信用风险：考虑资产相关性的波动

我们观察到，如果我们使用具有齐次相关结构的协方差矩阵，则需要N=4左右的较小值来描述月度旋转和缩放收益的分布。这必须与我们在图3中发现的具有非均匀相关性结构的协方差矩阵的较大值N=20进行比较。这些结果强调了参数N是反向方差的解释。如果我们的平均相关矩阵在所有对角元素中有相同的条目，则需要一个较小的N值来描述该平均值周围的较大函数。图5显示了使用Cramer von Misestest对不同返回间隔的置信度最高的N值t、 对于较大的重现期，N=5给出了数据的最佳拟合。附录A中讨论了确定N值的另一种方法。该方法考虑了表达式r+r的方差，并有力地证实了本节的结果。10-410-310-210-11pdf10-410-310-210-11pdf-4 0 4r-4 0 4r图3：轮换和缩放月度回报的汇总分布。将经验分布（黑线）与理论结果（红色虚线）进行比较。左上/右：标准普尔500指数（1992-2012）/（2002-2012），左下/右：纳斯达克指数（1992-2012）/（2002-2012）。插图显示了相应的线性图。1041031021011pdf1041031021011pdf-4 0 4r-4 0 4r图4：使用具有齐次相关结构的方差矩阵的旋转和缩放月度收益的聚合分布。将经验分布（黑线）与理论结果（红色虚线）进行比较。左上/右：标准普尔500指数（1992-2012）/（2002-2012），左下/右：纳斯达克指数（1992-2012）/（2002-2012）。插图显示了相应的线性地块。

平均相关水平分别为c=0.26、0.35、0.21和0.25。0246N0 10 20 40 50 60t/交易日图5：参数N与收益区间在协方差矩阵具有齐次相关结构的情况下。4.具有可变资产相关性的平均损失分布通过经验数据验证了我们对资产价值分布的假设，我们现在给出了考虑可变资产相关性的平均损失分布结果。4.1. 大型投资组合的一般结果将平均资产价值分布（9）插入损失分布（4），并对大型K进行扩展，如[16]所示，我们得到了athpi（L | c，N）=√2π2N/2Γ（N/2）∞Zdz-zN/2-1e-z/2rN2π×+∞Z-∞杜埃普-怒族pM（z，u）exp-（L）- M（z，u））2M（z，u）（14） 对于m（z，u）=KXk=1fkm1k（z，u）（15）和m（z，u）=KXk=1fk的平均损耗分布m2k（z，u）- m1k（z，u）. （16） j次矩mjk（z，u）是mjk（z，u）=√Nρkp2πT（1）- c） ^FkZ-∞d^Vk1.-Vk0Fkexp√z^Vk+uk-ρkTj×exp-^Vk+√cT uρk2T（1- c） ρk/N（17） 对于j=0,1,2的同质投资组合，见附录B。我们将变量更改为^Vk=（ln（Vk（T）/Vk0）- （微克）- ρk/2）T）/√z的积分^Fk的新上界=√ZlnFkVk0-uk-ρkT（18） 由于z和u积分的复杂性，必须对其进行数值计算。4.2. 同质投资组合在同质投资组合的情况下，投资组合的所有合约都具有相同的面值Fk=F，方差σk=σ，漂移uk=u，起始值Vk0=V。这使得矩函数mjk（z，u）的计算速度大大加快，因为k相关性降低Mj（z，u）=√Nρp2πT（1）- c） ^FZ-∞迪夫1.-VFexp√佐夫+u -ρTj×exp-N^V+√cT uρ2T（1- c） ρ（19） 用积分^F的上限=√ZlnFV-u -ρT. （20） 和^V=（ln（V（T）/V）- (u - ρ/2）T）/√Z

