大损失-概率最小化方法

≥ pn>0<q≤ Q≤ Q≤ ... ≤ qn和γ应为固定常数。设A={ω，ω，…，ωk}，其中k是Q（ω，ω，…，ωk）≤γ和Q（ω，ω，…，ωk，ωk+1）>γ。然后P（~A）≥ P（A）对于任何满足Q（A）的集合A≤ γ.证据：让B Ohm st、 Q（B）≤ γ、 1）首先假设A∩ B=. 然后| B|≤ k，我们有P（√ω）≥ P（ω）对于每一个ω∈~A和ω∈ B.作为结果（~a）=Xω∈~AP（ω）≥Xω∈BP（ω）=P（B）。2）如果A∩ B 6= 然后由（1）~A\\{A∩ B} 是p（a）的解-→ maxQ（A）≤ γ -Q（{A∩ B} 所以P（~A\\{A）∩ B} )≥ P（B\\{A）∩ B} ）。因此，P（~a）≥ P（B）。由于P（ωk）在P>时随k增大，在P<时随k减小，因此应用该问题的唯一一点是说明测度Q的单调性。事实上，我们只对严格正的集合上Q的单调性感兴趣。让我们来表示ak:=\'Q（ωk）=（S（1+u）k（1+d）N-K-\'K）+p*k（1）- P*)N-k、 bk:=（S（1+u）k+1（1+d）N-K-1.-\'K）+（S（1+u）K（1+d）N-K-\'-K）+，q:=1+u1+d，其中序列BK根据约定A=∞ 暂时≥ 0.那么Q（ωk）就是增加ifak+1ak≥ 每k=0，1，…，取1。。。，N-1.此条件等同于bk≥1.-P*P*对于每个k=0，1。。。，N- 1.但现在请注意，序列BKD正在减弱。我们可以计算出BK+1bk≤ 1.<==> （q）- 1)≥ 0.最后一个条件总是满足的。因此，Q（ωk）增加了ifbN-1=（S（1+u）N-\'K）+（S（1+u）N-1（1+d）-“（K）+≥1.- P*P*.请注意，本例包括以下情况：*≥.通过类似的论证，我们可以得到Q（ωk）减小的条件。这就是b\'k≤1.-P*P*, 式中，k是bk6=∞. 事实上，我们有BK≤1.-P*P*尽管如此，k≥“\'k什么意味着ak+1<ak代表k≥k.在总结上述考虑之前，让我们介绍以下符号ak:={ω∈ Ohm s、 t.向上跳跃的次数等于k}。对于包含所有元素ωk的集合。

下面的引理是引理5.1的结果。引理5.21）（P增加，\'Q减少）设\'k=min{k:bk6=∞}. 如果p≥b\'k≤1.-P*P*那么A=AN∪一-1.∪... ∪一-K∪BN-K-1，其中k是s.t.\'Q（AN∪一-1.∪...∪一-（k）≤ X和Q（安）∪一-1.∪...∪一-K-1） >X和布景-K-1包含集合中任意元素的最大数量-K-1如¨Q（BN-K-1) ≤ 十、-’Q（安）∪一-1.∪ ... ∪ 一-k） .2）如果P≤和（S（1+u）N-\'K）+（S（1+u）N-1（1+d）-“（K）+≥1.-P*P*（例如，当p*≥) 那么A=A∪ A.∪ ... ∪Ak∪Bk+1，其中k是s.t.\'Q（A∪A.∪... ∪（Ak）≤ X和Q（A）∪A.∪... ∪Ak+1）>X且集合Bk+1包含集合Ak+1中任意元素的最大数量，如¨Q（Bk+1）≤ 十、-问题（A）∪ A.∪ ... ∪ Ak）。作为引理5.2的一个应用，我们研究了在参数为S=1000，u=0，1，d=-0,2,p=。期权0时的价格为u=EQ[（S- 600)+] = 398. 假设我们只有x=150，α=5是由u（x）测量的可接受损失水平=√x、 我们用ωabc表示，其中，b，c∈ {u，d}将a，b，c解释为价格过程历史的基本事件。例如，ωuDume表示价格过程在第一和第三阶段上升，在第二阶段下降的事件。由于我们无法对冲原始或有索赔-600+：H（ωuuu）=731，H（ωuud）=H（ωudu）=H（ωduu）=368，H（ωudd）=H（ωdud）=H（ωddu）=104，H（ωddd）=0，我们必须对冲H=1A（S）- 625)+. 因为p=和p*=, 我们可以用引理5.2（2）来构造A。

