混合指数跳跃扩散下的占用时间期权定价

对于任何0≤ γ<min（η，θ），ρ>0，ρ>0和G（γ）<α，对于h<h，（9）Z∞αe-α-特克斯-ρRT{Xt≤h} dt-ρRT{Xt≥H} dt+γXTidT=Pm+1i=1ωLieβi，α+ρ（x-h）- cLeγx，x≤ H-Pm+1i=1ωieβi，α（x-H）-Pn+1j=1νje-γj，α（x）-h）- ceγx，h<x<h，Pn+1j=1νUje-γj，a+ρ（x）-H）- 线索γx，x≥ H、 式中cl=αG（γ）- （α+ρ），c=αG（γ）- α、 cU=αG（γ）- (α + ρ).系数q′的向量=ωLi；wi；νj；νUj；i=1，m+1；j=1，n+1满足线性系统B′Q′=V。这里V是（6）中定义的向量，B′是由B′给出的2S×2S m矩阵=M′N′ZβM′ZγN′,其中Zβ和Zγ是元素为0，0，eβ1，α（h-H） ，eβm+1，α（h-H） 哦，而且，0，eγ1，α（h-H） ，eγn+1，α（h）-H） 其中M′和N′由M′给出=1··11··1β1，α+ρ··βm+1，α+ρ-γ1,α· · · -γn+1，αη-β1,α+ρ· · ·η-βm+1，α+ρη+γ1，α···η+γn+1，α。。。。。。。。。。。。。。。。。。ηm-β1，α+ρ·ηm-βm+1，α+ρηm+γ1，α··ηm+γn+1，αθ+β1，α+ρ··θ+βm+1，α+ρθ-γ1,α· · ·θ-γn+1，α。。。。。。。。。。。。。。。。。。θn+β1，α+ρ···θn+βm+1，α+ρθn-γ1，α·θn-γn+1，αandN′型=1 · · · 1 1 · · · 1-γ1,α+ρ· · · -γn+1，α+ρβ1，α··βm+1，αη+γ1，α+ρ··η+γn+1，α+ρη-β1,α· · ·η-βm+1，α。。。。。。。。。。。。。。。。。。ηm+γ1，α+ρ···ηm+γn+1，α+ρηm-β1，α·ηm-βm+1，αθ-γ1,α+ρ· · ·θ-γn+1，α+ρθ+β1，α···θ+βm+1，α。。。。。。。。。。。。。。。。。。θn-γ1，α+ρ·θn-γn+1，α+ρθn+β1，α···θn+βm+1，α.在定理3中，如果我们让H→ h、 然后，它大大简化了表达式：推论1。给定常数ρ>0，ρ>0，γ≥ 0和α>0使得γ<min（η，θ）和G（γ）<α，我们有z∞αe-α-特克斯-ρRT{Xs≤h} ds-ρRT{Xs≥h} +γXTidT=（Pm+1i=1ωieβi，α+ρ（x-h）- ceγx，x≤ h、 Pn+1j=1νje-γj，α+ρ（x）-h）- ceγx，x>h，其中c=αG（γ）- （α+ρ），c=αG（γ）- (α + ρ).对于i=1，m+1，ωi=Qm+1j=1，j6=i（βj，α+ρ- γ） Qn+1k=1(-γk，α+ρ- γ） Qmj=1（ηj）- βi，α+ρ）Qnk=1（θk+βi，α+ρ）Qm+1j=1，j6=i（βj，α+ρ）- βi，α+ρ）Qn+1k=1(-γk，α+ρ- βi，α+ρ）Qmj=1（ηj- γ） Qnk=1（θk+γ）c，对于i=1。

