如何组合10亿个字母

我们需要一个未签名的数量来定义Ohm伊莉亚。我们可以使用OhmiA=M+1M+1Xs=1 | PiAs |（17）这只是第i个α对A标记股票的平均相对敞口。这一定义的一个潜在“缺点”是，如果头寸界限——称为BiA——是在单个α的水平上施加的，对于一些流动性较低的股票，PiAs可能会饱和这些界限。从一般风险管理的角度来看，这些界限在所有Alpha中都是一致的。例如，有人可能希望将头寸上限设置为以下较小者：i）总美元投资的一小个百分位数——这是一个多元化的界限；和ii）ADDV的一个（通常是不同的）小百分比（平均每日美元交易量）——这是一个流动性约束（如果需要清算头寸）。如果在大多数情况下边界是饱和的，这可以有效地减少独立风险因素的数量，以及定义寿命Ohm我可能需要对这些股票进行调整（见[Kakushadze，2014]）。然而，如果在组合alpha级别施加边界，则这不是问题。假设N>> K、 即使有更多的风险因素（17），我们的优化也会简化为加权回归。我们可以简单地选择权重作为逆样本方差。或者，我们也可以尝试计算具体情况。为此，我们需要FCMΦAB，并适当规范化OhmiA，FCMΦabi是股票的协方差矩阵。在第零近似下，我们可以将其设置为ΦAB≈ σAδAB，其中σA是股票的样本变量。或者，我们可以使用商业风险模型，也可以有机地构建它们，例如在[Kakushadze，2015c]和[Kakushadze and Yu，2016 a]中。另见第6节。5.一个问题因此，总结而言，我们的优化（1）减少到非标准化的RETURNSEEI=Ei/ξ，超过因子负荷矩阵OhmiA=OhmiA/ξi.为了简单起见，让我们假设ξi=σi。

更进一步，让我们来谈谈OhmiAto是M demeed returns Xis，s=1，M、 也就是说，我们没有使用任何额外的方式或其他风险因素。然后，样本相关矩阵由（我们用指数s标识指数A）ψij=MXs，s′=1e给出Ohm是φss′e吗Ohmjs′（18）总体规范化因素是非实质性的，出于审美原因而包括在内。很明显，E列Ohm只不过是前M个主成分V（a）i，a=1，M、 ψij。对于大的N向量，主成分V（1）iI接近适当的归一化单位N向量：V（1）i≈ 1/√N.回想（8）（见后面的讨论）权重≈ ηeεi/σi，其中eεi是Ei=Ei/σi的回归残差Ohm具有单位权重，或等效于主成分V（a）i。这意味着Pni=1V（1）即εi=0，因此，许多权重为负（假设预期回报均为正）。也就是说，香草优化迫使我们接受许多积极的预期回报，因为它对冲了所有同时出现的亏损。这是一种过度杀戮，字面上是“杀戮”阿尔法：如果阿尔法在平均水平上不具有高度相关性，那么大多数阿尔法一次都亏损是可能的，但可能性很小。假设对提款的容忍度，我们可以放松这种对冲。5.1一个单因素的例子为了进一步说明这一点，让我们考虑一个简单的例子。让我们假设真实关联矩阵有统一的对角元素：ψij=（1）-ρ） δij+ρuiuj，其中ui≡ 1是单位N向量。然后权重由（注意这是精确的）：wi=ηξi“eEi”给出-ρ1+（N）- 1） ρNXi=1eEi#（19），其中eei=Ei/ξi，和ξi=√1.- ρσi.所以，如果ρ>0和N>> 1/ρ，则r.h.s.方括号中的表达式。

（19）的横截面近似相等，许多权重为负。我们怎样才能做到这一点？5.2去除“整体”模式在股票投资组合中有大量股票的情况下，我们也有相同的行为，即样本相关性矩阵的第一个主成分接近重新缩放的截距。这就是所谓的“市场”模式，它描述了所有股票的整体同步运动，即整个大盘的同步运动。然而，就股权融资而言，“市场”模式的问题受到抑制。因此，对于美元中性投资组合而言，由于美元中性约束，几乎一半的权重为负。在只做多的投资组合中，通常不会直接优化原始预期收益，而是根据bro ad基准进行优化。在这方面，alpha port folio优化类似于仅长投资组合优化，因为σII的分布是倾斜的，大致呈对数正态分布，Ei也是如此，所以Ei的分布不是很明显，大致呈正态分布；se e[Kakushadze和Tulchinsky，2016]。例如，参见[Bouchaud and Potters，2011]，其中回顾了随机矩阵理论在股票样本相关矩阵建模中的应用，以及其中的参考文献。股票因此，在这里，我们也可以针对基准阿尔法投资组合（相对于（1））进行优化。例如，我们可以取wbenchmarki=ηEiσi（20），它对应于取SCM Cij的对角线部分。还有其他选择。或者，我们可以简单地删除“整体”模式（即，类似于股票投资组合的“市场”模式）。一种方法是取M个主成分，简单地去除第一个主成分，即在因子负荷矩阵上运行回归Ohm′ia=V（a）i，a=2，然而，这需要计算主成分。有一个更简单的方法。我们接受Ohmisin（18）并贬低其专栏。