下面我们给出了三个可能的正确候选者f或?=+·· 3 +·· 2=.6不完全市场让我们考虑等价鞅测度不成立的情况。这意味着市场是不完整的，并非所有或有权益都可以复制。我们保留了上一节的所有假设。回想财富过程Xx，π是一个关于每个鞅测度Q的超鞅∈ Q.在这种情况下，描述最优策略的定理d的形式是：定理6.1假设存在一个集合A，它是问题的解：P（A）-→ maxsupQ∈QEQ[1A（H- U-1(α))+] ≤ x、 然后是对未定权益1A（H）进行套期保值的策略- U-1（α））+是最佳的。证明：让我们考虑一个任意容许策略（x，π），其中x≤ x、 我们将展示p（u（H-Xx，πT）+≤ α) ≤ P（~A）。注意，对于任何a，b，c≥ 我们有-b）+≤ C<==> B≥ （a）-c） +因此u（（H-Xx，πT）+）≤α <==> Xx，πT≥ （H）- U-1(α))+. 作为任何问题的后果∈ Q我们得到了eq[1{u（（H-Xx，πT）+）≤α} （H）- Xx，πT）+]≤ 式[1{u（H-Xx，πT）+）≤α} Xx，πT]≤ 等式[Xx，πT]≤ 十、≤ x、 其中，最后一个不等式来自Xx，π是Q上鞅这一事实。在我们掌握的所有大风测量中进行测量∈QEQ[1{u（H-Xx，πT）+）≤α} （H）- U-1(α))+] ≤ x、 从集合A的定义我们得到了P（u（H- Xx，πT）+≤ α) ≤ P（~A）。现在，让我们考虑一下对冲1~A（H）的策略（~x，~π）- U-1(α))+. 我们有{u（H- X~X，~πT）+≤ α} ={XX，~πT≥ （H）- U-1(α))+}  {X}X，πT≥ 1~A（H）- U-1(α))+} ~a和so P（u（H）- X~X，~πT）+≤ α) ≥ P（~A）。由此可知（~x，~π）是最优的，而且我们有p（u（H）-X~X，~πT）+≤ α） =P（~A）。需要研究的主要问题是集合A的存在性。

我们不能够证明a的一般存在性结果，但我们将展示一个三项式模型的例子，在这里可以显式地找到它。例如——三项式模型让我们考虑一个一步模型，其中股票价格由S=S（1+ξ）给出，其中P（ξ=a）=P，P（ξ=b）=P，P（ξ=c）=pa>b>c，P，P，P>0，P+P+P=1，利率等于0。这里S是初始价格，Sis是时间1的价格。为了得到无套利模型，我们假设a>0，c<0。未定权益由H=（H，H，H）=（H（ω），H（ω），H（ω））表示。首先，让我们研究所有m artin gale测度集Q的结构∈ Q是一个三元组Q=（Q，Q，Q），这是系统的一个解qS（1+a）+qS（1+b）+qS（1+c）=Sq+q+q=1q，q，q>0。通过直接计算，我们得到这样的三重态可以用q参数化。精确地说，每个鞅测度的形式是：q=q、 c- ab-cq+cc- b、 a- bb- cq+bb- C, q在哪里∈ （q，\'q）：=0∨bb- a、 抄送- A..这意味着每个Q∈ Q可以用Q=αQ+（1）来表示- α） Q，α在哪里∈ （0，1）和Q=q、 c- ab-cq+cc- b、 a- bb- cq+bb- C,Q=“q，c- ab-c\'q+cc- b、 a- bb- c\'q+bb- C.因此，Q是一个有两个顶点的凸集。现在请注意，对于任何a∈ 如果我们有SUPQ∈QEQ[1A（H- U-1(α))+] ≤ xif和仅ifEQ[1A（H- U-1(α))+] ≤ X和等式[1A（H-U-1(α))+] ≤ x、 因此，A的约束被简化为两个顶点度量。因此，我们正在寻找一个集a，它是问题P（a）的解决方案-→ 最大值（等式[1A（H- U-1（α））+]Q（A）≤ xEQ[1A（H- U-1（α））+]Q（A）≤ x、 现在让我们对b>0的情况进行具体计算。然后Q=（0，cc）-b、 bb-c） ，Q=（抄送）-a、 0，aa-c） 。设H:=（H）-U-1（α））+，\'Hi:=（Hi-U-1(α))+.