由于portfolioweights（2）的标准化，我们对投资组合中的所有合同具有相等的权重Sfk=K（21）。曼德M所需的前三个力矩如附录B.4.3所示。超大同质组合的极限我们计算极限情况K→ ∞ 了解多元化在多大程度上可以降低信贷组合中的风险。均匀情况下的平均损耗分布ishpi（L | c，N）=√2π2N/2Γ（N/2）∞Zdz-zN/2-1e-z/2rN2π+∞Z-∞杜埃普-怒族×pM（z，u）exp-（L）- M（z，u））2M（z，u）. （22）我们注意到p2πM（z，u）exp-（L）- M（z，u））2M（z，u）（23）变成δ（L）的δ函数- M（z，u））代表M（z，u）→ 这在齐次情况下发生，M（z，u）=Km（z，u）- m（z，u）（24）对于K→ ∞, 根据等式（16）和（21）。我们到达雅典（L|c，N）=N/2Γ（N/2）∞Zdz-zN/2-1e-z/2rN2π+∞Z-∞杜埃普-怒族δ（L）- m（z，u））。（25）这里，我们使用广义标度性质的积分形式+∞Z-∞du h（u）δ（f（u））=h（u）|f（u）/u |（26）对于δ-函数，其中ui是函数f（u）的实根。增量函数inEq。（25）如果其参数f（z，u）=L，则只对u积分产生贡献- m（z，u）（27）是零。我们根据0=L引入反函数u（L，z）- m（z，u）（28），去掉uto的参数，简化符号并确定偏导数f（z，u）Uz、 u=m（z，u）Uz、 u（29）在u处。这允许我们使用δ函数的广义标度性质来求解u积分。我们得出极限情况K的平均损失分布→ ∞hpi（L | c，N）=N/2Γ（N/2）rN2π∞Zdz-zN/2-1e-z/2exp-怒族|m（z，u）/u | z，u（30）我们注意到，根据公式（28）a，L和z的函数，L依赖现在在u中。对信贷组合的影响将在第5.5节中讨论。固定资产相关性的限制我们给出了以秒为单位的平均损失分布。

5.1对于经验获得的参数的各种组合。以秒计。5.2我们研究平均损失分布的风险价值和预期损失。5.1. 我们以秒为单位显示的平均损失分布。3.相关平均多元正态分布（6）能够描述经验观察到的收益分布。从这个分布中，我们得到了默顿模型的资产价值分布（9）。由此产生的分布描述了到期时间T的资产价值，并被输入梅顿模型（4）。我们的模型有四个重要参数。其中三个参数可根据经验数据直接计算，即平均漂移u、平均波动率σ和平均相关水平c。第四个参数N与Wishart相关矩阵元素的反比成正比，详情见[22]。因此，N控制随机矩阵系综平均相关水平c附近的波动强度。我们讨论了N的估计。3.图6显示了默顿模型中相关平均数据集值的平均损失分布hpi（L | c，N）。我们给出了不同投资组合规模K=10、100和limit10的参数典型经验值的平均损失分布-1110102hpi（L | c，N）0.0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2L10-810-610-410-21102hpi（L | c，N）K=10K=100K→ ∞T=252天ST=20天图6:K=10和K=100的投资组合规模的平均损失分布。加上极限K→ ∞ 如图所示。参数为N=4.2，u=0.013-1，σ=0.1个月-1/2，T=20个交易日，平均相关水平c=0.26（顶部）；N=6.0，u=0.17年-1，σ=0.35年-1/2，到期时间T=1年，平均相关水平c=0.28（底部）。K→ ∞.