n+1，νi=Qm+1j=1（βj，α+ρ- γ） Qn+1k=1，k6=i(-γk，α+ρ- γ） Qmj=1（ηj+γi，α+ρ）Qnk=1（θk- γi，α+ρ）Qm+1j=1（βj，α+ρ+γi，α+ρ）Qn+1k=1，k6=i(-γk，α+ρ+γi，α+ρ）Qmj=1（ηj- γ） Qnk=1（θk+γ）c，其中c=c- c、 证据。通过高斯消去，我们可以证明=1 1··1aa··aSη-aη-a··η-像ηm-aηm-a··ηm-aSθ+aθ+a···θ+aS。。。。。。。。。。。。θn+aθn+a··θn+aS其中S=m+n+2由det（A）给出-（Pmi=1ηi+Pnj=1θj）Q1≤i<j≤S（ai）- aj）Q1≤我≤S、 一,≤J≤S（Q1）≤K≤m（ηk）- ai）Q1≤L≤n（θl+aj））。如果det（A）6=0，那么矩阵A是可逆的，对于列向量 =1, γ,η- γ, . . . ,ηm- γ,θ+ γ, . . . ,θn+γ,线性系统AY= 有一个独特的解决方案*= （y）*, . . . , Y*S） ，其中，对于i=1，2，S、 y*i=Qj6=i（aj- γ） Qmk=1（ηk- ai）Qnl=1（θk+ai）Qj6=i（aj）- ai）Qmk=1（ηk）- γ） Qnl=1（θk+γ）。当H→ h完成了证明。4.占用时间期权定价我们现在展示了我们的理论结果如何可以轻松地应用于各种占用时间期权的定价。其思想是获得期权价格的（双）拉普拉斯变换的显式表达式，然后可以使用著名且研究充分的拉普拉斯反演技术对其进行反演，以获得数值价格；参见例如[10]和[3]以及其中的参考文献。请注意，使用这种方法，以及第3节的结果，可以分析许多其他（以及更复杂的）占用时间导数。4.1. 步进和双障碍步选项。正如引言中已经提到的，一个（向下和向外呼叫）步进选项允许以下支付：-ρRT{St≤五十} dt（ST- K） +=e-ρRT{Xt≤ln（L/S）}dt性爱- K+.然后，它的价格可以写成步骤（k，T）：=e-rTEE-ρRT{Xt≤ln（L/S）}dt性爱- E-K+,其中k=- ln（K）。

按照Carr和Madan对vanilla期权的方法，如[4]（另见[10]和[3]），我们可以很容易地计算Cstep（k，T）：Z的双拉普拉斯变换∞Z∞-∞E-αT-βkCstep（k，T）dkdT=e-rTSβ+1w（ln（S）；-∞, ln（L/S），α，ρ，β+1）αβ（β+1），其中w（x；h，h，α，ρ，γ）由定理2给出。注意，后一个选项的deltaof双拉普拉斯变换可以很容易地从上面得到。回想一下，双障碍阶梯选项的回报是：-ρ-RT{St≤五十} dt-ρ+RT{St≥U} dt（ST- K） +，其中ρ-ρ+是淘汰率。然后，它的价格可以写为double（k，T）：=e-rTEE-ρ-RT{Xt≤ln（L/S）}dt-ρ+RT{Xt≥ln（U/S）}dt性爱- E-K+,其中k=- ln（K）。同样，我们可以很容易地计算它的双拉普拉斯变换：Z∞Z∞-∞E-αT-βkcduble（k，T）dkdT=e-rTSβ+1w（ln（S）；ln（L/S），ln（U/S）α，ρ-, ρ+，β+1）αβ（β+1），其中，w（x；h，h，α，ρ-, ρ+，γ）=Z∞αe-α-特克斯-ρRT{Xt≤h} dt-ρRT{Xt≥H} dt+γXTidTis由定理3.4.2给出。分位数选项。从介绍中回忆起，固定罢工α-分位数呼叫选项会获得以下回报：0≤ α ≤ 1.Seγq（α，T）- K+,式中q（α，T）=infh:ZT{Xt≤h} dt>αT.对于任何0≤ υ ≤ T，这个α分位数看涨期权的价格可以写成分位数（Γ，T）=e-rTEh（Seλq（ν/T，T）- K） +i.然后，Cquantile（Γ，T）的双拉普拉斯变换由z给出∞Z∞E-αT-ρρCquantile（Γ，T）1{Γ<T}dT dΓ=Pm+1i=1λKρωiβi，α+ρ-λ（S/K）（βi，α+ρ+λ）/如果K≤ S、 Pm+1i=1λKρωiβi，α+ρ-λ（S/K）（βi，α+ρ+λ）/λ-Pn+1j=1λKρνjγj，α+λ（1- （S/K）（γi，α+ρ+λ）/λ）+（S）-K） α（α+ρ）如果K<S，其中{ωi，i=1，…，m+1}和{νj，j=1，…，n+1}由定理2.5给出。致谢支持这项工作的资金由魁北克自然与科技基金会（FRQNT）提供。J.-F.雷诺als o感谢蒙特勒阿尔金融研究所（IFM2）的财务支持。6.

