分数积分广义自回归条件方程中的混沌

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英文标题：
《Chaos in Fractionally Integrated Generalized Autoregressive Conditional
  Heteroskedastic Processes》
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作者：
Adil Yilmaz, Gazanfer Unal
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  Fractionally integrated generalized autoregressive conditional heteroskedasticity (FIGARCH) arises in modeling of financial time series. FIGARCH is essentially governed by a system of nonlinear stochastic difference equations ${u_t}$ = ${z_t}$ $(1-\\sum\\limits_{j=1}^q \\beta_j L^j)\\sigma_{t}^2 = \\omega+(1-\\sum\\limits_{j=1}^q \\beta_j L^j - (\\sum\\limits_{k=1}^p \\varphi_k L^k) (1-L)^d) u_t^2$, where $\\omega\\in$ R, and $\\beta_j\\in$ R are constant parameters, $\\{u_t\\}_{{t\\in}^+}$ and $\\{\\sigma_t\\}_{{t\\in}^+}$ are the discrete time real valued stochastic processes which represent FIGARCH (p,d,q) and stochastic volatility, respectively. Moreover, L is the backward shift operator, i.e. $L^d u_t \\equiv u_{t-d}$ (d is the fractional differencing parameter 0$<$d$<$1).   In this work, we have studied the chaoticity properties of FIGARCH (p,d,q) processes by computing mutual information, correlation dimensions, FNNs (False Nearest Neighbour), the Lyapunov exponents, and for both the stochastic difference equation given above and for the financial time series. We have observed that maximal Lyapunov exponents are negative, therefore, it can be suggested that FIGARCH (p,d,q) is not deterministic chaotic process.
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中文摘要：
分数积分广义自回归条件异方差（FIGARCH）出现在金融时间序列建模中。FIGARCH基本上由非线性随机差分方程组${u_t}$=${z_t}$$（1-\\sum\\limits{uj=1}^q\\beta_j L^j）\\sigma_{t}^2=\\omega+（1-\\sum\\limits{j=1}^q\\beta_j^j-（\\sum\\limits{k=1}^p\\varphi k{k L^k^k）（1-L）^d）u__{t^2，其中，β和ωR$j参数是常数，$\\{u\\u t\\}{t\\in}^+}$和$\\{sigma\\u t\\}{{t\\in}^+}$是离散时间实值随机过程，分别代表FIGARCH（p，d，q）和随机波动率。此外，L是后移运算符，即$L^d u_t\\equiv u_{t-d}$（d是分数差分参数0$<$d$<$1）。在这项工作中，我们通过计算互信息、关联维数、FNN（假最近邻）、Lyapunov指数，以及上述随机差分方程和金融时间序列，研究了FIGARCH（p，d，q）过程的混沌性。我们观察到最大Lyapunov指数为负，因此，可以认为FIGARCH（p，d，q）不是确定性混沌过程。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Dynamical Systems        动力系统
分类描述：Dynamics of differential equations and flows, mechanics, classical few-body problems, iterations, complex dynamics, delayed differential equations
微分方程和流动的动力学，力学，经典的少体问题，迭代，复杂动力学，延迟微分方程
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Other Statistics        其他统计数字
分类描述：Work in statistics that does not fit into the other stat classifications
从事不适合其他统计分类的统计工作
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PDF下载：
--> Chaos_in_Fractionally_Integrated_Generalized_Autoregressive_Conditional_Heterosk.pdf (964.62 KB)

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关键词：自回归 differencing respectively Generalized conditional

