短期不确定性下的CoCos

另一方面，因子LB（t，t）展示了（8）中的障碍，作为默顿[15]和布莱克和考克斯[1]模型的直接延伸，以一种无风险的障碍和仓促利率。此外，系数exp{a`Ttσ（s）ds}提供了额外的参数，允许我们通过增加屏障的凹度和陡度来修改屏障的指数特性，见Brigo和Tarenghi[4]。总之(lt） t≥0可以容纳早期信用风险文献中的其他模型，如Longstaff和Schwarz[14]以及Saá-Raquejo和Santa Clara[19]。从计算的角度来看，我们要提到的是，Lo等人[13]和Rapisarda[17]可以通过应用所谓的镜像方法来计算与时间相关的Black-Scholes期权价格的精确闭式估计，从而解决与价格相关的偏微分方程。显然，与镜像基本解兼容的唯一参数形式是（8）中的确定性（rt）t≥0.值得注意的是，[13]通过应用扩散方程的最大值原理，给出了障碍期权价格的上限和下限，并将其转化为一个简单直观的障碍价格论证。由于我们关注的是基本过程，而不是势垒，所以我们决定将假设（A′）转换为噪声驱动（St）和噪声驱动（t）之间的相关结构≥0和（Ut）t≥0.当然，我们也可以在屏障中引入一个新的

此外，正如我们将在下面看到的，解析公式的获得明确取决于向量（Ut，log St），而不是单独取决于（St）t≥0和(lt） t≥0.此外，该模型还包含了COCO研究的最新贡献，如[3,8]。事实上，我们有以下几点。例4.1。Brigo等人[3]的模型对应于一维情况，其中σ是一个逐点常数确定性函数，a（在他们的符号a中：=B）作为模型参数之一给出。假设相关性等于1，因此dut=（a-)σ（t）dt+σ（t）dW*t、 例4.2。Corcuera等人[8]的模型对应于一个n维情形，具有可能的随机波动率（σt）t≥0和债券价格在高斯HJM框架中给出，b是确定性的。在这种情况下，相关性也等于1，并且给出了f基本过程=(-kσtk+kb（t，t）k）dt+（σt- b（t，t））·dW*t、 4.2。定价问题在我们的环境中，可可豆的一般价格公式可以直接从[8，引理1]中推导出来。更具体地说，每0≤ T≤ T，{τ>T}上椰子的价格由π（T）：=NB（T，T）PT（τ>T|Gt）+CrSte\'Ttκ（u）duP（S）（τ）给出≤ T | Gt，（11）式中（B（T，T））T≥0代表到期日为T的无违约债券的价格，而T-forwardmeasure PT（分别为股票度量P（S））是通过取（B（T，T））T给出的概率度量≥0（分别）t≥0）作为numéraire。也就是说，这些概率测度等价于P*它们的Radon Nikod'ym导数由DPTDP给出*=E-\'TruduB（T，T）B（0，T）=exp^Tb（u，T）dW*U-^Tb（u，T）du,和dP（S）dP*=E-\'Tj[ru-κ（u）]粉尘=exp^TσudW*U-^Tσudu.分别地注意，根据（11），除了给可可定价，我们需要找到τ在pT和P（S）下分布的表达式。因此，这项工作的其余部分致力于研究上述分布的获得。4.3.

