信用风险：考虑资产相关性的波动

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英文标题：
《Credit risk: Taking fluctuating asset correlations into account》
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作者：
Thilo A. Schmitt and Rudi Sch\\\"afer and Thomas Guhr
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In structural credit risk models, default events and the ensuing losses are both derived from the asset values at maturity. Hence it is of utmost importance to choose a distribution for these asset values which is in accordance with empirical data. At the same time, it is desirable to still preserve some analytical tractability. We achieve both goals by putting forward an ensemble approach for the asset correlations. Consistently with the data, we view them as fluctuating quantities, for which we may choose the average correlation as homogeneous. Thereby we can reduce the number of parameters to two, the average correlation between assets and the strength of the fluctuations around this average value. Yet, the resulting asset value distribution describes the empirical data well. This allows us to derive the distribution of credit portfolio losses. With Monte-Carlo simulations for the Value at Risk and Expected Tail Loss we validate the assumptions of our approach and demonstrate the necessity of taking fluctuating correlations into account.
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中文摘要：
在结构性信用风险模型中，违约事件和随之而来的损失都来自到期时的资产价值。因此，为这些资产价值选择符合经验数据的分布至关重要。同时，仍需保持一定的分析可处理性。我们通过提出资产相关性的集成方法来实现这两个目标。与数据一致，我们将其视为波动量，因此我们可以选择平均相关性作为齐次相关性。因此，我们可以将参数的数量减少到两个，即资产之间的平均相关性和围绕该平均值的波动强度。然而，由此产生的资产价值分布很好地描述了经验数据。这使我们能够得出信贷组合损失的分布。通过对风险价值和预期尾部损失的蒙特卡罗模拟，我们验证了我们方法的假设，并证明了考虑波动相关性的必要性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Credit_risk:_Taking_fluctuating_asset_correlations_into_account.pdf (568.06 KB)

2022-5-10 14:48:06 上传

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关键词：信用风险 相关性 correlations distribution Applications

信用风险：考虑流动资产相关性Thilo A.Schmitt*, 鲁迪·舍费尔和托马斯·古尔，杜伊斯堡-埃森大学物理系，洛塔斯特。147048德国杜伊斯堡2016年1月13日在结构性信用风险模型中，违约事件和随之而来的损失都来自到期时的资产价值。因此，为这些资产价值选择与经验数据相符的分布至关重要。同时，仍需保持一定的分析可处理性。我们通过提出资产相关性的集成方法来实现这两个目标。与数据一致的是，我们将其视为波动量，为此，我们可以选择均匀的平均相关性。因此，我们可以将参数的数量减少到2，即资产之间的平均相关性和围绕该平均值的波动强度。然而，由此产生的资产价值分布很好地描述了经验数据。这使我们能够得出信贷组合损失的分布。通过对风险价值和预期尾部损失的蒙特卡罗模拟，我们验证了我们方法的假设，并证明了考虑波动相关性的必要性。1.引言2007-2009年的次贷危机表明，许多小型违约债务人可能拖累整个经济[1]。随着雷曼兄弟（Lehman Brothers）的倒闭，信贷风险管理失败的毁灭性后果变得显而易见。此类危机之后的债务减免进一步加剧了违约概率的上升[2]。在*蒂洛。schmitt@uni-到期。近年来，许多研究指出了更好的信用风险评估的重要性，并提出了不同的方法，见参考文献。

