关于保边界数值格式的构造

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英文标题：
《On construction of boundary preserving numerical schemes》
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作者：
Nikolaos Halidias
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  Our aim in this note is to extend the semi discrete technique by combine it with the split step method. We apply our new method to the Ait-Sahalia model and propose an explicit and positivity preserving numerical scheme.
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中文摘要：
我们在本文中的目的是通过将半离散技术与分步法相结合来扩展它。我们将我们的新方法应用于Ait-Sahalia模型，并提出了一个显式且保持正性的数值格式。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Numerical Analysis        数值分析
分类描述：Numerical algorithms for problems in analysis and algebra, scientific computation
分析和代数问题的数值算法，科学计算
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> On_construction_of_boundary_preserving_numerical_schemes.pdf (160.57 KB)

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关键词：Construction Applications Quantitative Computation mathematics

关于保边界数值模式的构造Nikolaos Halidias Ageankarlovassi大学数学系83200 Samos，Greeceemail：nikoshalidias@hotmail.comMarch2018年7月27日摘要我们在本说明中的目的是通过将半离散技术与分步法相结合来扩展该技术。我们将我们的新方法应用于Ait-Sahalia模型，并提出了一个显式的保正数值格式。Ex-plic it数值格式；Ait-Sahalia模型；边界保持。2010年数学学科分类60H10，60H351简介在本文中，我们描述了一种通过结合分步法（参见示例[17]）和半离散法（参见[3]，[4]，[5]）来构造数值格式的技术。使用半离散方法，我们为金融中出现的各种随机微分方程构造了显式和正性数值格式（见[6]、[7]、[8]、[9]、[10]）。使用所提出的技术（分步和半离散），我们能够处理更多需要构造显式和保边界数值格式的情况。我们的出发点是论文[19]（另见[18]），其中作者提出了一个隐式数值模式来近似Ait-Sahalia模型（见[1]），如下，xt=x+Ztaxs- a+axs- 阿克斯ds+Ztσxρsdwsx与x∈ R+。我们假设所有系数都是非负的，并且r+1>2ρ。利用这种新方法，我们描述和分析了一种新的显式和正性保留的Ait-Sahalia模型的数值模式，该模型出现在金融领域。据我们所知，这是该模型的第一个明确主题，然而，这并不意味着从计算的角度来看，它比隐含主题更清晰（[19]，[18]）。

为了比较它们，我们必须进行扩展的数值实验。2.漂移分裂(Ohm, F、 P，Ft）是一个过滤比为n的完全概率空间，并设维纳过程（Wt）t≥0定义在这个空间。考虑以下随机微分方程，xt=x+Zta（s，xs）ds+Ztb（s，xs）dWs，（1）其中a，b:R+×R→ R是可测函数，xsuch是F-可测且平方可积的。设0=t<t<…<tn=T并设置 =Tn.一般来说，可以将上述sde拆分为方程式。例如，如果a（t，x）=a（t，x）+…+am（t，x）那么我们可以有如下的拆分ym（0）=xy（t）=ym（tn）+Zttna（s，y（s））ds，t∈ （tn，tn+1）……ym-1（t）=ym-2（tn+1）+Zttnam-1（s，ym）-1（s）ds，t∈ （tn，tn+1]ym（t）=ym-1（tn+1）+Zttnam（s，ym（s））ds+Zttnb（s，ym（s））dws，t∈ （tn，tn+1），并通过半离散格式（或另一种收敛格式）近似上述方程。然后，我们可以为t写作∈ （tn，tn+1]和ym（0）=xym（t）=ym（tn）+Ztn+1tn（a（s，y（s））+…+是-1（s，ym）-1（s）ds+Zttnam（s，ym（s））ds+Zttnb（s，ym（s））dwsorym（t）=x+Ztn+1（a（s，y（s））+…+是-1（s，ym）-1（s））ds+Ztam（s，ym（s））ds+Ztb（s，ym（s））dwsWe应表示为^t=tnt，当t∈ [tn，tn+1]和t=tn+1，当t∈ [tn，tn+1].3用半离散方法逼近假设有函数f（t，x，y，z），。。。，fm（t，x，y，z），fm+1（t，x，y），使得fi（t，x，x，x）=ai（t，x）对于i=1。。。，m和fm+1（t，x，x）=b（t，x）。我们的数值格式取决于F的选择，因此我们应该对它们施加条件。