τ的分布我们将考虑一个具体情况，假设利率、相关函数和股票的波动率都是严格的正常数，即rt≡ r和ρ（t）≡ ρ、 σt≡ σ. 根据附录中的命题（A.1），我们得到了（2）和（3）在PT（d log St=u）下的动力学*Sdt+σdW*tdUt=u*Udt+σdWρt（12），其中u*S:=r-σ和u*U:=（a）-)σ. 同样，在P（S）下，我们有（d log St=u（S）Sdt+σdBtdUt=u（S）Udt+σdBρt（13），其中u（S）S:=r+σ，u（S）U:=（a）-+ ρ） σ和（Bt）t≥0和（Bt）t≥0是两个相关ρ的P（S）-布朗运动。现在让我们关注（11）的第一个和，因为第二个和可以用类似的方式计算。此外，让我们考虑这样一种情况，即共公度与基本过程第一次完全更新时一致，也就是说，我们设置T=T，然后为0≤ T≤ T，通过调节到FWρT∨ σ（{W*tij，tij≤ t} ) Gt，我们可以使用已知的布朗运动击中时间的结果（见[2]）来获得P*（τ>T|Gt）=1{τ>T}E*Φ-D*-- 经验-2u*U（Ut）- \'c）σΦD*+燃气轮机, （14） 式中，c是转换的较低阈值（如（1）所示），D*±：=\'c- Ut±u*U（T）-t） σ√T-t、 因此，将问题简化为计算Gt的密度。假设直到时间t，我们在时间0=t0,0时观察到了股票≤ t0,1≤ ... ≤ t0，k=t，然后我们寻找密度*美国犹他州∈ dutτ>t，St0,0∈ ds，St0,1∈ ds。。。，St0，k∈ dsk公司.为了便于记谱，为了处理（Xt）t≥0让我们写Xj：=Xt0，j，X（k）=（X，X，…，Xk），X（k）=（X，X，…，Xk）。

用这些术语，并使用贝叶斯规则，我们可以重写密度*美国犹他州∈ dutτ>t，S（k）∈ ds（k）=Pτ>t，Ut∈ dut，S（k）∈ ds（k）P*τ>t，S（k）∈ ds（k）=\'\'Rk-1Pτ>t，U（k）∈ 杜（k），S（k）∈ ds（k）杜（k）-1） \'\'RkPτ>t，U（k）∈ 杜（k），S（k）∈ ds（k）杜（k）。使用附录中的定理A.2（X:=U，Y:=ρlogs，Z:=X-Y）我们可以证明这一点*τ>t，U（k）k∈ 杜（k），S（k）∈ ds（k）=kYj=11.- 经验-2（uj）- \'c）（uj-1.- \'c）σ（t0，j）- t0，j-1){uj>\'c，uj-1> \'c}H*Juj- uj-1.-ρlogsjsj-1.G*Jρlogsjsj-1.h在哪里*张成泽*jare给出了以下高斯密度*j（z）：=σp1- ρp2π（t0，j）- t0，j-1） 经验(-（z）- (u*U- ρu*S） （t0，j）- t0，j-1))2σ(1 - ρ） （t0，j）- t0，j-1)).G*j（x）：=σρp2π（t0，j）-t0，j-1） 经验(-（十）- ρu*S（t0，j）- t0，j-1） ）2ρσ（t0，j- t0，j-1） ，根据（12）和（13），很明显P（S）（τ>T | Gt）的计算可以以相同的方式进行，因此我们得到了（11）中的价格表达式。值得注意的是，在每个区间[Tj，Tj+1]内，Jeanblanc和Valchev[12]获得的存活概率仅取决于过去的STj值。然而，在我们的设置中，这些概率取决于序列Stj，0，。。。，Stj，kwhere Tj=Tj，0≤ tj，1≤ ... ≤ tj，k≤ t、 这种差异取决于这样一个事实：即使在每个区间[Tj，Tj+1]内，我们对基本过程的了解是恒定的，但我们仍然观察到所有其他过程的演化（FW）*-（a）选定时间的状态变量。如果我们将这个模型中的价格与一个基本过程被服务的模型中的价格进行比较，我们直观地预期如下：股票是基本价值的代理，其方式是（Ut）t≥0绕（St）t移动≥价格是平均值，但交谈时间τ也说明了（Ut）t的行为≥如果τ>t，则表示（Ut）t≥0表现优于（St）t≥0，尤其是当（St）t≥0低。

