，1）ma（s，-1.-1) - 马(s)，-1,1）毫安，-1).参数a（s）可以被视为耦合系数，当随机变量（Vak，Tak）不依赖于之前的状态Vak时，a（s）等于0-1，例如在[5]的上下文中。如果我们将R（X）表示为与之前的递推方程R（X）相关联的特征多项式：=ma（s，1，1）X- (1 + a（s））X+ma（s），-1.-1） 然后简单代数给出：R（1）=（Ma（s，1）- 1） |{z}<0（1）- 马(s)，-1.-1） |{z}>0+ma（s，1，-1） |{z}>0（Ma（s），-1) - 1） |{z}<0<0注意，Ma（s，i）<1表示s>0，因为Fa（i，0）<1。由于ma（s，1，1）>0，这意味着Rhas只有一个根<1（另一个根>1）：λa（s）：=1+甲(s)-p（1+a（s））- 4ma（s，1，1）ma（s，-1.-1） 2ma（s，1，1）。因为我们有一个，bn≤ 1表示s>0，那么我们必须有n≥ 1:an=aλa（s）n-1bn=bλa（s）n-an，bn上的递推方程给出：a=ma（s，1，-1)1 - λa（s）ma（s，1，1）b=ma（s，-1,1）a+最后，让L（s，n）：=E[E-我们得到：L（s，n）=XiL（s，n，i）va（i）=anva（1）+bnva(-1).P[σa>t |qa=n]作为t的行为→ ∞ 通过计算L（s，n）作为s的行为得到→ 0，以及Karamata的Tauberian定理。通过Ha（i，j，dt）上的二阶矩可积性假设，我们注意到：ma（s，i，j）=Z∞E-stQa（i，j，dt）=Pa（i，j）Z∞E-stHa（i，j，dt）s→0~ Pa（i，j）- sPa（i，j）Z∞tHa（i，j，dt）=Pa（i，j）- 水疗（i，j）哈（i，j）。现在，假设Pa（1，1）=Pa(-1.-1） =宾夕法尼亚州。

L（s，n）作为s的一个简单而乏味的泰勒展开式→ 0给了我们：L（s，n）s→0~ 1.-√παa（n）√s、 同样，如果Pa（1，1）<Pa(-1.-1） ，L（s，n）作为s的直接泰勒展开式→ 0给了我们：L（s，n）s→0~ 1.- βa（n）s.我们对τ定律的渐近行为感兴趣，也就是说，通过买卖队列的独立性：P[τ>t |（qb，qa）=（nb，na）]=P[σa>t | qa=na]P[σb>t | qb=nb]。我们得到命题的以下直接结果。1：命题。给定的τ的条件律（qb，qa）=（nb，na）有一个规则变化的尾巴，如果Pa（1，1）<Pa，尾巴指数为2(-1.-1） 和Pb（1，1）<Pb(-1.-1). 特别是，在这种情况下，E[τ|（qb，qa）=（nb，na）]<∞.o 尾指数1，如果Pa（1，1）=Pa(-1.-1） 和Pb（1，1）=Pb(-1.-1). 特别是，在这种情况下，E[τ|（qb，qa）=（nb，na）]=∞ 无论何时，纳≥ 1.o尾指数3/2，否则。特别是，在这种情况下，E[τ|（qb，qa）=（nb，na）]<∞.更准确地说，我们得到：如果Pa（1，1）=Pa(-1.-1） 和Pb（1，1）=Pb(-1.-1） ：P[τ>t |（qb，qa）=（nb，na）]t→∞~αa（na）αb（nb）tif-Pa（1,1）<Pa(-1.-1） 和Pb（1，1）<Pb(-1.-1） ：P[τ>t |（qb，qa）=（nb，na）]t→∞~βa（na）βb（nb）tif Pa（1,1）=Pa(-1.-1） 和Pb（1，1）<Pb(-1.-1） ：P[τ>t |（qb，qa）=（nb，na）]t→∞~αa（na）βb（nb）t3/2if Pa（1,1）<Pa(-1.-1） 和Pb（1，1）=Pb(-1.-1） ：P[τ>t |（qb，qa）=（nb，na）]t→∞~βa（na）αb（nb）t3/2Proof。立即使用命题。需要得到τ的完整定律，也就是说，通过买卖队列的独立性：P[τ>t |（qb，qa）=（nb，na）]=P[σa>t | qa=na]P[σb>t | qb=nb]。我们明确地计算了σa和σb的拉普拉斯变换（参见上文命题1的证明）。有两种可能性：或者可以反转那些拉普拉斯变换，我们可以计算封闭形式的P[σa>t | qa=na]和P[σb>t | qb=nb]，以及[5]中封闭形式的thusP[τ>t |（qb，qa）=（nb，na）]。