面值为F=75，t=0时的初始资产价值为V=100。我们注意到这种分布的重尾性在缓慢下降。可以清楚地看到，增加信贷组合的规模并不能显著降低巨额损失的风险。将投资组合从10个合同扩大到100个合同，可以降低风险。然而，分布迅速收敛到极限K→ ∞,减少多元化的影响。这有助于定量解释为什么在存在相关资产的情况下，投资组合不适用于信贷组合。从多元回报的经验分布开始，我们得到了一个数据校准的平均损失分布。10-510-310-110103hpi（L | c，N）0.0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1Lc=0.0c=0.1c=0.2c=0.3c=0.6图7：不同平均相关水平c的平均损失分布。参数为u=0.013个月-1，σ=0.1个月-1/2，T=1个月，K=100，n=4.2。不同平均相关水平c的影响如图7所示。我们观察到，平均相关水平的增加会导致分布的更宽尾部，从而导致更高的重大损失风险。参数N控制着平均相关性周围波动的强度，在将平均损失分布校准为经验收益方面起着重要作用。平均损耗分布对N的依赖性如图8所示。N值越小，投资组合损失越大。我们强调，较小的N值正确地描述了齐次相关矩阵的数据，其所有有效对角线元素均等于c.5.2。风险值和预期尾部损失在第2节中，我们讨论了齐次相关矩阵的使用，该矩阵的反对角线元素上有固定值c。

齐次相关矩阵是进行分析的必要条件。研究扩展了10年研究范围的案例-410-21102hpi（L）0.0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1LN=3N=10N=100图8：不同N值的平均损失分布。参数为u=0.015个月-1，σ=0.25个月-1/2，T=1个月，K=500，c=0.2。同质相关矩阵，例如，经验异质协方差，我们使用蒙特卡罗模拟来计算VaR和ETL。在每一个实现中，我们计算kd维向量v（T）=Vexp√T√NσU-1∧Nn+uT-σeT！（31）包含每项资产在到期时间T的价值。N是一个K×N矩阵，其元素来自标准正态分布。N维向量N的元素是从相同的分布中提取的。矩阵σ=diag（σ，…，σK）包含每种股票的波动率。K维向量u保持每个股票的漂移，e是由1组成的K维向量。矩阵U包含相关矩阵C的特征向量，矩阵∧将相关矩阵的特征值保持为对角元素。K维向量V包含信贷合同开始时的初始资产价值。然后，模拟步骤的结果由l（MC）=KKXk=0Fk给出- Vk（T）FkΘ（Fk- Vk（T）），（32），这是投资组合损失。theta函数只考虑到期资产价值Vk（T）小于面值Fk的情况。我们将损失分布估计为5000万次实现的结果直方图。首先，我们想证明齐次相关矩阵能够很好地估计VaR和ETL。

在金融应用中，在较长的时间段内（例如五年）估计协方差矩阵，并将其用作某些风险估计方法的输入，并不少见。本着这种精神，我们想知道齐次相关矩阵在多大程度上评估了风险，同时考虑了波动相关性。对于不同的时间范围，我们估计了标准普尔500指数股票月度收益的经验协方差矩阵。我们将经验协方差矩阵的结果与具有均匀相关结构的协方差矩阵的结果进行了比较。对于每个时间范围，我们确定参数N，如第3节所述。此外，我们估计了每种股票的波动率和漂移以及平均相关性c。参数如表2所示。对于波动性和漂移，我们只显示所有股票的平均值‘∑和‘u）。注意，在我们的模拟中，N必须是一个整数。在金融危机期间，有必要使用较小的Nemp=7来模拟波动率高于通常的波动。估算月的时间范围K NhomNemp‘’σin‘’u-半个月-12006-2010 465 12 0.11 0.009 0.402002-2004 436 5 14 0.10 0.015 0.302008-2010 478 5 7 0.12 0.01 0.46表2：用于不同时间范围的参数。我们根据经验协方差矩阵计算不同分位数α=0.99、0.995、0.999的VaR和ETL的相对偏差。我们研究了具有齐次相关结构的协方差矩阵的两种情况。首先，我们使用每只股票的波动率和漂移的平均值。这类似于第4.2节讨论的同质情况，如表3所示。其次，我们使用经验获得的每种股票的波动率和漂移，见表4。

