大损失-概率最小化方法

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英文标题：
《Large losses - probability minimizing approach》
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作者：
Micha{\\l} Barski
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  The probability minimizing problem of large losses of portfolio in discrete and continuous time models is studied. This gives a generalization of quantile hedging presented in [3].
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中文摘要：
研究了离散和连续时间模型下投资组合大损失的概率最小化问题。这是[3]中提出的分位数套期保值的推广。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> Large_losses_-_probability_minimizing_approach.pdf (151.95 KB)

2022-5-10 14:55:37 上传

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关键词：Mathematical Quantitative Optimization mathematica Probability

大损失-概率最小化方法莱比锡大学数学和计算机科学学院、德国数学学院、波兰米查尔华沙枢机斯特凡·怀兹基大学。Barski@math.uni-莱比锡。deAugust 2，2021摘要研究了离散和连续时间模型中投资组合的大损失概率最小化问题。这是[3]中提出的分位数套期保值的推广。关键词：分位数对冲，短缺风险，交易成本，风险度量。AMS科目分类：60G42、91B28、91B24、91B30。GEL分类数：G11，G131 IntroductionLet（St）是过滤概率空间上的d维半鞅(Ohm, F、 （Ft），P）表示库存价格。我们用Q表示所有鞅测度的集合，这意味着Q∈ Q如果Q~ P和（St）是关于Q的鞅。设H为F可测随机变量，称为未定权益。众所周知，在这样的市场上，我们有两个价格：买方价格ub=infQ∈QEQ[H]和卖方价格us=supQ∈QEQ[H]，通常是不同的。一个自然的问题出现了：应该从所谓的无套利区间[ub，us]中选择什么价格？这个问题是在金融市场引入风险度量的动机。人们提出了各种方法来回答这个问题，例如[1]、[2]、[3]、[4]、[6]。在[3]中，F¨ollmer和Leucert研究了分位数对冲问题。他们定义了一个与策略（x，π）相关的随机变量φx，π：φx，π=1{Xx，πT≥H} +Xx，πTH{Xx，πT<H}，其中Xx，π是与策略π相关的投资组合的终值，从初始捐赠x开始。如果x≥ 我们在套期保值策略中，我们有E[~nx，π]=1，否则每π的E[~nx，π]<1。交易者的目标是从所有可容许的策略集中，使π上的[νx，π]最大化。

实际上，分位数套期保值的动机是一个稍有不同的问题，即p（Xx，πT）≥ H）-→ 最大π。只有在特定情况下，上述方法才能解决这个问题。现在假设投资者有一个损失函数u:[0，∞) -→ [0, ∞), u（0）=0，假设为连续且严格递增，他接受投资组合的小损失。这意味着他对s.t.u.（H-Xx，πT）+）≤ α、 α在哪里≥ 0是投资者确定的可接受损失水平。他希望避免超过α的损失。作为最优性，我们承认损失小的概率最大化。更准确地说，问题是isP[u（H- Xx，πT）+）≤ α] -→ maxπ，其中π是一个可接受的策略。注意，对于α=0，我们得到了分位数对冲的原始问题。论文的结构如下。在第二节中，我们精确地阐述了这个问题。结果表明，完全市场上的解决方案具有明确的经济含义。这是第3节。第4节和第5节提供了Black-Scholes模型和CRR模型的示例。对于B-S模型，显式解是存在的，而对于CRR模型，显式解是存在的，但对于某些特殊情况，可以找到解。第6节证明了不完全市场的结果，并用一步三项式模型给出。2问题公式我们考虑的是具有离散或连续时间和有限期限的金融市场。设St是一个描述股票价格在过滤概率空间上演化的d维半鞅(Ohm, F、 （英国《金融时报》，第页）。Xx，π是一个与一对（x，π）相连的财富过程，其中π是一个描述自我定价策略的可预测过程，x是一个初始捐赠。