如果没有，我们将不得不求助于一个数值程序来反转σa和σb的特征函数。下面我们给出σa和σb的特征函数：命题4。设φa（t，n）：=E[eitσa | qa=n]（t）∈ R） σa在qa=n上的特征函数≥ 1.我们有：如果妈妈(-it，1，1）6=0：φa（t，n）=（ca(-it）va（1）+da(-它）弗吉尼亚州(-1） ）λa(-它）n-1，ca（z）=ma（z，1，-1)1 - λa（z）ma（z，1，1），da（z）=ma（z，-1,1）ca（z）+a（z）ma（z，1，1），a（z）：=ma（z，1，1）ma（z，-1.-1) - 马（z，-1，1）ma（z，1，-1） ，λa（z）：=1+a（z）-p（1+a（z））- 4ma（z，1，1）ma（z，-1.-1） 2ma（z，1，1）。如果妈妈(-it，1，1）=0:φa（t，n）=（ma(-它，1，-1） va（1）+fλa(-它）弗吉尼亚州(-1） ）fλa(-它）n-1，fλa（z）：=ma（z，-1.-1)1 - 马（z，1，-1） 马（z，-1, 1).效率a（z）可被视为耦合系数，当随机变量（Vak，Tak）不依赖于之前的状态Vak时，a（z）等于0-1，例如在[5]的上下文中。特征函数φb（t，n）：=E[eitσb | qb=n]具有相同的表达式，其中索引被b取代。证据与命题1的证明类似，我们得到（使用相同的符号，但这次表示：=L(-it，n，1），bn:=L(-它，n，-1） ）：安+1=ma(-它，1，1）安+2+马(-它，1，-1） bn，n≥ 0bn+1=ma(-信息技术-1,1）安+2+毫安(-信息技术-1.-1） bna=b=1。如果妈妈(-它，1，1）=0，我们可以显式地求解上述系统，以得到期望的结果。

如果妈妈(-它，1，1）6=0，我们在1号提案的证明中得到，ANA和BN解相同的下列递推方程（但初始条件不同）：ma(-联合国+2- (1 + a(-it+un+1+ma(-信息技术-1.-1） 联合国≥ 1.因为|妈(-是的，j，-1） +ma(-it，j，1）|=|Ma(-它，j）|=R∞eitsFa（j，ds）≤ 1.繁琐的计算得出|λa+(-当t6=0时，it）|>1，式中：λa+（z）：=1+a（z）+p（1+a（z））- 4ma（z，1，1）ma（z，-1.-1） 2ma（z，1，1）。因为| an | |和|bn |≤ 1对于所有n，它必须是：an=aλa(-它）n-1bn=bλa(-它）n-1，a，bbe由an，bn:a=ma上的递推方程给出(-它，1，-1)1 - λa(-它）妈(-it，1，1）b=ma(-信息技术-1,1）a+a(-它）妈(-它，1，1）。最后我们通过观察得出结论：φa（t，n）=anva（1）+bnva(-1） .3.2价格上涨的概率从买卖队列的初始配置开始，（qb，qa）=（nb，na），下一次价格变化是价格上涨的概率将表示为pup（nb，na）。这个量等于σais小于σb:pup（nb，na）=P[σa<σb | qb=nb，qa=na]的概率。由于我们知道σa，σb的特征函数（参见命题4），我们可以使用数值程序来计算它们各自的定律。由于σa和σb是独立的，σb的定律- σa可以使用σa，σb的单独定律来计算，因此，pup（nb，na）可以通过使用数值程序来计算，1）反转特征函数，2）计算不定积分。实际上，在qa=na上表示fna，aσ的p.d.f，以及fnb，b c.d.f。

在qb=nb的条件下，我们有：pup（nb，na）=P[σa<σb | qb=nb，qa=na]=Z∞fna，a（t）（1）- Fnb，b（t））dt，其中Fnb，带fna，aare通过以下反演公式获得：fna，a（t）=2πZRe-itxφa（x，na）dx，Fnb，b（t）=-πZ∞xIm{e-itxφb（x，nb）}dx。3.3股票价格被视为马尔可夫更新过程的函数如前所述，我们可以写出股票价格stas:st=NtXk=1Xk，其中{Xn}n≥0是取±δ，{τn}n的连续价格增量≥价格变动与{Tn}n之间的连续性≥0价格变化的连续时间。在这种情况下，随机变量τn+1的分布将取决于该时段开始时出价和询问队列的初始配置[Tn，Tn+1），其本身取决于之前价格变化的性质Xn：如果之前的价格变化是价格下降，则初始配置将从分布f中提取，如果是增加，则初始配置将从分布f中提取。因为对于每个n，随机变量（Xn，τn）仅依赖于之前的增量Xn-1，可以看出过程（Xn，τn）n≥0是一个马尔科夫更新过程（[10]，[16]），因此股价可以被视为马尔科夫更新过程的一个功能。我们得到以下结果。提议5。过程（Xn，τn）n≥0是一个马尔可夫更新过程。

