限价订单市场的半马尔可夫模型

利用[5]（引理1）和命题3，我们得到：n log（n）nXk=1τp（k，δ）=>∞Xn=1∞Xp=1αb（n）αa（p）f（n，p），n log（n）nXk=1τp（k，-δ)=>∞Xn=1∞Xp=1αb（n）αa（p）ef（n，p）。后一种收敛在概率上成立，我们最终得到：n log（n）nXk=1τkP→ π*∞Xn=1∞Xp=1αb（n）αa（p）f（n，p）+（1）- π*)∞Xn=1∞Xp=1αb（n）αa（p）ef（n，p）。让我们*:= δ(2π*- 1). 利用前面的引理7，我们得到了标准化价格过程stn log（n）的以下扩散极限：命题8。在假设（A4）下，重整化价格过程stn log（n）满足Skorokhod拓扑中的以下弱收敛性（[14]）：stn日志（n）n，t≥ 0N→∞=>s*tτ*, T≥ 0,stn日志（n）- Ntn日志（n）s*√n、 t≥ 0N→∞=>σ√τ*W、 式中，W是标准布朗运动，σ由σ=4δ表示1.- pcont+π*（pcont）- pcont）（pcont+pcont- 2)- π*(1 - π*).备注9。如果pcont=pcont=π*=如[5]所述，我们发现*= 0和σ=δ，如[5]所示。如果pcont=pcont=p，我们有π*=, s*= 0和：σ=δp1- p、 证据。因为m（±δ）：=E[τn | Xn-1= ±δ] = +∞ 根据命题3，我们不能直接将众所周知的不变性原理结果应用于半马尔可夫过程。表示t∈ R+：Rn:=nXk=1（Xk- s*), n（t）：=n-1/2(1 - λn，t）Rbntc+λn，tRbntc+1,式中λn，t:=nt- bntc。根据类似于[16]（第3节）的鞅方法，我们可以证明，在Skorokhod拓扑中，我们有以下弱收敛：（Un（t），t≥ 0）n→∞=> σW，其中W是标准布朗运动，σ由σ=Xi给出∈{-δ,δ}π*（i） v（i），我在哪里∈ {-δ、 δ}:v（i）：=b（i）+p（i）（g(-（一）- g（i））- 2b（i）p（i）（g）(-（一）- g（i）），b（i）：=i- s*,p（δ）：=1- 普康特，p(-δ) := 1 - pcont，和（向量）g由以下公式给出：g=（P+π）*- （一）-1b，其中∏*行数等于（π）的矩阵*1.- π*).

完成计算后，我们得到：σ=4δ1.- pcont+π*（pcont）- pcont）（pcont+pcont- 2)- π*(1 - π*).为了穷举性，我们还给出了g:g（δ）=δpcont的显式表达式- pcont+2（1）- π*)pcont+pcont- 2.- s*,g(-δ） =δpcont- pcont- 2π*pcont+pcont- 2.- s*.事实上，为了证明Un的上述收敛性，我们观察到我们可以将RNA写为aFn的和-鞅Mn与有界过程：Rn=Mn+g（Xn）- g（X）+Xn- X |{z}unif。有界，Mn:=nXk=1b（Xk-1) - g（Xk）+g（Xk-1） 式中Fn:=σ（τk，Xk:k≤ n） X:=0。过程mn是鞅，因为g是下列泊松方程的唯一解，因为∏*b=0:[P- 一] g=b.Unfollows收敛的其余证明[16]（第3节）。我们在前面（引理7）证明了：Tnn log（n）=> τ*,其中Tn:=Pnk=1τk.自马尔可夫更新过程（Xn，τn）n≥0是正则的（因为状态空间是有限的），我们得到Nt→ ∞ a、 因此：TNTLOG（Nt）=> τ*.观察到TNt≤ T≤ TNt+1a。s、 ，我们得到：TNTLOG Nt≤tNtlog Nt≤（Nt+1）log（Nt+1）Ntlog NtTNt+1（Nt+1）log（Nt+1），因此：tNtlog（Nt）=> τ*.设tn:=tn log（n）。我们想在[5]中，等式（17）中显示：NtnP~ntτ*.我们用AnP表示~ 英国国家银行-利曼bn=1。我们表示为[5]ρ：（1，∞) → (1, ∞) 是t log（t）的反函数，我们注意到ρ（t）t→∞~tlog（t）。[5]式（17）中的第一个等价物：NtnP~ ρtnτ*这并不明显。事实上，我们有Ntnlog（Ntn）P~tnτ*, 我们想得出，Ntn=ρ（Ntnlog（Ntn））P~ ρtnτ*. 后一种含义并不适用于所有函数ρ，尤其是当ρ是指数函数时。然而，在我们的例子中，这是真的，因为ρ（t）t→∞~因此对于任何函数f，g+∞ 作为t→ ∞:ρ（f（t））ρ（g（t））t→∞~f（t）g（t）log（g（t））log（f（t））。因此我们看到如果f（t）t→∞~ g（t），然后根据对数log（f（t））t的性质→∞~ log（g（t））因此ρ（f（t））t→∞~ ρ（g（t））。