[3,4,5,6,7,8,9,10,11]概述。关键问题是确定大型信用合同组合的损失分布。危险在于损失分布的沉重右尾。在这里，会发生非常大的损失，例如大型单一事件（如安然事件）或许多小型事件（如次贷危机期间）。减少这条尾巴将提高整个金融系统的稳定性。人们经常认为，多元化将降低投资组合的风险。这种说法很有问题。事实上，如果我们考虑信用合同组合，例如债务抵押债券（CDO），资产价值之间的相关性在评估风险时非常重要。已经证明，即使存在微弱的正相关，多样化也不能降低投资组合风险，第一次通过模型见[12,13]，默顿模型见[14,15,16]。在这里，我们推广了信用投资组合的默顿模型，以考虑资产价值之间的波动相关性。这种波动是由于金融市场固有的非平稳性[17]。重要的是，资产价值的协方差和相关矩阵随时间变化[18,19,20,21]。我们假设资产值是根据我们最近引入的相关平均多元分布来分布的[22]。这一假设的有效性通过对资产回报率的广泛实证研究得到验证。从这个分布出发，我们推导了在资产之间具有同质平均相关性的情况下，投资组合损失概率分布的分析结果。这种集成方法导致参数空间的非随机缩减。我们只剩下两个参数，资产价值和波动强度之间的平均相关性。

以前曾考虑过零平均相关的特殊情况[23]。此外，我们能够得出包含有限数量资产的投资组合的极限分布。这有助于对多元化的局限性进行定量推理。此外，我们还对研究风险价值（VaR）和预期尾部损失（ETL）的经验相关矩阵的一般情况进行了蒙特卡罗模拟。首先，我们证明了在考虑非均匀波动率和漂移的情况下，使用均匀平均相关矩阵是合理的。其次，模拟强调了对相关性的影响进行建模的重要性。本文的结构如下：第2节介绍了默顿模型的相关平均资产价值分布。在第3节中，我们展示了这种分布很好地拟合了经验数据，并根据经验数据确定了分布参数。我们在第4节中计算了平均损失分布，并在第5.2节中介绍了对风险管理的影响。集合方法：平均资产价值分布我们使用默顿模型[24]作为基础。我们考虑K信用合同的投资组合，并假设债务人是上市公司。默顿的想法是使用每个债务人k的股价Sk（t）作为timet资产价值Vk（t）的代理。到期时，债务人必须偿还信用证合同的面值。该公司的股权可以被视为欧洲看涨期权，其资产价值的执行价格等于面值Fk。面值包括支付给债务人的钱、利息和风险补偿。在默顿模型中，如果到期资产价值Vk（T）低于面值Fk，则会发生违约。然后，标准化损耗为LK=Fk- Vk（T）FkΘ（Fk- Vk（T））。

（1） Heaviside阶跃函数Θ（Fk- Vk（T））确保损耗Lk始终等于或大于零。信贷组合的总损失由单个损失Lk之和给出，并由其在组合中的分数fk加权，L=KXk=1fkLk，fk=FkPKi=1Fi。（2） 由于损失是到期资产价值的直接结果，因此投资组合损失分布可以计算为一个过滤积分，p（L）=Z[0，∞)Kd[V]g（V |∑）δL-KXk=1fkLk！（3） 这里，g（V |∑）是到期时间T的资产价值分布，其中V=（V（T），VK（T））和∑是一个无波动的平稳K×K协方差矩阵。度量d[V]是各资产价值Vk（T）差异的乘积。将方程（3）转换为公式p（L）=2π+∞Z-∞dνe- iνLKYk=1FkZdVk（T）expiνfk1.-Vk（T）Fk+∞ZFkdVk（T）g（V∑）。（4） 在[23]中。我们对资产价值g（V |∑）的分布有两个要求。首先，它必须是现实的，也就是说，分布应该很好地描述经验数据，并解决金融市场的非平稳性。其次，它应该在分析上易于处理。我们通过使用集成方法来实现这两个目标，这使我们能够极大地简化金融市场的描述。在[22]中，我们引入了相关多元正态分布的随机矩阵平均值，它考虑了协方差矩阵的非平稳性。重要的是，我们的集合是不真实的，它确实是由于非平稳性而存在的：在不同时间测量的相关或协方差矩阵在统计显著水平上彼此不同。所有这些矩阵的集合构成了我们的集合。该分布是Wishart分布相关矩阵集合上多元正态分布平均的结果[25]。我们用它来描述返回向量r（t）=（r（t）。