分数积分广义自回归条件异方差过程中的混沌。YILMAZ和G.独立金融经济学研究生项目，耶迪泰普大学34755，伊斯坦布尔，土耳其亚迪尔。yilmaz@std.yeditepe.edu.tr, gunal@yeditepe.edu.trAbstractFractionally综合广义自回归条件异方差（FIGARCH）出现在金融时间序列建模中。FIGARCH本质上是由非线性随机微分方程组控制的。ut=zt（1-qXj=1βjLj）σt=ω+（1-qXj=1βjLj- （pXk=1~nkLk）（1- 五十） d）其中ω∈ R、 βj∈ R是常数参数，{ut}t∈+和{σt}t∈+是离散时间实值随机过程，分别代表FIGARCH（p，d，q）和随机波动率。此外，L是后移运算符，即Ldut≡ 美国犹他州-d（d是分馏差异参数0<d<1）。在这项工作中，我们通过计算互信息、关联维数、FNN（假近邻）、theLyapunov指数，以及上述随机微分方程和金融时间序列，研究了FIGARCH（p，d，q）过程的混沌性。我们观察到最大Lyapunov指数为负，因此，可以认为FIGARCH（p，d，q）不是确定性混沌过程。1简介金融和经济（微观和宏观）数据中混沌行为的检测一直是众多科学研究的主题，如（Dechert和Genay，2000；Das和Das，2006-7；Moeni等人，2007；Gnay，2015）。数据中混沌的存在有利于基础差异方程的短期可预测性和可控性（Ababanel，1996），这引起了科学界的注意。

然而，在处理金融和经济数据时，应始终记住GARCH（广义自回归条件异方差）模型（Francq和Zaqoian，2010）模拟了程式化事实。后者是一组非线性随机微分方程，因此，将其与确定性混沌联系起来是一个极具挑战性的想法。本文通过考虑关联维数和Lyapunov指数，研究了FIGARCH（分数积分广义自回归条件异方差）模型的混沌性。FIGARCH模型由Baillie、Bollerslev和Mikkelsen（1996）通过修改Garch模型引入，以提供更多条件方差的持久性。该模型允许条件方差创新的慢双曲线衰减率，并具有估计条件波动长记忆的能力。最近的研究发现了多种金融资产的长程依赖性证据，以及长记忆不可约性的有力证据（Cujaeiro，D.O.等人，2008）。混沌理论自四十年前被发现以来，一直吸引着人们的兴趣。混沌行为的存在已在许多学科中得到研究，包括大气动力学（如洛伦兹，1969；埃塞克斯等人，1987）、地球物理学（如亨斯，1987；威尔科克斯等人，1991；洛伦兹，1996；西瓦库玛，2004）、医学（如阿尔莫格等人，1990；戈德伯格等人，1988；巴布罗扬茨，1985；斯维里多娃等人，2015）、湍流（如阿巴巴内尔，1994），金融市场（如谢，1991年；DeCoster，1992年；Cornelis，2000年；Frezza，2014年）和电路（如Yim等人，2004年）。混沌系统是一种确定性系统，由于其对初始条件的微小变化的敏感性，在长期内是不可预测的。

在确定性图景中，不规则性可以由内在动力学的非线性自主产生。混沌理论与现实世界之间最直接的联系是从非线性动力学角度分析时间序列数据。混沌理论启发了一套新的有用的时间序列工具，并提供了一种新的语言来描述时间序列问题（Schreiber T.，1998）。本文直接利用模拟时间序列和非线性差分方程研究了非线性FIGARCH模型中混沌性的存在性。首先，假设FIGARCH是一个确定性混沌系统，通常采用Takens定理中的延迟坐标嵌入技术重构相空间，该方法证明，在适当的嵌入维数和延迟时间下，重构的相空间是原始系统的一对一图像，并具有相同的数学性质。因此，在第三部分中，确定了嵌入维数和延迟时间。为了估计合适的时延，采用互信息法。然后，采用伪最近邻法确定嵌入维数。关联维数提供了一种量化自相似性的工具。因此，在下一节中，将使用Grassberger和Procaccias程序计算关联维数。在第五节中，计算Lyapunov指数来量化对初始条件的敏感性，这是混沌最本质的特征。为此，采用了不同的算法。Wolfs和Kantzs算法被用于模拟时间序列，并利用更直接的方法从差分方程构造维度映射。

