关于保边界数值格式的构造

近似解y（t）如下所示，y（t）=x+Zt（a- apy（s）+（a）- a） y（s）+ay（s）- 是（s）年-1（^s）+σy（s）yρ-1（^s）ds+Zt2σy（s）yρ-1（^s）dws+Ztn+1天（s）- apy（s）dsSetv（t）=x+Zt（a）- apy（s）+（a）- a） y（s）+ay（s）- 是（s）年-1（^s）+σy（s）yρ-1（^s）ds+Zt2σy（s）yρ-1（^s）dws因此，E |y（t）- v（t）|p≤ C因此v（t）也有有界矩。差异y（t）- v（t）是一个愚蠢的人（t）-v（t）=Zta（py（s）-py（s））+（a- a） (s)- y（s））+a（s）- 年+年-1（^s）- yr+1（s）+σ（yρ（s）- y（s）yρ-1（^s））ds+Zt2σ（yρ+1（s）- y（s）yρ-1（^s）在（y（t）上应用伊藤公式- v（t）和设置g（t）=a（py（s）-py（s））+（a- a） (s)- y（s））+a（s）- 年+年-1（^s）- yr+1（s））+σ（yρ（s）- y（s）yρ-1（^s））我们得到（y（t）- v（t））=EZt2（y（t）- y（t））g（s）+2（y（t）- v（t））g（s）+4σ（yρ+1（s）- y（s）yρ-1（^s）d然后，很明显2e（y（t）- v（t））g（s）≤ C使用y，y的矩界。接下来我们将估计term2aE（y（t）- y（t））（py（s）-py（s））=2aE（y（t）- y（t））（py（s）-py（s））+2aE（y（t）- y（t））（py（s）-(s)≤ 2aE（y（t）- y（t））（py（s）-py（s））这里我们使用了h（x）=-√x是一个递减函数。利用Holder不等式和y，y，y有界矩的事实，我们得到（y（t）- y（t））（py（s）-(s)≤pE | y（t）- y（t）| pE | y（s）- y（s）|≤ CpE | y（s）- 因此，仍需对术语进行评估- y（s）|≤ E | y（| s）- y（s）|+E|y（s）- y（~s）|≤ E | y（| s）- y（s）|+E | y（| s）- y（^s）|+E（|y（^s）- y(s)|≤ C√现在我们将估算2e（y（t）- y（t））（a）- a） (s)- y（s））+a（s）- y（s））= 2aE（y（t）- y（t））+2aE（y（t）-y（t））（y（t）- y（t））≤ 行政长官（y（t）- y（t））+C√术语2e（y（t）- 年-1（^s）- yr+1（s））=2aE（y（t）- y（t））（年+1（s）- yr+1（s））+2aE（y（t）- y（t）y（s）（年）-1（^s）- 你-1（s））≤ C + 2aE（y（t）- y（t）y（s）（年）-1（^s）- 你-1（s））使用h（x）=- xr+1是一个递减函数。

But2aE（y（t）- y（t）y（s）（年）-1（^s）- 你-1（s））=2aE（y（t）- y（t））年+1（^s）- 年+1（s）+ 2aE（y（t）- y（t））（y（s）- y（^s））年-1（^s）自Eyr以来-1（t）<∞ 我们可以使用中值定理得出以下估计，E（y（t）- 年-1（^s）- 年+1（s））≤ C√术语2e（y（t）- y（t））（yρ（t）- yρ（t））=2（ρ- 1） E（y（t）- y（t））hρ-1（t）利用中值定理，对于一些位于y（t），y（t）之间的h（t）。对于任何R>0,2（ρ- 1） E（y（t）- y（t））hρ-1（t）=2（ρ- 1） E（y（t）- y（t））hρ-1（t）I{hρ-1（t）>R}+2（ρ- 1） E（y（t）- y（t））hρ-1（t）I{hρ-1（t）≤R}≤ CRE | y（t）- y（t）|+2（ρ）- 1） E（y（t）- y（t））hρ-1（t）I{hρ-1（t）>R}利用霍尔德的线质量，我们推导出e（y（t）- y（t））hρ-1（t）I{hρ-1（t）>R}≤pE（y（t）- y（t））h2ρ-2（t）qEI{hρ-1（t）>R}利用y，y，h和马尔可夫不等式的模界，我们得到以下估计，2E（y（t）- y（t））（yρ（t）- yρ（t））≤ CRE | y（t）- y（t）|+cr4项同样适用于4σE（yρ+1（s）- y（s）yρ-1（^s））因此我们得出结论E（y（t）- v（t））≤铬+碳√ + 中兴通讯(东)- v（s））dS，并利用Gronwall不等式得出期望的结果。现在很容易看出e | y（t）- y（t）|≤ CE | y（t）- v（t）|+CE | y（t）- v（t）|→ 0作为 → 如果r+1>2ρ，我们就有了这个lim→0E | py（t）-py（t）|=0证明。