相对偏差的正值表示具有齐次相关结构的协方差矩阵高估了VAR和ETL，而负值表示低估了VAR和ETL。我们将所有值四舍五入，精确到0.5。对于同质波动和漂移，我们发现，在大多数情况下，具有同质相关性的协方差矩阵低估了风险。如果我们使用异质波动率和漂移，我们发现具有同质相关性的协方差矩阵是一个合适的函数，并且在大多数情况下略微高估了VAR和ETL。在所有情况下，我们观察到，对于更大的杠杆F/V，与经验协方差矩阵的偏差都在减小。这表明，相关矩阵的结构发挥了次要作用，并强调了正确计算波动率的重要性。在图9中，我们展示了如何使用平稳相关性低估VaR。我们计算N的VaR的相对偏差→ ∞ 对于不同的F/VδVaR，99.0δVaR，99.5δVaR，99.9δETL，99.0δETL，99.5δETL，英语英语常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用4.5 9.0 17.5 11.5 15.0 22.02008-2010 0.75-42.5-33.5-17.0-27.0-21.0-8.50.80-21.5-15.5-4.0-11.5-7.0 1.00.85-8.0-4.0 2.5-2.0 0.5 5 5.00.90-1.0 1.0 5.0 2.0 3.5 6.5表3：同质相关矩阵和经验协方差矩阵之间VaR和ETL的相对偏差δ，以百分比表示。我们使用均匀波动率和漂移向量。正值表示具有齐次相关性的协方差矩阵高估VaR和ETL，而负值表示低估。

我们给出了99%、99.5%和99.9%的VaR和ETL。时间F/VδVaR，99.0δVaR，99.5δVaR，99.9δETL，99.0δETL，99.5δETL，英语英语常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用-1.0-1.5-0.50-1.0-1.0-0.50.80-2.0-2.0-0.0-1.0-0.51.50.85-2.0-1.51.0-0.50.00.90-1.5-0.51.50.03.0表4：齐次相关矩阵和经验协方差矩阵之间VaR和ETL的相对偏差δ，单位为百分比。我们使用每种股票的经验效用和漂移。正值表示具有齐次相关性的协方差矩阵高估了VaR和ETL，而负值表示低估了VaR和ETL。我们给出了99%、99.5%和99.9%的VaR和ETL。N的值→ ∞ 不允许协方差矩阵的波动，从而有效地禁用随机矩阵方法的好处。我们使用2006-2010年的经验协方差矩阵，即波动率和漂移是异质的。对于经验观察值N=12，风险值在30%到40%之间被低估。我们记得，如第3.0102030405060708090节所述，经验协方差矩阵需要更大的参数N值。低估变量0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28Nα=99.0α=99.5α=99.9图9：如果不考虑波动相关性，则低估经验协方差矩阵（2006-2010）的VaR。比较N的不同值。

这种情况下的经验值为Nemp=12。对于齐次相关矩阵，图10显示了平稳相关对依赖于平均相关水平c的VaR的低估程度。对于0.2到0之间的典型平均相关水平，VaR被低估了约45%。4.6. 结论我们发现，随机相关矩阵的集合平均值产生了一个合适的资产价值分布。虽然很难获得有关资产价值的经验数据，但根据默顿模型，我们可以将股票价格作为一个很好的替代指标。我们的集成方法得到了与经验数据的两个不同比较的支持。首先，我们发现，如果样本的时间间隔很短，股票收益率服从多元正态分布。第二，样本统计的回报率对大时间0102030405060708090低估VaR0。0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0cα=99.0α=99.5α=99.9图10：在同质相关矩阵的情况下，低估VaR。未考虑波动相关性。我们使用同质波动和漂移。参数为N=5，K=500，σ=0.25年-1/2，\'u=0.15年-1和c.视界的不同值可以用多元混合物来描述，其中多元正态分布在Wishart分布协方差矩阵集合上求平均值。这使我们能够得出信贷合同组合的损失分布，同时考虑资产价值之间的波动相关性。此外，在同质投资组合的情况下，我们能够推导出有限投资组合规模极限分布的解析表达式。我们对VaR和ETL进行了蒙特卡罗模拟。如果考虑到非均匀平均波动率，结果支持了均匀平均关联的ouransatz。