因此，财富过程定义为：Xx，π=x，Xx，πt=πt·s。在离散时间模型dxx，πt=πtdSt，π∈ 连续时间模型的L（S）；L（S）是可积w.r.到S的可预测过程集。为简单起见，假设利率等于零，所有鞅测度的集合Q，因此测度Q是关于Q和Q的鞅~ P，不是空的。在所有的自我融资策略中，我们区分了满足两个附加条件的所有可接受策略集：Xx，πt≥ 对于所有t和Xx，π是关于每个Q的上鞅∈ Q.如果Xx，πt≥ 0那么第二个要求是自动满足的，因为S是一个连续半鞅，因为财富过程是一个从下面有界的Q-局部鞅，所以通过Fatou引理，它是一个超鞅。在离散时间Xx中，π是一个偶数鞅，参见[5]Th。2.假设H是一个非负的、可测量的随机变量，称为偶然目标，它满足条件H∈ L（Q）对于每个Q∈ Q.其在0时的价格由V=supQ给出∈QEQ[H]。这意味着存在一种策略π∈ A使得Xv，~πT≥ H.这种∧π被称为对冲策略。现在假设我们的初始资本为0≤ 问题是，什么是这种捐赠的最佳策略？作为一个最优性标准，我们将最大损失的概率最小化。让你[0，∞) -→ [0, ∞) 是一个严格递增的连续函数，使得u（0）=0。这种函数称为损失函数。让α≥ 0应达到可接受的损失水平。我们正在寻找一对（x，π），这样p[u（（H- Xx，πT）+）≤ α] -→ 最大π∈A、 x≤ x、 如果上述问题存在一个解（x，π），则称之为最优解。3完全模型let Q={Q}，因此鞅测度是唯一的。

回想一下，在这种情况下，每个非负EQ-可积或有权益X都可以复制。这意味着存在∧π，比如T=X，其中v=EQ[X]。总之，我们问题的解决方案有一个明确的经济解释。让我们从描述解的基本定理开始。定理3.1如果存在X∈ 这是一个问题的解p[u（（H- 十） +）≤ α] -→ maxEQ[X]≤ X的复制策略是最优的。证明：回想一下，对于（x，π），π∈ 财富过程Xx，π是一个关于Q.T的超鞅，我们有等式[Xx，πT]≤ 十、≤ x和P[u（（H- Xx，πT）+）≤ α] ≤ P[u（（H-√X）+）≤ α]. 这个定理的主要困难在于，我们没有一个关于X的存在性结果和任何可以用于实际应用的构造方法。然而，我们证明，通过考虑一类比L+更窄的随机变量，问题可以简化为一个更简单的问题，并且对于这类随机变量，在某些情况下，问题可以显式解决。这是考虑S类策略的一个想法，我们将在下面解释。引入稳定部队战略的经济动机（x，π），π∈ A考虑两个集合：A={ω∈ Ohm : u（（H）- Xx，πT）+）≤ α} 基于（x，π），让我们以下面的方式构建一个改进的策略（~x，π）。投资者的损失小于α。然而，从我们的观点来看，它可以尽可能大，但不能大于α。因此，让（~x，~π）在A上保持u（（H）- X~X，~πT）+=α。就Acinvestor而言，它无法对冲巨额损失，因此投资组合价值也可以等于0。这样的（~x，~π）我们将视为S类的策略。

这种修改的优点是什么？结果是∧π∈ A和下列不等式成立：P[u（（H- X~X，~πT）+）≤ α] =P[u（H- Xx，πT）+）≤ α] ，x≤ x、 这一事实促使我们只在班级的策略中寻找问题的解决方案。下面我们将以一种更精确的方式呈现这个想法。定义3.2随机变量X∈ 如果存在一个∈ F包含{u（H）≤α} 例如：1。在A上我们有（A）if u（H）≤ α那么X=0（b）如果u（H）>α那么u（H）- 十） =α2。在顶点上，我们有X=0。注意，在集合A上，如果H，X=0≤ U-1（α）和X=H-U-1（α）如果H>u-1(α). 我们有X=（H）- U-1(α))+. 因为在acx上X=0，我们得到X=1A（H- U-1(α))+.换句话说，X∈ 如果它的形式为X=1A（H- U-1（α））+对于某些A∈ F如此 {u（H）≤ α}.引理3.3每X∈ L+使得等式[X]≤ 这里存在一个随机变量Z∈ 假设EQ[Z]≤ 等式[X]和p[u（（H- 十） +）≤ α] =P[u（H- Z） +）≤ α].证明：让我们定义A:={ω：u（H- 十）+≤ α}. 那么Z:=1A（H）- U-1(α))+∈ S和wehaveP[u（H- Z） +）≤ α] =P[u（H- 1A（H）-U-1(α))+)+) ≤ α] =P[ω∈ A:u（（H）- （H）- U-1(α))+)+) ≤ α] +P[ω∈ Ac:u（H）≤ α] =P[ω∈ A.∩ {u（H）≤ α} ：u（H）≤ α] +P[ω∈ A.∩ {u（H）>α}:u（u）-1(α))) ≤ α] =P（A）。在集合上，Z=0≤ X.关于if u（H）≤ α然后Z=0≤ 如果u（H）>α，那么z=H-U-1(α) ≤ 因此我们有Z≤ X和EQ[Z]≤ 等式[X]。