本文的总结和结论见第6.2节FIGARCH（分数积分广义回归条件异方差）Bollerslev（1986）和Engle and Bollerslev（1986）分别开发了广义自回归条件异方差（GARCH）模型和积分GARCH（IGARCH）模型。GARCH模型受到几个问题的影响，如非负性问题和带有杠杆效应的发行。此外，该模型不允许条件方差和条件均值之间存在任何直接反馈。另一方面，在大多数经验假设中，IGARCH模型似乎过于严格，因为它意味着波动性冲击的有限持续性。受这些问题的启发，Baillie、Bollerslev和Mikkelsen（1996）引入了分数积分GARCH（FIGARCH）模型，作为一个新的过程，推广了众所周知的GARCH，以允许条件方差的持续性。它是为条件方差的一类更灵活的过程而开发的，这类过程更能解释和代表金融市场波动中观察到的时间依赖性（Baillie、Bollerslev和Mikkelsen，1996）。FIGARCH模型简单地通过用GARCH（p，q）中的分数差分算子替换第一差分算子得到。FIGARCH（p，d，q）被写成φ（L）（1）- 五十） dut=ω+[1- β（L）]εt（1），其中0<d<1，以及φ（L）和[1]的所有根- β（L）]位于单位圆之外。

如果FIGARCH（p，d，q）可以重新排列为；[1 - β（L）]σt=ω+[1- β（L）]- φ（L）（1）- 五十） d]ut（2）（1）-qXj=1βjLj）σt=ω+（1-qXj=1βjLj- （pXk=1φkLk）（1- 五十） d）ut（3）因此，UTI的条件方差由σt=ω[1]给出- β（L）]-1+ {1 - [1 - β（L）]-1φ（L）（1）- 五十） d}ut（4）σt≡ ω[1 - β（L）]-1+λ（L）ut（5），其中λ（L）=λL+λL+。。。。当然，对于FIGARCH（p，d，q），对于（8），要明确定义，拱门中的条件方差(∞) （10）中的表示必须是非负的，即λk≥ 0表示k=1，2。。。（Baillie等人，1996年）。Conrad和Haag（2006）还引入了一组条件，以保证所有情况下条件方差的非负性。此外，戴维森（2004）已经证明，费加西模型比GARCH或IGARCH模型拥有更多的内存。3混沌行为和非混沌行为是运动的不规则性、不可预测性和对初始条件的敏感性。我们的目的是确定FIGARCH非线性随机微分方程在这个意义上的性质。它的混沌本质基本上会让我们了解它的可预测性、范围和预测质量。为了测量时间序列数据的混沌，可以估计Lyapunov指数，这是一种测量微小闭合状态分离平均速度的方法。为了能够找到数据的李雅普诺夫指数，首先需要从标量时间序列数据转换到多变量状态或相空间，这是混沌运动首先发生所需的。3.1重构相空间关于如何从标量状态到多元状态的问题，答案是Takens和Mane（1981）提出的被称为嵌入定理的几何理论。

Abarnel认为，非线性过程中的所有变量都是一般连接的，它们相互影响。考虑到我们有{x，x，…xi，…xn}的时间序列数据，Takens暗示，原始系统的构造吸引子可以写成向量序列P（i）=（xi，xi+T，xi+2T，…xi+（d-1） T）（6），其中T表示嵌入延迟，d表示嵌入维度。塔肯斯还指出，对于足够大的d，原始系统的许多重要属性在新的向量空间中都可以毫无歧义地再现。换言之，构造的反射器将具有与原始系统相同的数学性质（如维数、李雅普诺夫指数等）。从公式中可以看出，为了能够重构吸引子，必须确定嵌入延迟和嵌入维数的适当值。数据为了分析FIGARCH数据，生成了几个FIGARCH（1，d，1）模型。而阿尔法、β和ω系数保持在0.01不变，能够在8192个数据点的情况下将D值保持在0.05到0.9之间。对于每个d值，生成50个随机样本并测试结果。使用Kevin SheppardssMFE工具箱对每个模型进行模拟，然后应用第二个源Oxmetrics Garch包进行验证。3.2互信息嵌入延迟（T）值通过寻找名为互信息的非线性相关函数的第一个最小值来确定。Fraser和Swinney（1986）引入了互信息，在xiand xi+Tas之间引入了一个确定T的合适量。T.1的估计有两个重要原则。T必须足够大，以便xi+中的信息与xi中的信息显著不同。2.

