混合指数跳跃扩散下的占用时间期权定价

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英文标题：
《Pricing occupation-time options in a mixed-exponential jump-diffusion
  model》
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作者：
Djilali Ait Aoudia, Jean-Fran\\c{c}ois Renaud
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In this short paper, in order to price occupation-time options, such as (double-barrier) step options and quantile options, we derive various joint distributions of a mixed-exponential jump-diffusion process and its occupation times of intervals.
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中文摘要：
在这篇短文中，为了给（双障碍）阶跃期权和分位数期权等占用时间期权定价，我们推导了混合指数跳扩散过程及其区间占用时间的各种联合分布。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Pricing_occupation-time_options_in_a_mixed-exponential_jump-diffusion_model.pdf (242.18 KB)

2022-5-11 04:11:37 上传

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关键词：期权定价 Mathematical Differential Quantitative distribution

在混合指数跳跃扩散模型中对占用时间期权进行定价。在这篇短文中，为了给（双障碍）阶跃期权和分位数期权等占用时间期权定价，我们推导了混合指数跳跃扩散过程及其区间占用时间的各种联合分布。1.引言让（基础）资产的价格S={St，t≥ 0}的形式为：St=SeXt，其中X={Xt，t≥ 0}是一个需要指定的过程（日志返回过程）。例如，在Black-Scholes-Merton（BSM）模型中，X是一个带漂移的布朗运动。Sin在区间I中所花费的时间，或相当于X在区间I′中从时间0到时间T所花费的时间，由ait:=ZT{St给出∈一} dt=ZT{Xt∈I′}dt。与占用时间相关的选项通常被视为广义障碍选项。从风险管理的角度来看，当标的资产价格跨越障碍时，占用时间期权的收益将取决于高于/低于该障碍所花费的时间，而不是被激活（或取消），这是一个问题：价值的变化更为缓慢。有几种不同的期权：（障碍）阶梯期权、走廊衍生品、累积（-boost）期权、分位数期权、（累积）巴黎期权等。有关综述，请参见示例[16]。Linetsky[13]介绍了一种（向下和向外呼叫）步进选项，允许以下支付：-ρAL，-T（圣- K） +=e-ρAL，-T性爱- K+,在那里，-T=ZT{St≤五十} 其中ρ>0称为淘汰率。事实上，有趣的是，我们有以下关系：{τ-五十> T}（ST- （K）+≤ E-ρAL，-T（圣- （K）+≤ （圣- K） +。日期：2022年3月25日。关键词和短语。路径依赖选项、占用时间、跳跃差异、混合指数分布。τ在哪里-L=inf{t≥ 0:St≤ 五十} 。

后来，Davydov和Linetsky[6]研究了双障碍阶梯式看涨期权，这是双障碍期权的推广（见[8]）：e-ρ-艾尔，-T-ρ+AU，+T（ST- K） +=e-ρ-艾尔，-T-ρ+AU，+T性爱- K+,式中，+T=ZT{St≥U} dt，其中ρ-ρ+是淘汰率。例如，BSM模型中提供了双障碍阶梯期权的价格表达式，Kou模型中提供了单障碍阶梯期权的价格表达式。Fusai[7]在BSM模型中进行了研究（另见Akahori和Takács的工作），corridoroption承认了以下结果：对于K<T，阿尔，犹他州- K+=ZT{h<Xs<h}ds- K+.如果h=-∞, 这被称为障碍选项。在BSM模型中，该占用时间的分布与托利维的正弦弧定律有关。同样，BSM模型中提供了双障碍期权的价格表达式，Kou模型中提供了单障碍期权的价格表达式。Miura[15]引入了α-分位数选项作为回望选项的扩展。对数返回过程X的α-分位数为0≤ α ≤ 1，byq（α，T）：=infh:ZT{Xt≤h} dt>αT.固定行使α分位数看涨期权可获得以下收益：Seγq（α，T）- K+.当α=0和γ=1时，分位数选项被减少为回望选项。实际上，当α=0时，q（0，T）=sup0≤T≤TXt。总之，为了给这些选项定价，我们对ZT{L<St<U}dt，St,或者相当于，ZT{h<Xt<h}dt，Xt,其中h=ln（L/S）和h=ln（U/S）。在Black-Scholes-Merton模型、恒定方差弹性（CEV）模型和inKou模型中，推导这种联合分布（联合拉普拉斯变换）的标准技术是使用费曼-卡c公式；参见[9]、[12]和[2]。我们的目标是为占用时间选项定价。这样，我们扩展了蔡、陈和万[2]在一篇优秀论文中获得的结果。

