分数积分广义自回归条件方程中的混沌

当连续嵌入维度中候选邻域之间的欧几里德距离之比超过rtol时，这些邻域被宣布为假邻域。图2:FIGARCH d=0.90.4相关维度的FNN嵌入维度结果相关维度是一种广泛使用和接受的分析复杂度的工具。Grassberger和Procaccia（1983）介绍了一种计算关联维数的有用方法，关联维数是根据给定集合中某个相空间中分形测度的收缩率来度量吸引子的。他们定义了相关和，其近似于具有分离距离小于给定大小的点对的概率εas，C（ε）=NNXi，jΘ（ε- kxi- xjk）（16）式中，Θ是Heaviside阶跃函数，Θ(ε - kxi- xjk=10≤ (ε - kxi- xjk）0（ε- kxi- xjk）<0（17）Figarch模型嵌入延迟嵌入维度Figarch d=0.05 2 6Figarch d=0.15 1 7Figarch d=0.25 2 6Figarch d=0.35 4 8Figarch d=0.45 6 6Figarch d=0.55 7 6Figarch d=0.65 8 6Figarch d=0.75 8 6Figarch d=0.80 6Figarch d=0.90表2:FNN嵌入维度的结果→ ∞, 对于ε的小值，C遵循幂律；C（ε）∝ εDC（18），其中DC是关联维数。因此，DCis定义为：；DC=limε→0limN→∞lnC（ε）ln（ε）（19）由于收敛缓慢，在lnC（ε）与ln（ε）的绘图中使用最小二乘法计算直线斜率，以估算本工作中的关联维数。针对嵌入延迟（从1到20）和嵌入维度（从1到20）计算每个Figarch d值模拟的关联维度（图3）。根据互信息估计确定的嵌入延迟值，相关维嵌入维结果如图4所示。关联维数值在它们中都不收敛。

所以，嵌入维度无法确定。然后，通过假设，对于不同的嵌入延迟值，相关维度值可能存在收敛，对于几个嵌入延迟值（1到20）和嵌入维度从1到20，计算相关维度值。同样，没有观察到明显的趋同。为了找出Figarch模拟的嵌入维度，对于相关维度和伪最近邻方法的应用，Kostelich和Swinney提出了图3：每个Figarch模型的嵌入延迟从1到20以及嵌入维度从1到20的相关维度结果。图4：根据每个FIGARCH模型的相互信息确定的嵌入延迟值得出的关联维结果。这两种方法适用于低维（3或更少）混沌吸引子。然而，对于高维吸引子，最近邻法的收敛性似乎更好。因此，考虑到高维吸引子，假设FNN结果有助于进一步分析。图5：通过查看每个FIGARCH模型的最收敛线，根据嵌入延迟值选择的关联维度结果。5李雅普诺夫指数李雅普诺夫指数是表征动力系统行为的参数。它给出了与附近初始条件的指数发散的平均速率。如果lyapunovonent为正，则表明系统是混沌的；如果为负，系统将收敛到周期状态；如果它为零，就会出现分歧。虽然有几个李雅普诺夫指数，但最大的李雅普诺夫指数是最常用于测试混沌行为的指数。

当吸引子是混沌的时，轨迹平均以指数速率发散，其特征是最大的李雅普诺夫指数。5.1沃尔夫算法1985年，沃尔夫等人提出了一种算法，该算法允许从时间序列数据中估计非负雅普诺夫指数。下面的等式以直接的方式提供了最大亚普诺夫指数的计算。∧max=MtevolvMXi=0lnL（i）evolvL（i）（20），其中Lis是初始点最近邻之间的欧几里德距离，tevolvis执行转移时间与嵌入延迟Levolvis final distance相同数量级，M是替换步骤的总数。在收集准确计算Lyapunov指数的两个基本输入、正确的嵌入延迟和嵌入维数后，在最后一步中，首先使用Wolf算法计算最大Lyapunov指数。如图6所示，最大Lyapunov指数在所有Figarch d值中收敛为正值，表明对初始条件的变化非常敏感，这是混沌行为的指示。然后，使用Kantz算法计算最大Lyapunov指数，如图6所示：FIGARCH d=0.90时的最大Lyapunov指数结果。将结果与Wolf的结果进行比较。5.2 Kantz的算法Kantz（1994）和Rosenstein（1993）分别提出了最大Lyapunov指数的一致性估计。为了计算最大Lyapunov指数，识别出比给定尺寸ε更接近参考点的所有邻域，并计算所有轨迹到参考轨迹的平均距离。S（t）=NNXi=1ln|Ohmi | NXj∈Ohmi | pi- pj|（21）Figarch模型嵌入延迟嵌入维数最大。