我们的问题的形式是：ω（A）p+1ω（A）p+1ω（A）p-→ 最大ω（A）cc- b′H+1ω（A）bb- c\'H≤ xω（A）cc- a′H+1ω（a）aa- c\'H≤ 由于我们没有一个通用的求解方法，我们将根据a，b，c，H，u，α来检查所有的可能性。我们将用L:=cc表示-b\'H+bb-c’由L手牵制：=cc-a\'H+aa-c’H.我们对集合A.1有以下描述。如果我≤ X和L≤ xthen＠A={ω，ω，ω}。如果min{cc-b\'H，bb-c\'H}>xor min{cc-啊，aa-c\'H}>xthen\'A=.3.如果我≤ X和L>X和最小{cc-啊，aa-c\'H}≤ 当（a）max{cc-啊，aa-c\'H}>X和ifi。复写的副本-a\'H≥aa-c\'Hthen\'A={ω，ω}，ii。复写的副本-a\'H<aa-c\'Hthen\'A={ω，ω}（b）max{cc-啊，aa-c\'H}≤ X和ifi。P≥ pthenA={ω，ω}，ii。p<pthenA={ω，ω}，4。如果L>X和L≤ x和min{cc-b\'H，bb-c\'H}≤ 当（a）max{cc-b\'H，bb-c\'H}>X和ifi。复写的副本-b\'H≥bb-c\'Hthen\'A={ω，ω}，ii。复写的副本-b\'H<bb-c\'Hthen\'A={ω，ω}（b）max{cc-b\'H，bb-c\'H}≤ X和ifi。P≥ pthenA={ω，ω}，ii。p<pthenA={ω，ω}，5。如果L>X和L>X和最小值{cc-b\'H，bb-c\'H}≤ x和min{cc-啊，aa-c\'H}≤ xthenif（a）max{cc-b\'H，bb-c\'H}>x和max{cc-啊，aa-c\'H}>X和ifi。复写的副本-b\'H≤bb-c\'Handcc-a\'H≤aa-c\'Hthen\'A={ω，ω}ii。复写的副本-b\'H≤bb-c\'Handcc-a\'H>aa-c\'Hthen\'A={ω}iii.cc-b\'H>bb-c\'Handcc-a\'H≤aa-c\'Hthen\'A={ω}iv.cc-b\'H>bb-c\'Handcc-a\'H>aa-c\'Hthen＠A={ω}（b）max{cc-b\'H，bb-c\'H}>x和max{cc-啊，aa-c\'H}≤ X和ifi。复写的副本-b\'H≤bb-c\'Hthen\'A={ω，ω}ii。复写的副本-b\'H>bb-c手ifA。P≥ p<p<p<p>A={ω}（c）max{cc-b\'H，bb-c\'H}≤ x和max{cc-啊，aa-c\'H}>X和ifi。复写的副本-a\'H≤aa-c\'Hthen\'A={ω，ω}ii。复写的副本-a\'H>aa-c手ifA。P≥ p<p<p<p>A={ω}（d）max{cc-b\'H，bb-c\'H}≤ x和max{cc-啊，aa-c\'H}≤ X和ifi。p+p≥ pthen＠A={ω，ω}ii。p+p<pthen▽A={ω}。参考文献[1]M.Baran，按比例交易成本市场上的量化套期保值，应用数学（2003），193-208，[2]J.Cvitani\'c，I.Karatzas关于风险、金融和随机的动态度量3（1999），451-482，[3]H.F¨ollmer，P。

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