这使我们可以得出[5]中的结论：NtnnP~tτ*.因此，我们可以在[16]推论3.19（另见[1]第14节）中改变时间，并表示αn（t）：=Ntnn，我们在Skorohod拓扑中得到以下弱收敛：（Un（αn（t）），t≥ 0) => （σWtτ）*, T≥ 0），也就是说：stn日志（n）- Ntn日志（n）s*√n、 t≥ 0=>σ√τ*大数定律的结果来源于NTNNP~tτ*, 再加上以下事实（马尔可夫链的强大数定律）：nnXk=1Xk→ s*a、 e.4.2其他情况：Pa（1，1）<Pa(-1.-1） 或Pb（1，1）<Pb(-1.-1） 在这种情况下，我们通过命题3知道条件期望E[τk | qb=nb，qa=na]是有限的。表示条件期望m（±δ）：=E[τk | Xk-1=±δ]，我们有：m（δ）=∞Xp=1∞Xn=1E[τk | qb=n，qa=p]f（n，p），m(-δ) =∞Xp=1∞Xn=1E[τk | qb=n，qa=p]ef（n，p）。在本节中，我们将需要以下假设：（A5）使用之前的符号，以下情况成立：m（±δ）<∞.例如，如果分布f和f的支持是紧密的，则上述假设是满足的，这在实践中是如此。作为半马尔可夫过程不变性原理结果的一个经典结果，我们得到了以下扩散极限结果（见例[16]，第3节）：命题10。在假设（A5）下，重整化价格过程在斯科罗霍德拓扑中体现了以下收敛性：sntn，t≥ 0N→∞→s*tmτ，t≥ 0a、 e。，snt- Nnts*√n、 t≥ 0N→∞=>σ√mτW，其中W是标准布朗运动，σ在命题8和：mτ：=Xi中给出∈{-δ,δ}π*（i） m（i）=π*m（δ）+（1）- π*)m(-δ).证据这是强大数定律和不变性原理的直接结果满足m（±δ）<∞ （参见[16]第3节）。

在上一篇文章[16]中，不变性原理的证明是使用类似于命题证明的鞅方法进行的。8.5数值结果在本节中，我们给出了校准结果，说明并证明了我们的方法。在[5]中，假设队列的变化Vbk、Vakdo不取决于它们之前的值Svbk-1，瓦克-1.根据经验，我们发现P[Vbk=1]≈ P[Vbk=-1] ≈ 1/2（询问方也是如此）。在这里，我们通过估计和比较概率p来挑战这一假设(-1,1）和P（1,1）在一侧和P(-1.-1） 与P（1，-1） 另一方面，检查他们是否大致相等，无论是要求和出价。对于出价和出价，我们也给出了估计概率P[Vk=1]，P[Vk=-1] 我们分别称之为P（1），P(-1） ，以检查它们是否近似等于[5]中的1/2。下面的结果与6月21日亚马逊、苹果、谷歌、英特尔和微软的5只股票相对应。概率是用强大数定律估计的。为了便于参考，我们还提供了订单到达之间的平均时间（毫秒（ms））以及每份订单的平均库存数量。亚马逊-苹果-谷歌-英特尔-微软-出价-出价-出价-出价-出价-出价-出价-出价-出价-出价-出价-出价-出价-出价-出价-出价-出价-出价-出价-出价-出价-出价-出价-出价-出价-出价-出价-出价-出价-出价-出价-出价-出价-出价-出价-出价-出价-出价-出价-出价-出价-出价-出价-出价-出价。每份订单的库存量100 82 90 82 84 71 502 463 587 565平均订单间隔时间（ms）和每份订单的平均库存量。