我们在两个方向上扩展了他们的结果：同时观察占领时间的更一般的函数和更一般的跳跃-扩散过程。例如，为了给两步期权定价，我们推导了ZT{Xt<h}dt，ZT{Xt>h}dt，Xt.我们开发了一种概率方法，以在混合指数跳跃扩散模型（MEM）中获得这些分布，这种方法通常被称为摄动方法，符合Géman&Yor[8]的精神；它基于使用单边和双边退出问题的解决方案对潜在（对数回归）过程的轨迹进行分解。我们的方法使用了蔡和寇[3]开发的结果的扩展（另见[5]）。最后，回答[2]中的几个开放性问题；参见第434页第一段和引理3.1。总之，本文的贡献包括对混合指数跳跃扩散过程的几个联合拉普拉斯（-Carson）变换及其区间占用时间（均在固定时间采样）的新概率推导，以及混合指数模型中（双屏障）阶跃期权和α-分位数期权等占用时间导数的定价。目标如[2]所示，但采用更一般的模型和不同的方法。论文的其余部分组织如下。第2节介绍了混合指数跳跃扩散过程及其一些基本性质。在第3节中，我们介绍了关于混合指数跳跃扩散过程中的占用时间的主要理论结果；证据留在附录里。最后，在第4节中，我们使用第3节的结果来推导各种占用时间选项价格的拉普拉斯变换。2.

混合指数跳跃扩散过程一个Lévy跳跃扩散过程X={Xt，t≥ 0}定义为xt=X+ut+σWt+NtXi=1Yi，其中u∈ R和σ≥ 0分别代表扩散部分的漂移和波动性，W={Wt，t≥ 0}是（标准）布朗运动，N={Nt，t≥ 0}是速率为λ且{Yi，i=1，2，…}的齐次泊松过程是独立且分布相同的随机变量。这些量是相互独立的。当σ>0时，X的最小生成函数作用于函数h∈ 由（1）Lh（x）=uh′（x）+σh′（x）+λZ给出∞-∞（h（x+y）- h（x））fY（y）dy.当σ=0时，函数h只需一次可微。在跳差市场模型中，资产价格S的动态在风险中性测度P下由：dStSt给出-= rdt+σdWt+dNtXi=1哎呀- 1.!,其中r>0是无风险利率。通过求解这个微分方程，可以得到SST=SeXt=Sexp（ut+σWt+NtXi=1Yi），其中u=r- σ/2- λE嗯- 1.. 显然，出于这个目的，我们需要假设theYi有一个有限的矩母函数。在Merton[14]的开创性工作中，Yi的公共分布被选为正态分布，而在[11]中，它是一个双指数分布，即公共概率密度函数（pdf）由fy（y）=pηe给出-ηy{y≥0}+ (1 - p） θeθy{y<0}，其中0<p<1，η>0，θ>0。当跳跃大小是超经验分布时，它们的公共pdf由（2）fY（y）=mXi=1piηie给出-ηiy{y≥0}+nXj=1qjθjeθjy{y<0}，其中pi，qj>0表示所有i=1，2，m和j=1，2，n、 pmi=1pi+Pnj=1qi=1，式中η<…<η和θ<。