对于固定的a（t，x），b（t，x），人们可以选择不同的fi，这样相应的数值格式就不会收敛。用ym（t）表示aga，我们写下，对于t∈ （tn，tn+1]ym（0）=x，y（t）=ym（tn）+Zttnf（s，ym（tn）），y（t），y（s））ds，y（t）=y（tn+1）+Zttnf（s，ym（tn），y（t），y（s））ds，。。。嗯-1（t）=ym-2（tn+1）+Zttnfm-1（s，ym（tn），ym-1（t），ym-1（s）ds，ym（t）=ym-1（tn+1）+Zttnfm（s，ym（tn），ym（s））ds+Zttnb（s，ym（tn），ym（s））dws，很明显，我们应该以这样一种方式选择fi，即上述所有方程都有一个强解。然后，我们构造了一个近似格式，它是ym（t）的，在不适条件下，我们将证明它强收敛于问题（1）的唯一强解。如果上面的一些方程有不止一个解，那么我们至少构造了两个近似格式，并选择了具有所需性质的数值格式，例如正性保留。我们可以用更简洁的形式来写，比如t∈ （tn，tn+1]，ym（t）=ym（tn）+Ztn+1tnf（s，y（s），y（t），ym（tn））+…+调频-1（s，ym）-1（s），ym-1（t），ym（tn））ds+Zttnfm（s，ym（s），ym（tn））ds+Zttnfm+1（s，ym（s），ym（tn））dws，t∈ （tn，tn+1]，（2）带有ym（0）=x和alsoym（t）=x+Ztn+1f（s，y（s），y（t），ym（^s））+…+调频-1（s，ym（s），ym-1（t），ym（^s））ds+Ztfm（s，ym（s），ym（^s））ds+Ztfm+1（s，ym（s），ym（^s））dws，t∈ （tn，tn+1）（3）此外，对于i=1。。。，M- 1和t∈ （tn，tn+1]yi（t）=yi（tn）+Ztn+1tnf（s，y（s），y（t），ym（^s））+…+菲-1（s，易-1（s），易-1（t），ym（^s））ds+ZTNTNT-1.fi+1（s，yi+1（s），yi+1（t），ym（^s））+…+fm（s，ym（s），ym（t），ym（^s））ds+Zttnfi（s，yi（s），yi（t），ym（^s））ds+zttnn-1fm+1（s，ym（s），ym（^s））dws，（4）ym（t）=yi（tn+1）+Ztn+1tnfi（s，yi（s），yi（t），ym（^s））+。。。

+调频-1（s，ym）-1（s），ym-假设问题（1）有一个唯一的强解，并且对于每一个p>0，E（|y（t）| p+|y（t）|p+|y（t）|p+|y（t）| p+ym（t）+|x（t）|p）<∞假设B假设函数fifor i=1。。。，m满足以下局部Lipschitz条件n，|fi（t，x，x，x）- fi（t，x，x，x）|≤ CR（|x）- x |+| x- x |+| x- x |），i=2。。。，m | fm+1（t，x，x）- fm+1（t，x，x）|≤ CR（|x）- x |+| x- x |+| x- 代表|x |，|x |，|x |，|x |，|x |≤ R、 对一些人来说∈ 定理1在假设A和B下，我们得到了E | ym（t）- x（t）|≤ 铬 +p+1δAp+（p- 2） 2Apδp-2Rp+eq-1+CRqeq其中eq=e-q（q+1）/2每q∈ N.因此，对于每一个ε>0，我们可以先确定足够大的q，然后确定足够小的δ和足够大的R，最后确定足够小的 我们得到了E | ym（t）-x（t）|≤ ε.证据集合ρR=inf{t∈ [0，T]：|x（T）|≥ R} ，τiR=inf{t∈ [0，T]：|yi（T）|≥ R} 对于i=1。。。，m、 设θR=min{τiR，ρR}。我们可以证明P（τir）≤ T或ρR≤ （T）≤2ARp。