2012年6月21日。亚马逊-苹果-谷歌-英特尔-微软出价-出价-出价-出价-出价-出价-出价-出价-出价-AskP（1,1）0.48 0.57 0.50 0.55 0.48 0.53 0.55 0.61 0.63 0.60便士(-1,1）0.46 0.42 0.40 0.42 0.46 0.49 0.44 0.40 0.36 0.41P(-1.-1） 0.540.580.600.580.540.510.560.600.640.59P（1，-1） 0.52 0.43 0.50 0.45 0.52 0.47 0.45 0.39 0.37 0.40P（1）0.47 0.497 0.44 0.48 0.47 0.51 0.495 0.505 0.49 0.508P(-1） 0.53 0.503 0.56 0.52 0.53 0.49 0.505 0.495 0.51 0.492马尔可夫链Vbk，Vak的估计转移概率。2012年6月21日。数据取自该网页https://lobster.wiwi.hu-berlin.de/info/DataSamples.phpFindings:首先，我们在[5]中发现，对于所有股票，P[Vk=1]≈ P[Vk=-1] ≈ 1/2，苹果出价的情况除外。值得一提的是，我们总是有P（1）<P(-1） 例外情况有三种：Google Ask、Intel Ask和Microsoft Ask。然而，在这些情况下，P（1）和P(-1） 它们彼此非常接近，因此可以认为它们属于P（1）=P的情况(-1） 共[5]。这3种情况也对应于P（1，1）>P的仅有3种情况(-1.-1） ，这与我们的假设P（1，1）相反≤ P(-1.-1). 然而，在这3种情况下，P（1,1）和P(-1.-1） 它们彼此非常接近，所以我们可以认为它们属于P（1，1）=P的情况(-1.-1).更重要的是，我们注意到概率P(-1,1），P（1,1）之间可能存在显著差异——概率P的情况也是如此(-1.-1） ，P（1，-1） -这证明了随机变量{Vbk}，{Vak}使用马尔可夫链结构。

这种现象在微软（Bid+Ask）、英特尔（Bid+Ask）、苹果（Bid+Ask）或亚马逊Ask上尤为明显。此外，关于P（1，1）和P的比较(-1.-1） 事实证明，它们通常非常相似，除了亚马逊竞购、苹果竞购、谷歌竞购。[5]中我们想挑战的第二个假设是订单到达时间Tak，Tbk的假定指数分布。为此，在用于估计转移概率Pa（i，j）、Pb（i，j）的相同数据集上，我们将经验CDF的Ha（i，j，·）、Hb（i，j，·）校准为Gamma和Weibull分布（这是指数分布的推广）。我们记得这些分布的p.d.f.由以下公式给出：fGamma（x）=Γ（k）θkxk-1e-xθx>0，fW eibull（x）=kθxθK-1e-（xθ）kx>0。这里，k>0和θ>0分别表示形状和比例参数。变量k是无量纲的，而θ将用ms表示-1.我们对每种经验分布Ha（i，j，·）、Hb（i，j，·）（以及参数的95%置信区间）的Weibull和Gamma参数进行最大似然估计。正如我们在下表中所看到的，形状参数k始终显著不同于1(~ 0.1到0.3），这表明指数分布不足以满足我们的观察。为了说明这一点，我们在下面给出了H（1，-1） 在谷歌竞购的案例中，我们看到Gamma和Weibull允许拟合经验c.d.f。