LE Wolf的算法FIGARCH d=0.05 2 6 9.1 FIGARCH d=0.15 1 7 2.27 FIGARCH d=0.25 2 11.85Figarch d=0.35 4 8 2.38 FIGARCH d=0.45 6 6 7.6 FIGARCH d=0.55 7 6 24.5 FIGARCH d=0.65 8 6 22.17 FIGARCH d=0.75 8 6 20.8 FIGARCH d=0.80 6 21.1 FIGARCH d=0.90 8 14.4表3：计算出的所有FIGARCH值的最大Lyapunov指数结果。piare在哪里嵌入向量和|Ohmi |是附近邻居的数量Ohm参考状态pi的iof。如果S（t）呈线性增加，则拟合线的斜率可作为最大指数的估计值。与Wolf的算法结果相反，使用Kantz算法的计算产生了所有Figarch d值的最大Lyapunov指数的负值，这与FIGARCHis是确定性混沌系统的说法相矛盾。5.3直接法通过构造维度映射最后，我们使用映射的动力学规则直接从方程中计算最大Lyapunov指数，而不是使用Wolf和Kantz算法计算的模拟数据。计算Figarch{x（i），y（i）}在i=1到5000时的相空间轨迹。沿轨迹计算每个点的局部李雅普诺夫指数，然后对所有局部李雅普诺夫指数进行平均。轨迹上的每一点及其相邻点可以写成：；{x（i），y（i）}→ {x（i+1），y（i+1）}（22）{x（i），y（i）}→ {x2t（i+1），y2t（i+1）}（23）图7:FIGARCH d=0.90的最大Lyapunov指数结果。局部Lyapunov指数为；LLE=p（x2t（i+1）- x（i+1））+（y2t（i+1）- y（i+1））p（x（i）- x（i））+（y（i）- 此外，使用{x2t（i+1），y2t（i+1）}作为下一次迭代的起点，会使{x（i），y（i）}轨迹在每次迭代中的分量增加。

所以，收缩{x2t（i+1）-x（i+1），y2t（i+1）-y（i+1）}by（d（i））（dt（i））将保持下一次迭代的起点与上一次迭代的轨迹一样接近。综上所述，本文的结果与Kantz算法通过传递负性Lyapunov指数值得出的结果相匹配，并表明FIGARCH模型不是确定性混沌的。Figarch模型嵌入延迟嵌入维数最大。LE Kantz的Alg。6.5.5.6.5.5.5.5.5.6.5.5.6.5.5.6.5.5.6.6.0.0.0.0.1.1405.5.5.5.5.5.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.5.5.5.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.1.1.1.1.0.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5 5 5 5 5 5.1.1.1.1.1.5 5 5 5 5 5 5 5 5.5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5.5 5.嗯。图8:FIGARCH d=0.80的最大Lyapunov指数结果。Figarch模特Max.LE Wolf的Alg。马克斯·勒·坎茨的Alg。2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.5.5.5.5.5-5.5-5.5-5.5-5.5.5-5.5.5-5-0.5.5-0.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5））9031Figarch d=0.8021.1-6.19E-05-0.455532727Figarch d=0.9014.4-0.000124053-0.616878表5：Wolf算法、Kantz算法和二维映射的最大Lyapunov指数结果。6结论通过计算关联维数和Lyapunov指数，研究了FIGARCH随机微分方程的混沌性质。后者的数值模拟用于计算嵌入维数和延迟，而嵌入维数和延迟又用于计算关联维数和李雅普诺夫指数。

关联维数在所有情况下都是分维的，它精确地指出了FIGARCH的自相似（分形）特性。然而，Wolf的算法在所有情况下都得到了正的Lyapunov指数。基于这些结果，我们可以得出结论，混沌行为普遍存在。这可能是嵌入方法的产物，如（Dechert and Gencay，2000）所述。也就是说，最大的李雅普诺夫指数可能不会被保持为殡仪馆的嵌入定理。为了检验Wolf算法，我们还采用了Kantz方法和基于随机微分方程的Jacobian导数。对于所有可能的情况，这两种方法都导致了负雅普诺夫指数。后者表明数据中存在某种非线性决定论，这种决定论源于FIGARCH，但禁止了确定性混沌的可能性。当数据由FIGARCH随机微分方程建模时，将非相关性和自相似性归因于确定性混沌是不正确的。7参考文献Abarbanel，H.D.1996观察到的混沌数据分析。纽约：斯普林格。贝尔里，R.T.，博勒斯列夫，T.，米克尔森，H.O.1996。分数积分广义自回归条件异方差。《计量经济学杂志》，74。Baillie R.T.，Han Y.W.，Myers R.J.2007日常和高频商品价格的长记忆和FIGARCH模型。第594号工作文件。布鲁克斯，约1998年。外汇市场的混乱：持怀疑态度的观点。计算经济学，11（3）。第265-281页。卡波林，M.2002。FIGARCH模型：平稳性，估计方法和识别问题，工作论文。库杰罗，D.O.，塔巴克，不列颠哥伦比亚省，2008年。测试世界股市的长期依赖性。混沌、孤子和分形37918-927。达斯，A.，达斯，第2006页。

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