让蜜蜂飞吧Ohm*是只有我- 其中1列是线性独立的。所以，我们可以过度回归Ohm*s=1，M-1.这消除了“整体”模式，虽然一些权重可能仍然是有益的，但它们的数量将相对有限（不是权重的大约一半）。经过回溯测试的夏普rat io将下降，投资组合回报率将上升。5.3回归过程总结为了清晰起见，让我们把所有的部分放在一起，形成一个逐步的总结：o1）从阿尔法回归指数的时间序列开始，i=1，N、 s=1，M+1.o2） 计算连续降级的收益Xis=Ris-M+1PM+1s=1Ris.o3） 计算样本方差σi=Cii=MPM+1s=1Xis.o4） 计算标准化降级收益Ys=Xis/σi.o5）仅保留Ys中的前M列：s=1，M.o6）横截面尺寸∧is=Yis-NPNj=1Yjs.o7） 只保留第一个M- λ中的1列为：s=1，M- 1.o8）取α预期回归Ei并将其标准化：eEi=Ei/σi.o9）计算单位加权回归Ei的残差eεiof10） 将α投资组合权重设置为wi=ηeεi/σi.o11）设置归一化系数η，使pni=1 | wi |=1。附录A中给出了上述程序的R中的源代码。如果我们希望使用（17）中的R isk因子作为基础可交易项，那么我们只需用相应的因子加载矩阵（见附录A）替换上述步骤9）中的∧isin。此外，在上面的步骤4）-11）中，我们可以使用基于主成分或风格因子（见上文）计算的特定变量ξi，而不是使用样本方差σi。在这里，我们故意使用与上述符号稍有不同的符号。如前所述，i=1，N标记字母；s=1，M+1标记了时报ts。在接下来的内容中，它们的正常化无关紧要。此步骤将删除“整体”模式，如果需要，可以跳过此步骤。

然后我们也会看到下面的下一步。没有拦截。例如，可以是（17）或以上步骤5）中定义的Yi的并集（删除任何linearlydepe独立列）。5.4计算成本如何？很明显，上述步骤的成本都不超过O（MN）操作（步骤9除外），回归分析。回归残差由εi=eEi给出-NXj=1M-1Xs，s′=1∧是Υ-1ss′∧js′（21），其中Υss′=PNi=1∧是∧是∧。计算这个（M）-1） ×（M）-1） 矩阵运算成本为0（MN）。直接颠倒it成本O（M）运营。其余的（苏姆索弗s、s′、j等）成本为O（MN）操作，因此回归也会如此。5.5这与主要成分有关吗？答案是肯定的。如上所述，样本相关矩阵ψij=PMs，s′=1Yisφss′Yjs′（其中φss′=（δss′+usus′）/M；我们≡ 1是单位M向量），因此i的M列只是前M个主成分V（a）i，a=1，M、 ψij。因此，在上述步骤中，我们可以使用主成分而不是Yi，并得到与加权wi相同的结果。然而，计算第一个M主成分需要额外的O（MN）操作。6结论如上所述，在没有“聚类”的情况下，当字母数较大时，优化（通过最大化夏普比）会减少为（加权）回归，无论我们是从构造的因子模型开始，还是从样本协方差矩阵变形开始。这是因为这种变形本身并不是因素模型。我们还认为，在大多数情况下，预期收益回归的因子载荷由历史收益的时间序列矩阵（适当地去量化、归一化和修剪）给出，在此基础上计算（奇异）样本协方差矩阵。

回归权重可以被重新描述为预期收益、事实r荷载矩阵和α权重的标准化，可以被视为逆样本方差，或者在某些实际模型中被视为特定方差。然而，通过（15）计算这些特定变量需要通过（14）计算因子协方差矩阵（从而向回归权重中添加噪声），而不需要计算样本方差。这方面有一个显著的例外，也就是说，如果我们通过（17）将基础可交易资产（股票）本身作为风险因素。在这种情况下，不需要通过线性组合的样本协方差矩阵来计算因子协方差矩阵Φabn。Υss′具有因子形式的事实与N无关>> 实际上，实际上>> M.我们可以继续上面的步骤；或者，我们可以简单地删除第一个主成分，这将给出一组略有不同的wi。阿尔法的回归。相反，它可以被视为股票的协方差矩阵。后者不需要计算为股票回归的样本共变矩阵，这将是样本外不稳定的，甚至是奇异的。相反，我们可以使用构建的股票协方差矩阵，例如通过fa-cto r模型[Kakushadze，2014]。我们可以事先使用商业上可用的风险模型（尽管它们不一定是样本外稳定的），或者通过杂种优势风险模型[Kakushadze，2015c]或杂种优势CAPM[Kakushadze and Yu，2016a]等有机地构建它们。事实上，在第零近似下，我们可以设置ΦAB≈ σAδAB，其中σA是样本（历史）股票波动率或期权隐含波动率。一旦我们确定ΦAB，我们可以通过（15）计算具体的方差。然而，实际上这里有一个警告。