利用杨氏不等式，我们得到，对于任何δ>0，Esup0≤T≤T | ym（T）- x（t）|≤ Esup0≤T≤T | ym（T∧ θR）- x（t）∧ θR）|+p+1δAp+（p- 2） 2Apδp-2Rp。差异x（t）- ym（t）如下，x（t）- ym（t）=ZtmXi=1金融机构（s，x（s），x（s），x（s））- fi（s，yi（s），yi（t），ym（^s））ds+Ztfm+1s、 x（s），x（s））- fm+1（s，ym（s），ym（^s））dws+Ztn+1tm-1Xi=1金融机构（s，x（s），x（s），x（s））- fi（s，yi（s），yi（t），ym（^s）我们将估算| x（t∧ θR）- ym（t）∧ θR）|如下，使用假设BE | x（t∧ θR）- ym（t）∧ θR）|≤ 铬+ CRZt∧θRmXi=1E|十(s)- ym（s）|+|ym（s）- yi（~s）|+|ym（s）-ym（^s）|+|yi（~s）- 易（s）|+|x（s）- ym（s）| 2a≤ 铬√ + CRZt∧θR（E | x（s）- ym（s）|+E|x（s）- ym（s）|）ds（6）术语CR来自ZTN+1tm的估算-1Xi=1金融机构（s，x（s），x（s），x（s））- fi（s，yi（s），yi（t），ym（^s）为了得到上面的（6），我们使用了以下公式，对于i=1。。。，m+1 | x（s）- 易(s)≤ |十(s)- ym（s）|+|ym（s）- 易(s)|≤ |十(s)- ym（s）|+| ym（s）- yi（~s）|+|yi（~s）- 易（s）|结合（4）和（5）。此外，我们已经将其用于2a≥ 1它认为E | x（s）- 易| 2a=E | x（s）- 易| | x |- 易| 2a-1.≤ CRE | x（s）- 易（s）|从（4）和（5）我们有，因为∈ （tn，tn+1]和i=1，…，m，E | yi（s）∧ θR）- 易（田纳西州）∧ θR）|≤ 铬,E | ym（s）∧ θR）- 易（tn+1）∧ θR）|≤ 铬,易建联（tn+1）∧ θR）- 易（s）∧ θR）|≤ 铬所有这些估计都是有用的。我们应该估算以下数量（并将此估算替换为（6）），E|x（s）- ym（s）|让非递增序列{eq}q∈nw的eq=e-q（q+1）/2和e=1。我们引入了|x |，φq（x）=Z |x | dyZyψq（u）du的光滑逼近序列，其中连续函数ψq（u）的存在性为0≤ ψq（u）≤ 2/（qu）和（eq，eq）中的支持-1） 是byReq说的-1eq（du/u）=q。