<θn，那么X被称为超指数跳跃扩散（HEJD）过程，市场模型被称为超指数模型（HEM）。我们将使用一种更一般、更灵活的跳跃分布：混合指数分布。在这种情况下，公共pdf由（3）fY（y）=pumXi=1piηie给出-ηiy{y≥0}+qdnXj=1qjθjeθjy{y<0}，其中pu，qd≥ 0和pu+qd=1，其中现在是pi，qj∈ (-∞, ∞) 对于所有i=1，2，m和j=1，2，n、 这样PMI=1pi=1，Pnj=1qi=1，其中η<…<η和θ<…<θn.由此产生的跳跃扩散过程X被称为混合指数跳跃扩散（MEJD）过程，市场模型被称为混合指数模型（MEM）。MEM是一种财务模型，能够很好地拟合数据，并且仍然非常易于处理；有关更多信息，请参见[3]。其主要特点之一可能是混合指数分布可以近似任何跳跃分布（在弱收敛的意义上）。有关这一过程的更多信息，请参见蔡和寇[3]的论文。在本文的其余部分中，X的定律，即X=X用px表示，相应的期望值用Ex表示；当x=0时，我们写P和E。MEJDX的Lévy指数由g（ζ）=lne[exp（ζXt）]t=uζ+σζ+λpumXi=1piηiηi给出- ζ+qdnXi=1qiθiθi+ζ- 1.对于任何ζ∈ (-θ, η). 然后，很明显，这个过程的趋势由[X]=G′（0+）=u+λ给出pumXi=1piηi- qdmXj=1qjθj.对于任何α∈ R、 函数ζ7→ G（ζ）- α最多有n+m+2个实根。可以证明（见[3，定理3.1]）对于足够大的α>0，相应的Cramér-Lundberg方程G（ζ）=α有n+m+2个不同的实根；有m+1阳性根，用β1，α，βm+1，α和n+1负根γ1，α，γn+1，α，s atisfying0<β1，α<η<β2，α<…<ηm<βm+1，α<∞,-∞ < γn+1，α<-θn<γn，α<。

< γ2,α< θ< γ1,α< 0.最后，让S=m+n+2并定义-→ρα=（ρ1，α，…，ρS，α）=（β1，α，…，βm+1，α，γ1，α，…，γn+1，α），包含所有根的向量。假设2.1。对于本文的其余部分，我们假设，对于给定的α值，CramérLundberg方程G（ζ）=α具有如上所述的n+m+2个直接实解。备注2.1。对于HEJD，在[1]中对根进行了详细研究。首次通过和双边退出问题。为了b∈ R、 定义首次通过时间τ+b=inf{t≥ 0:Xt>b}和τ-b=inf{t≥ 0:Xt<b}，使用约定inf = ∞.考虑两个势垒水平h和h，使h<h。如[3，定理3.3]所示，对于任何足够大的α>0，θ<η和x<hE-ατ+h+θXτ+h=m+1Xi=1cieβi，αx，其中（c，c，…，cm+1）是常数向量（由非奇异线性系统唯一确定）。这里需要指出的是，系数取决于α、θ和h，以及过程的参数（显式和隐式）。最近，在[5，定理2.5]中，对于HEJD（不是MEJD）过程的情况，使用与[3，定理3.3]相同的证明方法得到了一个非常类似的结果。这已经发生了，因为≥ （h，h）candh<x<h，Exhe上的非负有界函数g（·）-α（τ+H）∧τ-h） gXτ+H∧τ-Hi=SXi=1bieρix，其中（b，b，…，bS）是也要确定的常数向量。现在，我们提供了上述结果的轻微扩展。证据留给读者；它遵循与[3，定理3.3]和[5，定理2.5]的证明相同的步骤。定理1。让X成为一个MEJD过程。在假设2.1下，对于给定的α>0的值，对于非负且有界的实值函数g（·），我们有：（1）对于x<H，Exhe-ατ+HgXτ+Hi=m+1Xi=1ωieβi，αx，其中-→ω = (ω, ω, . . .