需要注意的是，如果我们用股票协方差矩阵r ix来识别ΦAb，那么因子载荷矩阵由（17）给出，最多只有一个先验未知的总体归一化常数。所以我们可以把它当作一个自由参数，考虑一个单参数的特殊方差族。然后，可以通过优化实现的性能来确定该参数的值，该参数不需要是样本外稳定的，并且可能需要根据短期回溯频繁重新计算。这为计算特定方差提供了一个明确的处方。或者，我们可以使用样本方差，这是相对稳定的样本外和简单的计算。另一种选择是使用基于主成分（见[Kakushadzeand Yu，2016b]和上文）或风格因素计算的特定方差。后一种情况通常需要使用更复杂的方法，如[Kakushadze and Yu，2016a]中讨论的方法。我们的优化简化为回归的一个好处是，它的计算成本很低，可以很容易地进行修改，以纳入阿尔法权重的界限。事实上，由于wi与回归残差成正比，我们可以简单地使用[Kakushadze，2015b]中讨论的有界回归。类似地，我们可以通过[Kakushadze，2015a]中讨论的方法纳入交易成本。最后，让我们提到，如果我们使用[Kakushadze and Yu，2016b]的alg算法来建立统计风险模型，其中包括将风险因素（即主成分）K的数量与特定风险结合起来，我们最终将得到K<M主成分的回归，回归权重等于反向特定方差。

在股票的情况下，这比回归M个主成分的效果更好，回归权重特别设置等于K<M的K因子模型的逆特定方差[Kakushadzeand Yu，2016b]。这一点可能适用于，也可能不适用于，例如，N~ 十万个现实生活中的阿尔法。α权重的R代码在本附录中，我们给出了基于回归计算α权重的R源代码。下面的代码基本上是不言自明和直截了当的，尽管并非交易领域中的所有股票都可能是可选择的，并且意味着易挥发的。此外，还不清楚隐含波动是否会增加价值[Kakushadze，2015c]。因为它只是遵循5.3小节中的算法和公式。它由单个函数calc.opt组成。权重（e.r、ret、y=0、s=0、rm.总体=T）；e、 ris是我们希望优化的预期收益的N向量；N是基本收益的数量（例如Alpha）；ret是一个N×（M+1）回报矩阵；M+1是时间序列中数据点的数量（例如，天）；y是N×K因子加载矩阵OhmiA，A=1，K、 预先计算的，例如，通过（17）；否则，如果使用默认的y=0，代码将计算因子载荷矩阵Ys（s=1，…，M）- 1 ors=1，M取决于rm。总体=T或rm。总体=F–见下文）基于时间序列ret，通过第5.3小节的算法；s是通过（15）或（16）计算的特定风险ξipre的N向量；否则，如果使用默认的s=0，代码将s计算为样本方差的平方根；rm。总的来说，如果为真（默认），则意味着“总的”模式被取消；o另一方面，它被保留（见第5.3小节）。输出是优化的α权重的N向量wi，其被指定为pni=1 | wi |=1。

代码可以很容易地修改，例如（通过cbind（））组合预先计算的因子载荷矩阵OhmiAas在（17）中，它已经基于时间序列ret.calc.opt进行了计算。权重<-函数（e.r，ret，y=0，s=0，rm.totall=T）{if（length（s）=1）s<-应用（ret，1，sd）if（length（y）=1）{x<-ret rowMeans（ret）y<-x/sy<-y[，-ncol（x）]if（rm totall）{-T（T（y）-colMeans y）y<-y[，-ncol（y）]e.r<-矩阵（e.r/s，length（e，1）w<-t（y）%*%e.rw<-solve（t（y）%*%y）%*%ww<-e.r-y%*%ww<-w/sw<-w/sum（abs（w））return（as.vector（w））return（as.vector（w））}B免责声明只要上下文需要，男性包括女性和/或女性，单数形式包括复数，反之亦然。

本文作者（“作者”）及其附属公司，包括但不限于QuantigicSolutions LLC（“作者附属公司”或“其附属公司”）不作任何默示或明示保证或任何其他陈述，包括但不限于对适销性和特定用途的适性的默示保证，与rega r d相关或与rega r d相关，包括但不限于本文所含的任何代码或算法（“内容”）。作者可自行承担使用内容的风险，读者不得对作者或其附属机构提出任何索赔，作者及其附属机构不得对读者或任何第三方承担任何损失、费用、机会成本、，与读者使用内容有关或因读者使用内容而产生的任何损害或任何其他不利影响，包括但不限于：任何直接、间接、偶然、特殊、后果性或读者因任何责任理论而产生的任何其他损害；任何利益损失（无论是直接或间接产生的）、任何商誉或声誉损失、任何提供的数据损失、替代商品或服务的采购成本，或任何其他无形或无形损失；读者对内容的完整性、准确性或存在性或使用内容的任何其他影响的依赖；以及读者在使用内容时可能遇到的任何和所有其他不利或负面影响，无论作者或其同事是否、是否或应该意识到这些多样性或负面影响。本协议附录A中包含的R代码是QuantigicSolutions LLC受版权保护的R代码的专利，并在QuantigicSolutions LLC明确许可的情况下提供。