以下关系适用于φq∈ φq（0）=0，|x |- 情商-1.≤ φq（x）≤ |x |，|φ′q（x）|≤ 1，x∈ R、 |φ′q（x）|≤q | x |，当eq<|x |<eq-1和|φ′q（x）|=0，否则。Ito公式在φq（x（t）上的应用- ym（t））代表t∈ [0，t∧ θR]我们得到φq（x（t）- ym（t）|≤ 铬 +铬qeq+CRZtEφ′q（x（t）- ym（t））|x（s）- ym（s）| ds+CRZtE | x（s）- ym（s）| d此处| x（t）- ym（t）|≤ 情商-1+CR +铬qeq+CRZtE | x（s）- ym（s）| Ds应用Gronwall不等式，代入（6），然后再次代入Gronwall不等式，我们得到了期望的d结果。例如，下面的随机微分方程xt=x+Ztk（l- xs）- dxsds+σZt√XSDWS对于本次sde，我们建议对t进行以下拆分：∈ （tn，tn+1]y（0）=x，y（t）=y（tn）+Zttn-肯塔基州（s）- dy（s）ds，y（t）=y（tn+1）+Zttnklds+σZttnpy（s）dw第一个方程可以近似如下，再次用y（t）表示近似值y（t）=y（tn）+Zttn-肯塔基州（s）- dy（s）y（^s）dss，每当y（tn）>0时产生正解。第二个方程可以按照[4]的精神进行近似。4应用于Ait-Sahalia模型在上一节中，我们描述了一种通过结合分裂技术和半离散方法来构造数值格式的新技术。当数值格式满足一些经典假设时，我们证明了一个收敛性结果。下面我们将使用这种技术为Ait-Sahalia模型构造一个显式的、保持正性的数值格式，该模型如下，xt=x+Ztaxs- a+axs- 阿克斯ds+Ztσxρsdwsx与x∈ R+。通过使用伊藤公式，我们得到y（t）=y（0）+ZtA.- apy（s）+ay（s）- ayr+1（s）+σyρ（s）ds+Zt2σyρ+1（s）dwsWe假设r+1>2ρ。

然后，我们将a和s分开，引入一个自由参数a>0，y（0）=xy（t）=y（tn）+Zttn是(s)- 亚太区（s）ds，（7）y（t）=y（tn+1）+Zttna+（a）- a） y(s)-ayr+1（s）+σyρ（s）ds+Zttn2σyρ+1（s）dws（8）很容易验证方程（7）在每个区间中至少有一个解，其中一个是下面的（t）=aa+（py（tn）-aa）ea（t-tn）无论何时y（tn）都是正的且处于良好姿势≥ 我们可以使用半离散方法来近似方程（8），即y（t）=y（tn+1）+Zttna+y（s）A.- a+σyρ-1（^s）- 艾尔-1（^s）ds+Zttn2σy（s）yρ-当y（tn+1）时，1（^s）dws具有正且已知强解≥ 我们再次用y（t）表示（8）的近似值。稍后我们将使用以下形式的y，y，表示t∈ （tn，tn+1），y（t）=y（tn）+ztntntn-1a+y（s）A.- a+σyρ-1（^s）- 艾尔-1（^s）ds+ZTNTNT-12σy（s）yρ-1（^s）dws+Zttnay（s）- 亚太区（s）ds，y（t）=y（tn）+Zttn是(s)- apy（s）+a+y（s）A.- a+σyρ-1（^s）- 艾尔-1（^s）ds+Zttn2σy（s）yρ-1（^s）dws+Ztn+1天（s）- apy（s）ds1如果r+1>2ρ，那么我们有以下力矩界，对于 < 1如果a=ln，E（|y（t）|p+|y（t）|p）<∞证据设τR=inf{t∈ [0，T]：|y（T）|>R}。