它不应该太大，以至于xi+Tand XIA在统计意义上完全独立。给出集合A={ai}和B={bj}之间的互信息，以位形式写入；log“PAB（ai，bj）PA（ai）PB（bj）#（7）其中PA（ai）和PB（bj）是单独的概率密度，而PAB（ai，bj）是A和B的联合概率密度。如果aia和bj是完全独立的PAB（ai，bj）=PA（ai）PB（bj），并且互信息为零。A和B测量之间的所有信息统计测量的平均值写为：IAB=Xai，bjPAB（ai，bj）log”PAB（ai，bj）PA（ai）PB（bj）#（8）互信息基于两个集合之间的信息概念来衡量它们之间的相互依赖性。

因此，对于时间t处与测量值s（t+t）相连的测量值s（t），如果我们重写；I（T）=Xs（n），s（n+T）P（s（n），s（n+T））log“P（s（n），s（n+T））PA（s（n））PB（s（n+T））#（9）当T→ ∞, I（T）→ 0，因为s（n）和s（n+T）之间的相关性消失（Abarbanel，1996）。弗雷泽认为，由于I（T）是一种自相关函数，因此在互信息的第一个最小值选择时间延迟值是合适的，尽管考虑到该方法的线性性质，它有时可能会产生误导。对于每个模型，为了确定适当的嵌入延迟，计算模型的互信息，结果如表1.3.3假最近邻法所示，假设使用互信息建议的时间延迟在维度d中使用数据向量进行状态空间重构。y（i）=（xi，xi+T，xi+2T，…，xi+（d）-1） T）（10）相空间中的最近邻是一个向量；yNN（i）=（xNNi，xNNi+T，xNNi+2T，…，xNNi+（d-1） T）（11）图1:Figarch d=0.90的相互信息。Figarch模型嵌入延迟Figarch d=0.05 2 Figarch d=0.15 1 Figarch d=0.25 2 Figarch d=0.35 4 Figarch d=0.45 6 Figarch d=0.55 7 Figarch d=0.65 8 Figarch d=0.75 8 Figarch d=0.80 6 Figarch d=0.90 8表1：每个Figarch模型的相互信息。如果向量yNN（i）是y（i）的假邻居，因为当前维度d没有展开吸引子，所以通过投影从更高维度到达它的邻域，那么通过下一维度d+1，这个假邻居可以从y（i）的邻域中移除。通过查看每个数据点y（i）并询问在什么维度上移除所有假邻域，我们将依次移除低维和低维轨道的交点，直到最后一点交点被移除。

此时，d将被识别为吸引子展开的位置。将维度d中向量y（i）和yNN（i）之间的距离与维度d+1中相同向量之间的距离进行比较，可以很容易地确定哪些是真邻居，哪些是假邻居。只需要比较x（i+dT）- 欧氏距离为| yi的xNN（i+dT）- 维度d中的最近邻之间的距离为yNNi |。如果与维度d中的最近邻之间的距离相比，额外距离较大，则我们有一个假邻居。最近邻点之间欧几里德距离的平方，如维度d isRd（i）=dXm=1[xi+（m）所示-1） T- xNNi+（m）-1） T]（12）而尺寸d+1为；Rd+1（i）=d+1Xm=1[xi+（m）-1） T- xNNi+（m）-1） T]（13）Rd+1（i）=Rd（i）+xi+dT- xNNi+dT |（14）在尺寸d+1中看到的点之间的距离相对于尺寸d中的距离为；sRd+1（一）- Rd（i）Rd（i）=xi+dT- xNNi+dtRd（i）>rtol（15）当这个数量大于某个阈值时，我们有一个假邻居（Kennel M B，Brown R和Ababanel H D 1992）。假邻域百分比图显示了展开的几何体和不再折叠的位置。在正确选择d维的情况下，以动态自由度的d数对数据进行建模将足以捕获源的特性。图2显示了最小嵌入维度，其中最近邻的百分比为零，并考虑了一些阈值rtol。伪邻域的消失表示最小嵌入维数rtolis伪邻域欧氏距离容限和基于吸引子大小的原子邻域容限。