定理2x<hw（x）=Exhe的证明-ρReα{h<Xs<h}ds+γXeαi=Exhe-ρReα{h<Xs<h}ds+γXeα，eα<τ+hi+Exhe-ρReα{h<Xs≤H} ds+γXeα，τ+H≤ eαi=ExeγXeα，eα<τ+h+ 告密-ρReα{h<Xs≤H} ds+γXeα，τ+H≤ eαi=Ex“Zτ+hαe-αs+γXsds#+Exhe-ρReα{h<Xs≤H} ds+γXeα，τ+H≤ eαi.（10）将其公式应用于过程{e-αt+γXt，t≥ 0}，我们得到processMt:=e-α（t）∧τ+h）+γXt∧τ+h- eγX-Zt∧τ+he-αs-αeγXs+LeγXsds=e-α（t）∧τ+h）+γXt∧τ+h- eγx- （G（γ）- α） Zt∧τ+he-αs+γXsds是从M=0开始的局部鞅。由于G（γ）<α，它遵循富比尼的理论中兴通讯-αs+γXsds=中兴通讯-α-硒eγXsds=Zte(-α+G（γ））sds=e(-α+G（γ））t- 1(-α+G（γ））<∞,尽管如此，t≥ 利用勒贝格的支配收敛定理，我们得到{Mt，t≥ 0}实际上是一个鞅。特别是，（11）前E-ατ+h+γXτ+h- eγx= （G（γ）- α） Ex“Zτ+he-αs+γXsds#。将（11）代入（10），利用X的强马尔可夫性和eα的无记忆性，我们得到（12）w（X）=αG（γ）- α前任E-ατ+h+Xτ+h- eγx+ 告密-ατ+hwXτ+hi、 类似地，对于x>H，（13）w（x）=αG（γ）- α前任E-ατ-h+γXτ-H- eγx+ 告密-ατ-hwXτ-Hi、 对于h≤ 十、≤ H、 （14）w（x）=αG（γ）- (α + ρ)告密-（α+ρ）τ+γXτi- eγx+ 告密-（ρ+α）τw（Xτ）i.定义如下：w（X）=w（x），x≤ h、 w（x），h<x<h，w（x），x≥ H、 将定理1和方程（12）、（13）和（14）结合起来，我们得到w（x）必须是以下形式：（15）Exhe-ρReα{h<Xt<h}dt+γXeαi=Pm+1i=1ωLieβi，α（x-h）- cLeγx，x≤ H-Pm+1i=1ωieβi，α+ρ（x-H）-Pn+1j=1νje-γj，α+ρ（x）-h）- ceγx，h<x<h，Pn+1j=1νUje-γj，α（x）-H）- 线索γx，x≥ H、 用ωLi，ωi，νjandνujt来确定。

现在，我们需要方程来确定这些系数。再次使用方程（12）、（13）和（14），我们得到w（x）mus t满足（16）L- α - ρ1{h<x<h}w（x）=-αeγx，x∈ R\\{h，h}。然后，方程（16）可以重写为区域中的三个独立方程(-∞, h） ，（h，h）和（h+∞).对于x<h，（17）- αeγx=σw′（x）+uw′（x）- （λ+α）w（x）+λZ-∞w（x+y）nXj=1qjθjeθjydy+Zh-xw（x+y）mXj=1pjηje-ηjydy+ZH-xh-xw（x+y）mXj=1pjηje-ηjydy+Z+∞H-xw（x+y）mXj=1pjηje-ηjydy.对于h<x<h，（18）- αeγx=σw′（x）+uw′（x）- （λ+ρ+α）w（x）+λZh-十、-∞w（x+y）nXj=1qjθjeθjydy+Zh-xw（x+y）nXj=1qiθieθiydy+ZH-xw（x+y）mXj=1pjηje-ηjydy+Z+∞H-xw（x+y）mXj=1pjηje-ηjydy.最后，对于x>H，（19）- αeγx=σw′（x）+uw′（x）- （λ+α）w（x）+λZh-十、-∞w（x+y）nXj=1qjθjeθjydy+ZH-xh-xw（x+y）nXj=1qiθieθiydy+ZH-xw（x+y）nXj=1qiθieθiydy+Z+∞w（x+y）mXj=1pjηje-ηjydy.将（15）中得到的表达式代入（17）、（18）和（19），我们得到，对于x<h，0=mXj=1pjηjeηj（x-h） （m+1Xi=1ωLiηj）- βi，α+ωieβi，α+ρ（h-H） ηj- βi，α+ρ+n+1Xi=1νiηj+γi，α+ρ- （cL）- c） eγhηj- γ） +mXj=1pjηjeηj（x-H） （m+1Xi=1）ωiηj- βi，α+ρ+n+1Xi=1νie-γi，α+ρ（h）-H） ηj+γi，α+ρ+νUiηj+γi，α！- （cL）- c） eγHηj- γ).对于x>H，0=nXj=1qjθjeθj（H-x） （m+1Xi=1ωLiθj+βi，α+ωieβi，α+ρ（h）-H） θj+βi，α+ρ+n+1Xi=1νiθj- γi，α+ρ- （cL）- c） eγhθj+γ）+nXj=1qjθjeθj（h）- x） （m+1Xi=1）ωiθj+βi，α+ρ+n+1Xi=1-νie-γi，α+ρ（h）-H） θj- γi，α+ρ+νUiθj- γi，α！- （cL）- c） eγHθj+γ）。因此，向量Q或换句话说，系数{ωLi，i=1，…，m+1}，{ωi，i=1，…，m+1}，{νi，i=1，…，n+1}和{νUi，i=1，…，n+1}满足以下条件：，m、 0=m+1Xi=1ωLiηj- βi，α+ωieβi，α+ρ（h-H） ηj- βi，α+ρ+n+1Xi=1νiηj+γi，α+ρ- （cL）- c） eγhηj- γ、 0=m+1Xi=1ωiηj- βi，α+ρ+n+1Xi=1-νie-γi，α+ρ（h）-H） ηj+γi，α+ρ+νUiηj+γi，α！- （cL）- c） eγHηj- γ、 对于每个j=1。