备注3.4上述计算表明，对于任何X=1B（H- U-1(α))+∈ S holdsP（u（H）- 十）+≤ α） =P（B）。利用引理3.3和r emark 3.4，我们可以将定理3.1重新表述为以下形式。定理3.5如果存在集合A {u（H）≤ α} 这就是问题的解决方案：P（a）-→ 最大（3.5.1）等式[1A（H-U-1(α))+] ≤ x（3.5.2）然后是1~A（H）的复制策略- U-1（α））+是最佳的。证明：事实上，通过引理3.3，问题p[u（H- 十）+≤ α] -→ max，EQ[X]≤ x、 x∈ L+可以被p[u（H）取代- 十）+≤ α] -→ max，EQ[X]≤ x、 x∈ 然而，通过注释3.4，我们知道对于X=1A（H- U-1(α))+∈ 我们有- 十）+≤ α] =P（A），得到所需的配方。备注3.6让我们考虑3.5.1和3.5.2给出的定理3.5中的优化问题，但不要求 {u（H）≤ α}. 注意，如果P（u（H）≤ α） >0那么解A必须包含{u（H）≤ α}. 假设相反，定义A:=A∪ {u（H）≤α}. 然后，等式[1A（H- U-1（α））+]=EQ[1~A（H- U-1(α))+] ≤ X和P（~A）>P（~A）什么是冲突。这表明，要求A {u（H）≤ α} 在定理3.5中可以省略。在某些特殊情况下，可以用Neyman-Pearson引理来解决集合A的存在和构造问题。为此，让我们引入一个度量“Q”，它对于Q是绝对连续的：d“QdQ=（H- U-1（α））+EQ[（H- U-1(α))+].然后，设置A解决以下问题p（A）-→ 最大Q（A）≤xEQ[（H- U-1(α))+].为了使论文独立，我们提出了内曼-皮尔逊引理的一部分。让我们用两个概率度量来表示密度dpdp的存在。引理3.7如果存在常数β使得P{dPdP≥ β} =γ然后P{dPdP≥ β} ≥ 对于满足P（B）的任意集合B≤ γ.证明：设B是满足P（B）的集合≤ γ并表示∧B:={dpdpdp≥ β}.

然后我们有了p（~B）- P（B）=ZOhm（1~B）- 1B）dP=zdpp≥β（1~B）- 1B）dP+zdpp<β（1~B）- 1B）dP≥ZDPP≥β（1~B）-1B）β-dP-ZDDP<βBβdP=βZBdP-ZBdP= β(γ -P（B））≥ 0这个引理对Black-Scholes模型很有用，因为这里有条件\'Q{dPd\'Q≥ β} =xEQ[（H）-U-1（α））+]满足要求。但是，在离散Ohm 这种情况不再适用。这将在CRR模型的示例中显示。4 Black-Scholes模型我们遵循[3]中给出的示例。股票价格sti由dst=St（udt+σdWt），S=S给出，其中u和σ>0是常数，WT是标准布朗运动。对于该型号，ST=se（u-σ） t+σWt，唯一鞅测度Q由dqdp=e给出-σWT-此外，该过程*t=Wt+μσt是关于Q的布朗运动。注意，鞅测度的密度可以用ST表示，n amelydQdP=cS-σT，其中c是常数。我们研究了一个带K点的欧式看涨期权的风险最小化问题。回想一下，这个问题被归结为构造集＠a作为p（a）的解-→ 最大Q（A）≤xEQ[（ST- K- U-1（α））+]，其中测量值“Q”与上一节中的测量值相同：d“QdQ=（ST- K- U-1（α））+EQ[（ST- K- U-1(α))+].请注意，上面的上标“+”可以删除，因为对于任何a、b、c≥ 0持有（（a）-b）+- c） +=（a）- B- c） +。根据Neyman-Pearson引理，我们正在搜索该形式的集合：dPd\'Q≥ C=dPdQ≥ c（圣- K- U-1(α))+=SσT≥ c·c（圣- K- U-1(α))+,式中，c表示非负常数，使得等式[1A（ST- K- U-让我们考虑两种情况。1) u ≤ σ然后是函数x-→ xμσ是凹的，并且在0中有0，因此解由∧A={ST给出≤ c} ={W*T≤ c} ，这里是cand cs。t、 c=seσc-σ皮重常数满足3.0.3。