过程定律{τn}n≥0由以下公式得出：F（δ，t）：=P[τn+1≤ t | Xn=δ]=∞Xp=1∞Xn=1f（n，p）p[τ≤ t |（qb，qa）=（n，p）]，F(-δ、 t）：=P[τn+1≤ t | Xn=-δ] =∞Xp=1∞Xn=1ef（n，p）p[τ≤ t |（qb，qa）=（n，p）]。马尔可夫链{Xn}n≥0的特征是以下跃迁概率：pcont:=P[Xn+1=δ| Xn=δ]=∞Xi=1∞Xj=1up（i，j）f（i，j）。pcont:=P[Xn+1=-δ| Xn=-δ] =∞Xi=1∞Xj=1（1- 幼犬（i，j））ef（i，j）。因此，这个马尔可夫链的生成器是（我们将状态1同化为δ值，将状态2同化为δ值）-δ） ：P:=pcont1- pcont1- pcontpcont设pupn（b，a）：=P[Xn=δ| qb=b，qa=a]。我们可以显式地计算这个量：pupn（b，a）=π*+ （pcont+pcont）- 1） n-1（幼犬（b，a）- π*) ,π*:= π*（δ） ：=pcont- 1cont+pcont- 2，其中π*是马尔可夫链{Xn}：π的平稳分布*= 画→∞P[Xn=δ| X]。进一步：E[Xn | qb=b，qa=a]=δ（2pupn（b，a）- 1） 以及两次连续价格变动之间的（条件）协方差：cov[Xn+1，Xn | qb=b，qa=a]=4δpupn（b，a）（1）- pupn（b，a））（pcont+pcont- 1).备注6。特别是，如果pcont=pcont，那么π*= 1/2，我们检索[5]的结果。我们还指出，两次连续价格变动之间的（条件）协方差的符号不取决于买卖队列的初始配置，而是由pcont+pcont的符号给出-1.我们还注意到，数量pcont，pcont可以根据前面章节中讨论的数量pup（nb，na）的知识进行计算。在了解τ定律的情况下，可以计算出量F（±δ，t），而τ定律是通过使用数值程序来反转σa和σb的特征函数，以及命题的结果而知道的。证据

基本计算的结果与[5]中的结果类似。事实上，我们有：pupn（b，a）1- pupn（b，a）=幼犬（b，a）1- 幼犬（b，a）pcont1- pcont1- pcontpcontN-1我们还有：pcont1- pcont1- pcontpcont= s100厘康+厘康- 1.s-1带：S=1.-1.-pcont1-pcont14价格过程的扩散极限[5]假设f（i，j）=ef（i，j）=f（j，i），以使价格增量xn独立且分布相同。事实上，这个假设可以完全放松。实际上，正如我们前面提到的，（Xn，τn）n≥0实际上是一个马尔可夫更新过程，因此我们可以使用相关理论来计算价格过程的扩散极限。本节的结果推广了[5]第4节的结果。4.1平衡序流情形：Pa（1，1）=Pa(-1.-1） 和Pb（1，1）=Pb(-1.-1） 在本节中，我们做出以下假设：（A4）使用命题1的符号，以下观点成立：∞Xn=1∞Xp=1αb（n）αa（p）f（n，p）<∞,∞Xn=1∞Xp=1αb（n）αa（p）ef（n，p）<∞.利用命题3，我们将引理1推广到[5]：引理7。在假设（A4）下，以下弱收敛性为n→ ∞:n log（n）nXk=1τk=> τ*:=∞Xn=1∞Xp=1αb（n）αa（p）f*（n，p），其中f*（n，p）：=π*f（n，p）+（1）- π*)ef（n，p）。证据我们有：n log（n）nXk=1τk=Xi∈{-δ、 δ}Ni（n）nlog（Ni（n））log（n）Ni（n）log（Ni（n））Ni（n）Xk=1τp（k，i），其中∈ {-δ、 δ}，Ni（n）表示Xk-1=i代表1≤ K≤ N和{p（k，i）：k≥ 1} Xk所对应的连续索引-1=i。根据马尔科夫链的标准理论，我们有∈ {-δ、 δ}:Ni（n）na。E→ π*（i） 所以我们有log（Ni（n））log（n）a.e。→ 1.我们记得π*(δ) := π*, π*(-δ) = 1 - π*. 对于Fixedi∈ {-δ、 δ}，随机变量{τp（k，i）：k≥ 1} i.i.d.分布为F（i，·），tailindex等于1（根据命题3）。