ωm+1）是由以下线性系统（唯一）确定的向量：啊，α-→ω=JH，g，其中AH，α是由AH，α给出的（m+1）×（m+1）非奇异矩阵=eβ1，αHeβ2，αH。eβm+1，αHeβ1，αHη-β1，αeβ2，αHη-β2,α. . .eβm+1，αHη-βm+1，αeβ1，αHη-β1，αeβ2，αHη-β2,α. . .eβm+1，αHη-βm+1，α。。。。。。。。。。。。eβ1，αHηm-β1，αeβ2，αHηm-β2,α. . .eβm+1，αHηm-βm+1，α,其中JH，gis是一个（m+1）维向量，由g（H+），eηHZ∞Hg（y）e-ηydy，eηHZ∞Hg（y）e-ηydy，eηmHZ∞Hg（y）e-ηmydy.（2） 对于x>h，Exhe-ατ-汞Xτ-Hi=n+1Xi=1νieγi，αx，其中-→ν=（ν，ν，…，νn+1）是由以下线性系统（唯一）确定的向量：啊，α-→ν=Jh，g，其中Ah，α是由Ah，α给出的（n+1）×（n+1）非奇异矩阵=eγ1，αheγ2，αh。eγn+1，αheγ1，αhθ+γ1，αeγ2，αhθ+γ2，α。eγn+1，αhθ+γn+1，αeγ1，αhθ+γ1，αeγ2，αhθ+γ2，α。eγn+1，αhθ+γn+1，α。。。。。。。。。。。。eγ1，αhθn+γ1，αeγ2，αhθn+γ2，α。eγn+1，αhθn+γn+1，α,其中Jh，gis是一个（n+1）维向量，由g（h）-), E-θhZh-∞g（y）eθydy，e-θhZh-∞g（y）eθydy，E-θnhZh-∞g（y）eθnydy.（3） 对于h<x<h，Exhe-α（τ+H）∧τ-h） gXτ+H∧τ-Hi=m+1Xi=1ωieβi，αx+n+1Xi=1νieγi，αx=SXi=1Qieρi，αx，其中Q=（Q，Q，…，QS）=（ω，ω，…，ωm+1，ν，ν，…，νn+1）是由以下线性系统（唯一）确定的向量：Ah，H，αQ=Jh，H，g，其中Ah，H，α是由Ah，H，H，α给出的S×S非奇异矩阵=eβ1，αh。eβm+1，αheγ1，αh。eγn+1，αheβ1，αH。eβm+1，αHeγ1，αH。eγn+1，αHeβ1，αhθ+β1，α。eβm+1，αhθ+βm+1，αeγ1，αhθ+γ1，α。eγn+1，αhθ+γn+1，α。。。。。。。。。。。。。。。eβ1，αhθn+β1，α。eβm+1，αhθn+βm+1，αeγ1，αhθn+γ1，α。eγn+1，αhθn+γn+1，αeβ1，αhη-β1,α. . .eβm+1，αHη-βm+1，αeγ1，αHη-γ1,α. . .eγn+1，αHη-γn+1，α。。。。。。。。。。。。。。。eβ1，αHηm-β1,α. . .eβm+1，αHηm-βm+1，αeγ1，αHηm-γ1,α. . .eγn+1，αHηm-γn+1，α=eρ1，αheρ2，αh。eρS，αheρ1，αheρ2，αH。eρS，αHeρ1，αhθ+ρ1，αeρ2，αhθ+ρ2，α。eρS，αhθ+ρS，α。。。。。。。。。。。。eρ1，αhθn+ρ1，αeρ2，αhθn+ρ2，α。