n，0=m+1Xi=1ωLiθj+βi，α+ωieβi，α+ρ（h-H） θj+βi，α+ρ+n+1Xi=1νiθj- γi，α+ρ- （cL）- c） eγhθj+γ，0=m+1Xi=1ωiθj+βi，α+ρ+n+1Xi=1-νie-γi，α+ρ（h）-H） θj- γi，α+ρ+νUiθj- γi，α！- （cL）- c） eγHθj+γ。此外，我们还有以下四个方程：m+1Xi=1ωLi- cLeγh=m+1Xi=1-ωieβi，ρ+α（h-H）-n+1Xi=1νi- ceγh，（20）n+1Xi=1νUi- 线索γH=m+1Xi=1-ωi-n+1Xi=1νie-γi，ρ+α（H）- h）- ceγH，（21）m+1Xi=1ωLiβi，α- cLγeγh=m+1Xi=1-ωiβi，α+ρeβi，ρ+α（h-H） +n+1Xi=1νiγi，α+ρ- cγeγh，（22）n+1Xi=1-νUiγi，α- cUγeγH=m+1Xi=1-ωiβi，α+ρ+n+1Xi=1νiγi，α+ρe-γi，ρ+α（H）- h）- cγeγH.（23）事实上，方程（20）和（21）直接来自于w（x）在x=hand x=H处连续的事实。对于方程（22）和（23）的证明，请注意，对于H<x<H，- αeγx=σw′（x）+uw′（x）- （λ+ρ+α）w（x）+λZh-十、-∞w（x+y）nXj=1qjθjeθjydy+Zh-xw（x+y）nXj=1qiθieθiydy+ZH-xw（x+y）mXj=1pjηje-ηjydy+Z+∞H-xw（x+y）mXj=1pjηje-ηjydy.用表达式代替w（x），w（x）和w（x）得到，对于h<x<h，（24）- αeγx=-m+1Xi=1eβi，α+ρ（x-H） ωiσβi，α+ρ- uβi，α+ρ- (λ + α + ρ)-n+1Xi=1eγi，α+ρ（x-h） νjσγi，α+ρ- uγi，α+ρ- (λ + α + ρ)+ λZh-十、-∞m+1Xi=1eβi，α（x+y）-h） ωLinXj=1qjθjeθjydy-Zh-xm+1Xi=1eβi，α+ρ（x+y）-H） ωinXj=1qjθjeθjydy-Zh-xn+1Xi=1eγi，α+ρ（x+y）-h） νinXj=1qjθjeθjydy-ZH-xm+1Xi=1ωieβi，α+ρ（x+y）-H） mXj=1pjηje-ηjydy-ZH-xn+1Xj=1νje-γj，α+ρ（x）-h） mXj=1pjηje-y（ηj+γj，α）dy+Z+∞H-xn+1Xj=1νUje-γj，α（x+y）-H） mXj=1pjηje-ηjydy- c（L）- α - ρ） eγx- λcLZh-十、-∞eγ（x+y）nXj=1qjθjeθjydy- 捷克-十、-∞eγ（x+y）nXj=1qjθjeθjydy- cZ+∞H-xeγ（x+y）mXj=1pjηje-ηjydy+cUZ+∞H-xeγ（x+y）mXj=1pjηje-ηjydy.自从-c（L）- α - ρ） eγx=-αeγx和g（βi，α+ρ）- α - ρ=G（γj，α+ρ）- α - ρ=0，然后计算等式（24）的二阶导数，得到（23）和（23）。定理2的证明是完整的。参考文献[1]N.蔡，关于超指数跳跃扩散过程的首次通过时间，Oper。雷特。37（2009），第2号，127-134。[2] 蔡、陈和X。

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