利用Holder不等式和E | py（t）近似的非负性-py（t）|=E | y（t）- y（t）|（py（t）+py（t））≤pE | y（t）- y（t）| sE | y（t）+y（t）| Ey（t）从[19]中回顾，真解的反矩是有界的，我们总结了我们的证明。在实践中，我们将用一个稍微不同的近似值来近似等式（8），即y（t）=y（tn+1）+a +中兴通讯(s)σyρ-1（^s）- 艾尔-1（^s）ds+Zttn2σy（s）yρ-1（^s）转换后的Ait Sahalia mo de l的数值格式为followsy=x，yn+1=A. +aa+(√伊恩-aa）eaE-（σyρ）-1n+ayr-1n）+2σyρ-1nAit Sahalia模型的近似值为xn=√伊恩。5总结与评论在本文中，我们将s emi discr-ete方法与分步法相结合，对其进行了扩展。一般来说，我们可以将随机微分方程拆分为m方程（通过拆分漂移项），然后在每个方程中应用任何近似方法。

这种新技术的目的是使得到的数值格式具有边界保留性。例如，考虑以下Ait Sahalia类型模型，xt=x+Ztaxs- A.- B√xs- bxs- bln（1+xs）+axs- 阿克斯ds+Ztσxρsdws。利用变换yt=XT，我们得到了yt的下列微分方程，yt=y+ZtA.- A.√Y- 比斯- 比斯- B√ysln（1+ys）+ays- ayr+1s+σyρsds+Zt2σyρ+1sdw我们提出了以下狭缝步骤，并结合半离散技术数值格式，用于t∈ （tn，tn+1]y（0）=x，y（t）=y（tn）- bZttnpy（s）ln（1+y（tn））ds，y（t）=y（tn+1）- bZttny（s）y（tn）ds，y（t）=y（tn+1）- bZttny（s）ds，y（t）=y（tn+1）+ZTTNY（s）- apy（s）ds，y（t）=y（tn+1）+a +中兴通讯(s)- 艾尔-1（tn）+σyρ-1（tn）ds+Zttn2σyρ-1（tn）y（s）dws这些决议是=py（tn）-bln（1+y（tn））（t- tn）,y（t）=y（tn+1）e-按（tn）（t）-tn），y（t）=py（总氮+1）- 英国电信- tn,y（t）=aa+（py（tn）-aa）ea（t-tn）,y（t）=（y（tn+1）+a)E-（σyρ）-1（tn）+ayr-1（tn））+2σyρ-1（tn）这种分裂半离散技术的使用产生了一种保正的显式数值格式。另一个明显的推广是，我们也可以对时间变量进行半离散化。例如，我们可以假设如下假设，假设C假设函数fifor i=1。。。，m满足以下局部lipschitz条件，|fi（t，t，x，x，x）- fi（t，t，x，x）|≤ CR（| t- t | b+| x- x |+| x- x |+| x- x |），i=2。。。，m | fm+1（t，t，x，x）- fm+1（t，t，x，x）|≤ CR（| t- t | b+| x- x |+| x- x |+| x- 代表|x |，|x |，|x |，|x |，|x |≤ R、 为了t，t∈ [0，T]，对于一些∈ 对于某些b，b>0。通过这种推广，我们可以处理参数随时间变化的问题（见[3]）。也有可能拆分分歧术语。例如，如果a+…+am=a和B+。。。

+bl=b，然后是t∈ （tn，tn+1），ym（0）=x，y（t）=ym（tn）+Zttna（s，y（s））ds，。。。yi（t）=yi-1（tn+1）+Zttnai（s，yi（s））ds+Zttnb（s，yi（s））dws，。。。yj（t）=yj-1（tn+1）+Zttnaj（s，yj（s））ds，。。。ym（t）=ym（tn+1）+Zttnam（s，y（s））ds+zttnl（s，ym（s））dwswwhere i，j∈ {1，…，m}。一般的想法是，如果我们想用域D中的值构造一个数值格式，那么我们可以相应地拆分，比如y∈ D、 只要初始值（fory）是D，y∈ d无论初始值是否以绝对ym为单位∈ 当Ym的初始值为Dm时-1.为了近似上述任何没有扩散项的方程，我们可以使用任何合适的数值格式和任何半离散近似。对于第一个随机微分方程（在我们的设置中是i-方程）也是如此，但要近似任何其他随机微分方程（即带有一个微分项），我们应该完全离散相应的DE，即我们不能使用半离散方法。如果我们想要产生一个边界保留的数值格式，那么这些SDE（我们应该完全分解）可以用平衡Dmilstein方法近似（见[14]、[15]、[16]和[2]）。一个有趣的问题（我们在本文中没有回答）是半离散方法产生的显式数值格式的收敛速度。在[11]、[12]、[13]中，作者研究了各种数值格式的收敛速度，似乎这些技术也适用于半离散格式。参考文献[1]Y.Ait Sahalia，即期利率的连续时间模型测试，修订版。财务部。螺柱。9（2）385-426，（1996）[2]C.E.Dange r field-D.Kay-S.MacNamara-K。

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