，rK（t））带rK（t）=Sk（t+（t）-Sk（t）Sk（t）。（5） K股，在哪里t是返回间隔。我们从平均收益分布hgi（r |∑，N）开始，将其与第3节中的数据比较进行比较。为了简化符号，当r出现在分布的参数中时，我们省略了r的时间依赖性。平均资产价值分布可以很容易地从平均回报分布中计算出来。具有可变协方差的平均收益分布的一般结果ishgi（r∑，N）=√NK√N-2Γ（N/2）pdet（2π∑）K（K-N） /2√Nr+∑-1r√Nr+∑-1r（K）-N） /2（6）具有第二类和第二阶贝塞尔函数K- N） /2。由于时间序列有限，我们不使用Wishart分布来描述测量噪声，而是对协方差的实际非平稳性进行建模。因此，N是一个自由参数，它控制着平均协方差矩阵∑周围的波动强度，如第3节所述。在信用风险的背景下，我们对T期间资产价值的变化感兴趣。因此，我们将考虑相当长的返回间隔，t=t（7）在下文中，我们用平均相关矩阵C表示协方差矩阵∑，其中∑=diag（σ，…，σK）包含每个K资产的标准偏差。我们通过假设齐次平均相关矩阵C=（1）来实现分析可处理性- c） 1K+cee+，（8）其中1K是K×K单位矩阵，e是以1为元素的K分量向量。这意味着所有的有效对角矩阵元素都等于c。我们强调这只是一个关于平均相关矩阵的假设，我们方法中的相关性围绕这个平均值展开。随后，我们证明了这种近似可以很好地描述经验数据。

这种结构只允许我们通过两个参数来捕捉金融市场的相关性结构：平均相关性水平c和表示该平均水平附近的波动强度的参数N。将齐次相关矩阵（8）插入平均收益分布（6）的一般结果中，并执行[16]yieldshgi（V | c，N）=N/2Γ（N/2）detρKYk=1Vk（T）！∞Zdz-zN/2-1e-z/2×rN2πzsN2πz（1- c） TK+∞Z-∞杜埃普-N2zu×exp-KXk=1NlnVk（T）Vk0- （微克）-ρk）T+√cT uρk2z（1- c） Tρk. （9） Vk0=Vk（0）。术语qkk=1V-1k（T）是雅可比行列式从收益rk转换为资产价值Vk（T）rk的结果-→ lnVk（T）Vk0-uk-ρkT，（10）使用它的o引理[26]。根据默顿模型的精神，我们假设资产价值遵循几何布朗运动。我们记得，到期时间决定了周转时间，t=t。当我们稍后在等式（4）中插入资产价值分布（9）时，我们希望实现Vkintegrals的因式分解。因此，我们现在不进行u积分。等式（9）是我们对到期时间T的平均资产价值分布的结果。由于从收益到资产价值的坐标转换，以前的无量纲标准偏差σkar被时间平方根上的波动率ρk取代，其量纲为1，σk=ρk√T（11） 在推导平均损耗分布之前，我们将在下一节对我们的集合方法进行广泛的实证验证。3.经验收益分布我们对两个不同的数据集进行数据分析，这两个数据集来自YahooFinance[27]。我们从标准普尔500指数（s&P 500）中选择股票，这些股票在我们研究的每个时间段都会持续交易。标准普尔500指数的组成集中于表现良好的美国公司。