所以，一般来说，我们会得到比总信息模型更高的价格，如果（St）t≥0低和/或与（Ut）t相关≥0也很低。备注4.3。讨论如何通过扩展此基本案例（即rt）来改变定价问题≡ r、 ρ（t）≡ ρ和σt≡ σ） 对于具有随机利率或波动性且具有时变相关性的模型，我们参考文献[8]。更具体地说，[8，第4节和第5节]可以用于涵盖短期利率和波动性的情况，而[8，引理4]可以在相关性随时间变化时提供一个近似公式。这些扩展的主要问题在于，（14）中括号内的表达式不能像基本情况那样以封闭形式获得。然而，请注意，这里讨论的基本情况可以很容易地扩展成一个分段函数，在每个区间[Tj，Tj+1]内取常数值。4.4.数值说明对于这一部分，我们确定了以下参数r=0.03，σ=0.49，S=100，N=100，\'c=log（35），κ=0，u*S=r-κ -, 和u*U=u*S、 连同四种情况{ωi}i=1，。。。，4如图1所示的股票价格。然后我们将估计参数ρ对概率的影响*（τ>t | Gt）。我们考虑以下情况ρ∈ {0.01,0.25,0.5,0.75,0.99}.0 50 100 150 2000 50 100 150 200 000 50 200 150 2000T1ω1ω2ω3ω4图1：股票价格的模拟轨迹。虚线设置在exp{c}级别。基于场景（St（ω））t≥0和不同的ρ值，图2显示了基本过程（Ut）t的一系列模拟轨迹≥当相关参数趋于1时，（Ut）t的行为≥0与（对数St）t的匹配≥0（参见。

例4.1和例4.2）。1 2 3 4 5 6时间基本过程模拟轨迹ρ=0.010T12 3 4 5 6时间基本过程模拟轨迹ρ=0.250T11 2 3 4 5 6时间基本过程模拟轨迹ρ=0.50T11 2 3 5 6时间基本过程模拟轨迹ρ=0.750T11 2 3 4 5时间基本过程模拟轨迹ρ=0.990T12图2：基于情景（St（ω））t的基本过程模拟轨迹≥0.虚线设置为“c”级。最后，图3显示了相关参数对T之前避免转化概率的影响，即P*（τ>T | Gt）。致谢这项工作是在访问挪威科学与文学学院高级研究中心（CAS）时开始的。作者要感谢中国科学院成员的盛情款待。A.附录A。1.引理的证明3.2让我们从证明由Mt:=Pj:Tj定义的过程开始≤TF（Tj），t≥ 0，遵循aneF鞅。对于这个问题，请注意，通过构造Mt=MTj=mstj≤ s<t≤ Tj+1，因此E*[Mt|eFs]=现在如果我们有Tj≤ s<Tj+1≤ t<Tj+2，然后mt=MTj+ F（Tj+1）。我们还有MTj=Ms。此外，我们还有*[F（Tj+1）|eFs]=E*惠普*(τ ≤ Tj+1 | eFTj+1）eFsi- EhP*(τ ≤ T-j+1 | eFT-j+1）eFsi=E*h{τ≤Tj+1}eFsi- E*h{τ≤T-j+1}eFsi=E*h{τ≤Tj+1}- 1{τ<Tj+1}eFsi=0，其中最后一个等式来自事实1{τ≤Tj+1}=1{τ<Tj+1}，因为τ被定义为布朗运动的击中时间。通过构造，（At）t≥0是一个连续的过程，因此是可预测的。为了看到它在增加，我们从矛盾的角度出发：一方面，假设存在这样的t<s≥ 阿莎。s这意味着*[网址]≥ E*[作为]。