以比指数更好的方式。H（1，-1）-谷歌竞标-2012年6月21日。我们在下表中总结了校准结果。亚马逊出价H（1，1）H（1，-1） H(-1.-1） H(-7.3-0.253-0.253-0.253-0.280-0.280-0（0.280-0.290）（0.253-0.263）0.253-0.253-0.253-0.263-0.263（0.253-0-0.253-0.253-0（0.253-0-0-0.263）伽伽伽伽伽马（4927）4927 4321 4321 4721 4721 4721 4721 474721 4717 4717 4717 4717 4717 4712 4712 4712 5912 5912 59656565656512 596565656565656565656518（4618（4618-4618（4618-5257）（4618-5257）（4618-527）（4618-527）（4618-527）（4618-527）（4618-527）（4618-527）（4618-527）（41414141414141184）（0.161-0.169）亚马逊投标：拟合威布尔和伽马参数。括号内为95%的置信区间。2012年6月21日。亚马逊询问H（1，1）H（1，-1） H(-1.-1） H(-4.4-87.7）（181.9-215.1）（0.270-0.281）（0.270-0.281）0.270-0.281（0.270-0.281）伽马（221）221）伽马（4732）4732 4632 4623 38454545454545454545454545454545454545454545454545455879（4475-5004）（4475-5004-454）（4345-454-454-454）（4345-4945-4919）（4345-4945-4919）（4345-4919）（4845-4919）（3609-4919）（3609-4919）（3609-4919）（3609-399-499-499）（3609-399）（399-399）（399）（399-399）（399）（399-399）（399）（399）（399）（399-399）（399）（399亚马逊Ask：拟合威布尔和伽马参数。括号内为95%的置信区间。2012年6月21日。苹果出价H（1，1）H（1，-1） H(-1.-1） H(-（7.6-0.296-0.0-0.296-0-0.274）（0.296-0.304）0.296-0-0.304）伽马（0.296-0-0.304）伽马（0.296-0.296-0.0-0.304）伽马（0.296-0-0.304）伽马（2187）1860 287 1860 225525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252520.192-0.199）苹果出价：拟合威布尔和伽马参数。括号内为95%的置信区间。

2012年6月21日。苹果问H（1，1）H（1，-1） H(-1.-1） H(-1.5-1595.5（145.5-159.5）5.5（145.5-159.8）（5.303-0.312）伽马（0.303-0.312）伽伽马（0.303-0.312）伽马（0.303-0.312-0.312）伽马（0.303-0.312）伽伽伽马2019）2019年16661995年1666 1995年27401995年27401995年（1942-1942-2099（1942-2099（1942-2099）（1942-2099）（1603-2099）（1603-2099）（1603-2099）（1603-1903-1737-7-7）（1603-1737）（1603-1733-1733-1737）（1603-1732）（1603-1732）（1603-1732）（1603-1733-1732）（1907）（1907）（1907）（1907-200-0.208）苹果问：拟合威布尔和伽马参数。括号内为95%的置信区间。2012年6月21日。谷歌出价H（1，1）H（1，-1） H(-1.-1） H(-5.4-0.241-0.241-0.241-0.241-0.241-0.241-0.241-0.241）伽伽伽马θ（0.241-0.411）伽伽伽伽伽（6720）6720 6620 6647 6647 66414141414141410.667 6667676767676767474647476381 6381 7781 7081 7025（626263-7210（6263-7210）（6263-7210）（6263-7210）（6210）414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414167676767676767676767674141414141414141414141414141414141414141谷歌出价：拟合威布尔和伽马参数。括号内为95%的置信区间。2012年6月21日。谷歌问H（1，1）H（1，-1） H(-1.-1） H(-3.5-296.8（0.258-0.258-0.258-0.258-0.258-0.268（0.258-0.258-0.268）伽伽马6081 657165716571434 464 4698（5734-6450-6450）（6165-414141416571657165716571414141414141414141414141414141414141656571657143434 464 464 464 464 464 464 464 4698（574 4698（574-4698（5734-645-65656565654（574-4698（5734-645-6450）（574-645-6450）（574-414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141161）（0.159-0.168）谷歌提问：拟合威布尔和伽马参数。括号内为95%的置信区间。2012年6月21日。英特尔出价H（1，1）H（1，-1） H(-1.-1） H(-（2.45-2.67）（2.45-2.67）（2.45-2.67）（2.45-2.67）（3.21-3.45）（3.21-3.45）（1.92-2.10）1.92-2.10（1.92-2.10）威布尔k（0.22-2.10）威布尔k 0.0.227 0.0 0 0 0.227 0.227 0 0.2260.2260 0.267 0 0.267 0 0 0.267 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.7 0 0 0 0 0 0 0 0.7 0.7 0 0 0 0 0 0 0.7 0 0 0 0 0 0 0 0 0.7 0.7 7 7 7 7 7 7 0.01（2.01（2（2-0.18-0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0.英特尔投标：拟合威布尔和伽马参数。括号内为95%的置信区间。