我们使用的第二个数据集包括我们观察期间在纳斯达克连续交易的所有股票。纳斯达克数据集考虑了更广泛的公司选择。10-510-410-310-210-11pdf-4 0 4r-4 0 4r图1：固定协方差矩阵的聚合收益分布。圆圈呈正态分布。左：1992年至2012年标准普尔500指数数据集（307只股票），右：2002年至2012年纳斯达克数据集（2667只股票）。我们分析了这两个数据集的多元回报时间序列（5）。对于平均收益分布hgi（r |∑，N）的导数，见等式（6），我们假设收益由多元正态分布（r |∑st）=pdet（2π∑st）exp很好地描述-r+∑-1str, （12） 在短时间范围内，该时间间隔的协方差矩阵∑St可以被视为平稳的，请参见[22]。我们记得，我们通过在Wishart分布相关矩阵集合上对等式（12）进行平均来获得平均回报分布。我们再次注意到，相关矩阵与协方差矩阵xvia∑=σCσ密切相关。我们计算返回时间序列的返回间隔为t=1交易日。然后将这些时间序列划分为25个交易日的短且不重叠的区间。在这些短时间间隔内，我们可以看到协方差矩阵∑stas常数。由于这些时间间隔上的时间序列的长度小于协方差矩阵的维数，因此它是不可逆的。从数学角度来看，这不会引起问题，因为等式（12）中的分布是用δ函数定义的。对于数据分析，我们采用所有收益对（rk，rl），如果我们的假设（12）为真，则其应为二元正态分布，具有2×2方差矩阵∑（k，l）st。该矩阵始终是可逆的。

接下来，我们将向量（rk，rl）旋转成∑（k，l）的特征基，并用相应的特征值规范化向量的元素。图1显示了所有收益对的聚合分布。左图显示了一个数据集的汇总结果，该数据集包含标准普尔500指数的307只股票，该指数在1992-2012年间持续交易。右图显示了2002年至2012年纳斯达克2667只股票数据集的所有收益对分布。这两种分配都是为了日常回报。我们发现，在短期内，假设固定协方差矩阵∑st，所有收益对的分布都相当符合正态分布。我们现在使用平均回报分布（6）来计算可与经验数据进行比较的旋转和缩放回报分布。我们将向量旋转为协方差矩阵∑的特征基，并用其相应的特征值对每个元素进行归一化。将除一个自由度外的所有自由度进行积分，我们得到了旋转和缩放收益的分布=√1.-N√N√πΓ（N/2）√N~r（N）-1） /2K（N）-1)/2√N~r（13） 它再次包含第二类贝塞尔函数，但现在是阶数（N-1)/2.假设平均相关矩阵C为inEq，我们评估了平均协方差矩阵∑和具有齐次相关结构的协方差矩阵∑=σCσ的经验数据中旋转和缩放收益的概率分布。(8).图2和图3显示了使用非均匀相关结构的经验协方差矩阵∑计算的旋转和缩放返回的概率分布。我们在两个时间范围内分析了四个不同的数据集。第一个数据集包括10-410-310-210-11pdf10-410-310-210-11pdf-4 0 4r-4 0 4r图2：旋转和缩放每日收益的聚合分布。

将经验分布（黑线）与理论结果（红色点线）进行比较。左上/右：标准普尔500指数（1992-2012）/（2002-2012），左下/右：纳斯达克指数（1992-2012）/（2002-2012）。插图显示了相应的线性地块。标准普尔500指数中的307只股票在1992年至2012年期间连续交易（左上）。第二组包括标准普尔500指数中的439只股票，时间跨度为2002年至2012年（右上）。然后，我们分别在两个时间段（左下/右下）使用来自纳斯达克的708和2667只股票。图2显示了日收益率的结果，图3显示了月收益率的结果。我们进行了aCramer von Mises测试，以确认最小二乘法的结果，最小二乘法确定了等式（13）中的参数N，见表1。对于每日收益率，我们发现标准普尔500指数纳斯达克图表1992-2012 2002-2012 1992-2012 2002-20122 5 6 7 63 14 22 20 204 4 4 4 4表1：图中使用的参数N的值。2比4。N=6很好地描述了数据，而对于月度回报，N=20左右的较大值是必要的。在所有情况下，等式（13）都很好地描述了数据。我们的近似值（8）对N的结果值有影响。为了研究它，我们重复上面讨论的程序，但不是使用经验协方差矩阵∑，而是评估选定时间范围的平均相关性，并用该平均值替换相关矩阵中的所有对角元素。对于均匀矩阵，我们发现N的值较小。在标准普尔500指数和纳斯达克指数的情况下，N=4是很好的。由此产生的概率分布如图4所示。上图显示了标准普尔500指数1992年至2012年以及2002年至2012年的数据，下图显示了纳斯达克数据。