另一方面，由于（Ft）t≥0isaneF submartingale我们有*[As]=E*[F（s）]- E*[Ms]≥ E*[F（t）]- E*[Ms]=E*[F（t）]- E*[Mt]=E*[At]，因此方程E*[As]=E*（At）应该保持不变。然而，这意味着*[Fs]=E*[Ft]，或相当于P*(τ ≤ s） =P*(τ ≤ t） ，这是不可能的，因为τ遵循严格递增的分布，即逆高斯分布。A.2。P（S）下的基本过程动力学下面的结果描述了定价问题中涉及的过程的动力学，包括T-远期测度和共享测度P（S）下的过程动力学。提议A.1。让（Zt）t≥0是第二个布朗运动，独立于（W）*t） t≥所以我们可以写出ρt=ρ（t）W*t+p1- ρ（t）Zt，t≥ 0.让FW*= （FW）*t） t≥0并设FZ=（FZt）t≥0是W的自然过滤* 和Z。让我们≥0是（10）中定义的流程。然后（i）过程（WTt:=W）*T-\'tb（t，t）dt）t≥0（分别为W（S）t:=W*T-\'tσtdt）t≥0）是一个FW*-PT（分别P（S））下的布朗运动；（Zt）t≥0是关于P和P（S）的FZ布朗运动；和（ρ（t）WTt+p1- ρ（t）Zt）t≥0响应。（ρ（t）W（S）t+p1- ρ（t）Zt）t≥0,是PT（resp.P（S））下的G-布朗运动。（ii）t的动力学≥0PTAREDUT下=kσtk-kσtk+kb（t，t）k+ρ（t）（σt）- b（t，t））·b（t，t）dt+（σt）- b（t，t））·ρ（t）dWTt+p1- ρ（t）dZt. （15） （iii）t的动力学≥0在P（S）下=kσtk-kσtk+kb（t，t）k+ρ（t）（σt）- b（t，t））·σtdt+（σt）- b（t，t））·ρ（t）dW（S）t+p1- ρ（t）dZt. （16） 证据。关于（WTt）t的声明≥0和（W（S）t）t≥0来自Girsanov定理。由于独立（根据P*) 在（W）之间*t） t≥0和（Zt）t≥0，很容易看出布朗运动的Lévy特征适用于（Zt）t≥随后，它也适用于（ρ（t）WTt-p1- ρ（t）Zt）t≥0和（ρ（t）W（S）t-p1- ρ（t）Zt）t≥0

根据（i），只剩下使用新定义的布朗运动重写（9）中的动力学。请注意，采用固定利率意味着P*而且是一致的。A.3。条件密度定理A.2。让（Xt）t≥0，（Yt）t≥0，（Zt）t≥0be P下的三个漂移布朗运动，带（Zt）t≥0独立于（Yt）t≥0，这样Xt=Yt+Zt。设0=t≤ T≤ ... ≤ tn=t是[0，t]的分区。设置符号Xj:=Xtj，X（n）=（X，X，…，Xn），X（n）=（X，X，…，Xn），并类似地设置Y和Z。设置τ=inf{t，Xt≤ c} 。那么下面的等式成立τ>tn，X（n）∈ dx（n），Y（n）∈ dy（n）=nYk=11.- 经验-2（xk- c） （xk）-1.- c） σX（tk）-tk-1)×fZk（xk）- yk-（xk）-1.- yk-1） ）fYk（Yk-yk-1） 式中σX:=E[（X- E[X]）]，以及函数fZK和fyk表示Zk:=Zk- Zk-1和Yk:=Yk-Yk-分别为1。证据我们有τ>tn，X（n）n∈ dx（n），Y（n）∈ dy（n）= Pτ>tn，Xn∈ dxn，Yn∈ dyn，X（n）-1)∈ dx（n）-1） ，Y（n）-1)∈ dy（n）-1)= Pτ>tn，Xn∈ dxn，Yn∈ 戴恩τ>tn-1，X（n）-1)∈ dx（n）-1） ，Y（n）-1)∈ dy（n）-1)×Pτ>tn-1，X（n）-1)∈ dx（n）-1） ，Y（n）-1)∈ dy（n）-1)= Pτ>tn，Xn∈ dxn，Yn∈ 戴恩τ>tn-1，Xn-1.∈ 二氧六环-1.Yn-1.∈ 戴恩-1.×Pτ>tn-1，X（n）-1)∈ dx（n）-1） ，Y（n）-1)∈ dy（n）-1), （17） 最后一个等式是由于（inf0）的马尔可夫性≤s≤tXs，Xt，Yt）t≥0.现在，根据BayesrulePτ>tn，Xn∈ dxn，Yn∈ 戴恩τ>tn-1，Xn-1.∈ 二氧六环-1.Yn-1.∈ 戴恩-1.=P（τ>tn，Xn）∈ dxn，Yn∈ dyn，Xn-1.∈ 二氧六环-1.Yn-1.∈ 戴恩-1） P（τ>tn）-1，Xn-1.∈ 二氧六环-1.Yn∈ dyn）=Pτ>tnτ>tn-1，Xn∈ dxn，Yn∈ dyn，Xn-1.∈ 二氧六环-1.Yn-1.∈ 戴恩-1.×P（τ>tn）-1，Xn∈ dxn，Yn∈ dyn，Xn-1.∈ 二氧六环-1.Yn-1.∈ 戴恩-1） P（τ>tn）-1，Xn-1.∈ 二氧六环-1.Yn∈ dyn）=Pτ>tnτ>tn-1，Xn∈ dxn，Yn∈ dyn，Xn-1.∈ 二氧六环-1.Yn-1.∈ 戴恩-1.×Pτ>tn-1，Xn∈ dxn，Yn∈ 戴恩τ>tn-1，Xn-1.∈ 二氧六环-1.Yn-1.∈ 戴恩-1.= Pτ>tnτ>tn-1，Xn∈ dxn，Yn∈ dyn，Xn-1.∈ 二氧六环-1.Yn-1.∈ 戴恩-1.×PXn∈ dxn，Yn∈ 戴恩Xn-1.∈ 二氧六环-1.Yn-1.∈ 戴恩-1..最后一个等式是真的，因为（Xt，Yt）t≥他是马尔科夫人。