2012年6月21日。英特尔Ask H（1，1）H（1，-1） H(-1.-1） H(-1.21-5.73（5.21-5.73）（4.45-4.80）（4.45-4.80）（4.90-5.80）（4.90-5.50）（4.90-5.41（4.90-5.41）威布尔k 0.235 0.235 0 0.2310.2310.250 0.25（0.230.2310 0.250 0 0 0 0 0 0 0.255.5.1）0.1（1）5（1）5.5.5.5.1）5.9（1）5（4.9（4.90-5.90-5.9-5.9-5.9-5.5.5.1）5.5.9（4（4.9-5.9-5.5.5.9-5.41）威布尔（4（4）5.1）5.9（4（4.9-5.1）威布尔k）威布尔k（4）威布尔k k英特尔Ask：拟合威布尔和伽马参数。括号内为95%的置信区间。2012年6月21日。微软出价H（1，1）H（1，-1） H(-1.-1） H(-2.83-3.13（2.83-0.13）（2.83-0.13）（2.59-2.78）（2.59-2.78）（2.50-2.50-2.78）（2.50-2.78）（2.50-2.78）（2.50-2.50-2.78）（2.50-2.50-2.78）威布尔k 0.2150.2150.2210.2210.2210.0.259 0.259 9 0 0 0 0.9 9 9 0.9 0 0 0 0.9 9 0 0 0.9 9 0 0 0.9 9 0 0.2110.2110.2110.2110（0（0（0（0.2110（0（0.2110.21（0（0.21（0.21（0.2140.2140.2140.214-0.2140-0-0-0-0-0.2140-0-0-0.2140-0-0.微软投标：拟合威布尔和伽马参数。括号内为95%的置信区间。2012年6月21日。微软询问H（1，1）H（1，-1） H(-1.-1） H(-（1.50-1.50-1.15）（2.00-2.15）（1.36-1.50-1.15）（1.36-1.50）（1.36-1.50（1.36-1.50）威布尔k 0.218 0.2180.2230.0 0.259 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.1（1.36-1.50）威布尔k 0.5（0.18（0.5）威布尔k 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.18（0.18（0.18（0.18）k 0.18（0.18（1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.18（1.36-1-1.3-1-1.1.1（1（1.3-1（1.3-1.微软问：拟合威布尔和伽马参数。括号内为95%的置信区间。2012年6月21日。6结论和未来工作本文介绍了一种极限订单簿的半马尔可夫模型，以匹配经验观察结果。

我们通过以下方式扩展了[5]的模型：i）允许书籍事件（限价订单、市场订单、订单取消）之间的到达时间具有任意分布。ii）新书活动在投标或询价时的到达时间及其相应的到达时间取决于之前活动的性质。为了做到这一点，出价和询问队列都是由马尔可夫更新过程驱动的。从这些选择的动力学结果来看，价格过程可以表示为anotherMarkov更新过程的函数，我们明确地描述了这个过程。在这种情况下，我们得到了概率结果，比如直到下一次价格变化的持续时间、价格上涨的概率以及驱动股价过程的马尔可夫更新过程的特征（第3节）。在第4节中，我们得到了股票价格过程的扩散极限结果，推广了[5]的结果。最后，我们在第5节中介绍了真实市场数据的校准结果，以说明和证明我们的方法。参考文献[1]比林斯利，P.概率测度的收敛，约翰·威利父子公司，1999年。[2] A.Cartea和S.Jaimungal，《限额和市场订单的最佳执行》，QuantitativeFinance，即将出版。[3] K.J.Cohen，R.M.Conroy和S.F.Maier，《订单流量和市场质量，市场制定和证券业结构变化》（1985）。[4] R.Cont，S.Stoikov和R.Talreja，《订单动态的随机模型》，运营研究，58（2010），第549-563页。[5] R.Cont和A.de Larrard，《马尔科夫限价订单市场中的价格动态》，金融数学杂志，4（2013），第1期，第1-25页。[6] I.Domowitz和J.Wang，《拍卖作为算法》，J.经济动力学和控制，18（1994），第29-60页。[7] 福德拉和H。