最佳策略是复制以下目标的策略：~a（ST- K- U-1（α））+=1{ST≤c} （圣- K- U-1（α））+=（ST- K- U-1(α))+- （圣- c）+- （c）-K- U-1（α））1{ST>c}，相应的概率是equalP（~A）=P（W）*T≤ c） =ΦC-σT√T.为了计算4.0.3中的常数C和C，我们使用欧式看涨期权定价公式。EQh（圣路易斯）-K- U-1(α))+- （圣- c）+- （c）- K- U-1（α））1{ST>c}i=sΦ（\'d+）- （K+u）-1（α））Φ（\'d-) - sΦ-c+σT√T+ cΦ-C√T-（c）- K- U-1（α）Q{W*T> c}=sΦ（\'d+）- （K+u）-1（α））Φ（\'d-) - sΦ-c+σT√T+ （K+u）-1(α))Φ-C√T= x、 其中“d+”=-σ√TlnK+u-1（α）s+σ√T和Φs代表theN（0，1）分布的分布函数。2） u>σ在这种情况下，函数x-→ xμσ是凸的，因此我们的解的形式是∧A={ST<c}∪ {ST>c}={W*T<c}∪ {W*T> c}式中，c<关心方程x的两个解|σ=\'c（x-K-U-1（α））+，其中“c”是常数s.t.4.0.3。常数c，由c=seσc表示-σT，c=seσc-σT.最优策略是一种复制以下未定权益的策略：- K- U-1（α））+=（ST-K- U-1(α))+- （圣- c）+- （c）- K- U-1（α））1{ST>c}+（ST- c） ++（c）-K- U-1（α））1{ST>c}，相应的概率是equalP（~A）=P（W）*T<c）+P（W）*T> c）=ΦC-σT√T+ Φ-C-σT√T.现在我们需要确定所有必要的常数。使用与前一种情况相同的方法，我们得到了eq[1~A（ST- K- U-1（α））+]=sΦ（\'d+）- （K+u）-1（α））Φ（\'d-)-sΦ-C√T+σ√T+ sΦ-C√T+σ√T+K+u-1(α)Φ-C√T- Φ-C√T= x（4.0.4）总结而言，常数由4.0.4确定，并且由以下事实确定：c，方程x的care解|||∑=c（x- K- U-1（α））+，其中“c”是一个正常数。5 CRR modelLet（Sn）n=0,1,2，。。。，Nbe股票价格由n+1=Sn（1+ρn），S=S给出，其中（ρn）是一系列独立的随机变量，使得p:=p（ρn=u）=1-P（ρn=d），其中u>d，u>0，d<0。

这意味着在任何时候，价格过程Sn都可以增加到Sn（1+u）或减少到Sn（1+d）。我们假设p∈ (0, 1). 众所周知，该模型的唯一鞅测度由p给出*:=-杜-d、 让我们研究具有罢工K的看涨期权的风险最小化问题-\'K）+：=（SN）- K- U-1（α））+并考虑两个度量：目标一PP（ωk）=pk（1）- p） N-k由Q（ωk）给出的度量值Q（不一定是概率度量）：=（S（1+u）k（1+d）N-K-\'K）+p*k（1）- P*)N-k、 这里ωk表示一个基本事件，其跳数u pwards等于k。我们的目标是找到集合A，其解为：P（A）-→ 最大Q（A）≤ x、 对于CRR模型，需求集的存在是明确的，因为Ohm 现在是最后一天。然而，我们想明确地找到它。不幸的是，测度P和Q的内曼-皮尔逊引理不能在这里应用，因为Ohm 是离散的，条件为dPdQ≥ a（H）- U-1(α))+=xE[（H- U-1（α））+]对于一些a>0的人来说，很少有人满意。构建a的第一种方法似乎很自然，就是找到一个常数a，使a=inf答：“QndPdQ”≥ a（H）- U-1（α））+o≤xEQ[（H- U-1(α))+].然后期待“A”=dPdQ≥ \'a（H- U-1(α))+这是一个解决方案。不幸的是，这不是一个正确的结构，如下面的例子所示。例Ohm = {ω，ω，ω}和P和Q是由P=，P=，P=和Q=，Q=，Q=给出的两个度量。我们想在条件Q（A）下最大化P（A）≤ x=。我们有pq=，pq=，pq=并且上面的构造给出了∧A={ω}。然而q（{ω，ω}）=和P（{ω，ω}）=>=P（ω）。下面我们给出了一个引理，当度量满足某些特定条件时，它提供了oa的构造。结果表明，看涨期权套期保值问题中的大量案例满足了这一条件。引理5.1 LetOhm = {ω，ω，…，ωn}和测度P和Q（非必要概率）满足以下条件：P≥ P≥ P≥ ...