通过假设Xn∈ dxn，Yn∈ 戴恩Xn-1.∈ 二氧六环-1.Yn-1.∈ 戴恩-1.= FZn（xn）- 伊恩- （xn）-1.- 伊恩-1） ）fYn（Yn）- 伊恩-1). （18） 那么，如果我们取V:=X- E（X）-Cov（X，Z）Var（Z）（Z）- E（Z））Pτ>tnτ>tn-1，Xn∈ dxn，Yn∈ dyn，Xn-1.∈ 二氧六环-1.Yn-1.∈ 戴恩-1.= Pτ>tnτ>tn-1，Xn∈ dxn，Vn∈ dvn，Xn-1.∈ 二氧六环-1，Vn-1.∈ dvn-1.= Pτ>tnτ>tn-1，Xn∈ dxn，Xn-1.∈ 二氧六环-1.=1.- 经验-2（xn-c） （xn）-1.- c） σX（tn）- tn-1){xn>c，xn-1> c}。（19） 最后一个等式是一个众所周知的结果，参见f或实例[12，引理2]。所以，从（17）、（18）和（19）我们得到了结果。密度fYnand fZnin（18）可以用简单的方式计算。事实上，如果我们定义uY:=E[Y]和σY:=E[（Y- E[Y]）]，然后是密度fYn对应于平均μY（tn）的阿加西密度- tn-1） 方差σY（tn- tn-1） 、和Yn（y）=q2πσy（tn- tn-1） 经验(-（y）- uY（总氮）- tn-1） ）2σY（tn- tn-1)).f的表达式zn也是类似的。参考文献[1]F.布莱克和J.C.考克斯。评估公司证券：债券契约条款的一些影响。《金融杂志》，31:351-3671976。[2] A.N.博罗丁和P.萨尔米宁。布朗运动事实和公式手册。Birkh"auser，2012年。[3] D.布里戈、J.加西亚和N.佩德。Coco债券估值，采用eq和信用校准的第一通道结构模型。工作文件，伦敦帝国理工学院，2013年2月。[4] D.Brigo和M.Tarenghi。交易对手风险下的信用违约掉期校准和股权掉期估值，采用可处理的结构模型。在2004年麻省理工学院FEA 2004年会议记录中。[5] E.布莱斯和F.德瓦伦。固定利率债务估值：扩展。《金融与定量分析杂志》，32:329–248，1997年。[6] D.科库列斯库、H.杰曼和M.詹布兰科。不完全信息下违约敏感索赔的估值。金融斯托赫。，12:195–218, 2008.[7] P.柯林·杜弗雷纳、R.戈尔茨坦和J.赫尔韦格。P

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