.eρS，αhθn+ρS，αeρ1，αhη-ρ1，αeρ2，αHη-ρ2,α. . .eρS，αHη-ρS，α。。。。。。。。。。。。eρ1，αHηm-ρ1，αeρ2，αHηm-ρ2,α. . .eρS，αHηm-ρS，α,其中Jh，H，g是由Jh，H，g给出的S维向量=JH，g，JH，g.显然，根据停车时间的定义，如果x>h（分别x<h），则-ατ+hgXτ+hi=g（x）响应。告密-ατ-汞Xτ-Hi=g（x）,如果x<h或x>h，则-α（τ+H）∧τ-h） gXτ+H∧τ-Hi=g（x）。我们的主要结果我们的第一个目标是获得ZT{h<Xt<h}dt，Xt,对于给定的T>0。为了做到这一点，我们将计算以下关于T的联合拉普拉斯-卡森变换：对于每个x∈ R、 集合（4）w（x；h，h，α，ρ，γ）：=Z∞αe-α-特克斯-ρRT{h<Xt<h}dt+γXTidT，其中α>0，ρ≥ 0和γ∈ R.显然，我们有W（x）=Exhe-ρReα{h<Xt<h}dt+γXeαi，其中eα是平均值为1/α的指数分布随机变量（与X无关）。这是我们的主要结果。定理2。对于任何0≤ γ<min（η，θ），ρ>0和G（γ）<α，我们有z∞αe-α-特克斯-ρRT{h<Xt<h}dt+γXTidT=Pm+1i=1ωLieβi，α（x-h）- cLeγx，x≤ H-Pm+1i=1ωieβi，α+ρ（x-H）-Pn+1j=1νje-γj，α+ρ（x）-h）- ceγx，h<x<h，Pn+1j=1νUje-γj，α（x）-H）- 线索γx，x≥ H、 式中Cl=cU=αG（γ）- α、 c=αG（γ）- (α + ρ).系数Q的向量=ωLi；ωi；νj；νUj；i=1，m+1；j=1，n+1满足线性系统（5）BQ=V。这里V是2S维向量，（6）V=（cU- c）VV其中S维列向量Vand Vare由v给出=eγh，γeγh，eγhη- γ、 ··，eγhηm- γ、 eγhθ+γ，··，eγhθn+γ五=eγH，γeγH，eγHη- γ、 ··，eγHηm- γ、 eγHθ+γ，··，eγHθn+γB是一个2S×2S矩阵（7）B=mnzβMZγN,其中Zβ和Zγ是元素为0，0，eβ1，α+ρ（h-H） ，eβm+1，α+ρ（h）-H） oandn0，0，eγ1，α+ρ（h）-H） 。

，eγn+1，α+ρ（h）-H） 分别为o，其中M和N由M给出=1··11··1β1，α··βm+1，α-γ1,α+ρ· · · -γn+1，α+ρη-β1,α· · ·η-βm+1，αη+γ1，α+ρ···η+γn+1，α+ρ。。。。。。。。。。。。。。。。。。ηm-β1，α·ηm-βm+1，αηm+γ1，α+ρ·ηm+γn+1，α+ρθ+β1，α··θ+βm+1，αθ-γ1,α+ρ· · ·θ-γn+1，α+ρ。。。。。。。。。。。。。。。。。。θn+β1，α···θn+βm+1，αθn-γ1，α+ρ·θn-γn+1，α+ρ安德=1 · · · 1 1 · · · 1-γ1,α· · · -γn+1，αβ1，α+ρ··βm+1，α+ρη+γ1，α··η+γn+1，αη-β1,α+ρ· · ·η-βm+1，α+ρ。。。。。。。。。。。。。。。。。。ηm+γ1，α···ηn+γn+1，αηm-β1，α+ρ·ηm-βm+1，α+ρθ-γ1,α· · ·θ-γn+1，αθ+β1，α+ρ··θ+βm+1，α+ρ。。。。。。。。。。。。。。。。。。θn-γ1，α·θn-γn+1，αθn+β1，α+ρ···θn+βm+1，α+ρ.为了使最后一个定理得到明确的结果，我们必须知道（5）中的线性系统是如何可解的：引理3.1。在假设2.1下，对于α>0的给定值，在（7）中给出的矩阵B是不可变换的。证据设S=m+n+2，对于某些向量C=（C，C，…，C2S），假设BC=0。考虑函数V（x）=P2Si=1Cieρix代表x∈ （h，h），V（x）=0，否则，ρ，ρ2s是方程G（x）=α的不同实零。因为BC=0，V（x）是边值问题（8）的解(L- α - ρ1{h<x<h}φ（x）=0 x∈ （h，h），φ（x）=0 x∈ (-∞, h]∪ [H+∞).从解的唯一性到边值问题（8），V（x）≡ 0开（h，h）。既然{eρix，≤ 我≤ 2S}是线性独立的，那么C=0，B是可逆的。使用与定理2证明相同的方法，我们可以证明以下结果。定理3。