注意y（t∧ τR）对所有ω也是一致有界的∈ Ohm.我们可以写∧ τR）=y（0）+Zt∧τR（a）- apy（s）+ay（s）+y（s）A.- a+σyρ-1（^s）- 艾尔-1（^s）ds+Zt∧τR2σy（s）yρ-1（^s）dws+Ztn+1∧τRt∧τ射线- apy(s)双丁(t)∧ τR）≤ y（0）+Zt∧τR（a+ay（s）+y（s）a+σyρ-1（^s）- 艾尔-1（^s）ds+Zt∧τR2σy（s）yρ-1（^s）dws+Ztn+1∧τRtn∧τ射线（s）dsLet us估计值ztn+1∧τRtn∧τ射线ds=aZtn+1∧τRtn∧τRaa+（py（tn）-aa）ea（t-tn）ds=aZtn+1∧τRtn∧τRaa+（py（tn）-aa）ea（t-tn）+2aa（py（tn）-aa）ea（t-tn）≤ C+Ztn+1∧τRtn∧τRa（py（tn）-aa）ea（t-tn）+2aaa+a（py（tn）-aa）ea（t-tn）ds=C+Ztn+1∧τRtn∧τRa（py（tn）-aa）ea（t-tn）≤ C+3a2EAA+Ztn+1∧τRtn∧τ射线（tn）ea（t）-tn）ds≤ C+y（总氮）∧ τR）（ea）- 1） 因此（t∧ τR）≤ C+y（总氮）∧ τR）（ea）- 1） +Zt∧τR（a+ay（s）+y（s）a+σyρ-1（^s）- 艾尔-1（^s）ds+Zt∧τR2σy（s）yρ-1（^s）由v（s）注释∧ τR）以下Ito过程，v（s∧ τR）=C+y（tn∧τR）（ea）- 1） +Zt∧τR（a+ay（s）+y（s）a+σyρ-1（^s）- 艾尔-1（^s）ds+Zt∧τR2σy（s）yρ-我们看到了∧τR）≤ v（s）∧τR）。

我们将证明tv（s）有基础的pth矩，因此t也有基础的pth矩。伊藤公式在vp（t）上的应用∧ τR）我们得到了vp（t）∧ τR）=（C+y（tn∧ τR）（ea）- 1） ）p+Zt∧τRpvp-1.a+y（s）+y（s）a+σyρ-1（^s）- 艾尔-1（^s）ds+Zt∧τRp（p- 1） 4σy（s）vp-2（s）yρ-1（^s）ds+Zt∧τRp2σy（s）vp-1（s）yρ-1.我们的期望值∧ τR）≤ E（C+y）（总氮）∧ τR）（ea）- 1） ）p+Zt∧τR（C+CEvp（s）+paEy（s）vp-1（s）ds+Zt∧τRpEvp（s）a+σyρ-1（^s）- 艾尔-1（^s）+p（p- 1） 4σyρ-1（^s）我们假设r+1>2ρ，所以存在一些与ω无关的常数C， 这样a+σyρ-1（^s）- 艾尔-1（^s）+p（p- 1） 4σyρ-1（^s）≤ CWe现在将使用不等式（a+b）p来估计该项≤ 2p-1ap+2p-1bb，E（C+y）tn∧ τR）（ea）- 1） ）p≤ C+p（ea）- 1） 佩普（田纳西州）∧τR）此外，以下术语vp-1（s）=Eaa+（py（^s）-aa）ea（t-tn）副总裁-1(s)≤ C+C sup0≤L≤综合以上结果，我们得到了∧ τR）≤ C+p（ea）- 1） pEvp（田纳西州）∧ τR）+CZt∧τREvp（s）+sup0≤L≤sEvp（l）dsNext settingu（s）=sup0≤L≤我们可以写-p（ea）- 1） p）u（t）≤ C+Zt∧τRCu（s）dsn现在是相应地选择自由参数a so asp（ea）的时候了- 1） p<1选择a=Ln我们很容易看出上述不等式对e非常适用 < 1.很明显，如果我们使用较小的 然后我们可以选择更大的a，这样相应的常数就会更小。利用Gronwall不等式和Fatou引理，我们得到了结果。不幸的是，我们不能直接使用我们的定理1来得到期望的结果，因此我们将进行不同的讨论。定理2如果r+1>2ρthenE | y（t）- y（t）|≤ 铬 +对于任何R>0的情况，都是CRR。因此，对于每一个ε>0，我们将R乘以，使得cr<ε，然后对于较小的值我们有E | y（t）- y（t）|≤ ε证明。