菲利普斯曲线的Mittag-Leffler拟合

为了评估单参数ML函数，使用了Podlubny、Chen和Garrappa（Podlubny，2005年、2011年；Chen，2008a、b；Garrappa，2015年）创建的Matlab函数，所有这些函数都给出了相同的结果。4数值结果和讨论为了评估拟议的ML模型（7）与动力型模型（5）和指数型模型（6）相比的性能，使用了两个欧洲国家（法国和瑞士）的经济计量数据，这些数据来自EconStatsTMportal（Econstats.com，2019）。1980年至2017年期间的失业率和通货膨胀率。表3.0 5 10 15 20-0.4-0.20.20.40.60.8原始函数带噪数据拟合（a）y（x）=c Eα（b xα）0 5 10 200.20.40.60.81.2原始函数带噪数据拟合（b）y（x）=exerfc(√x） 0 5 10 15 20-0.6-0.4-0.20.20.40.60.8原始函数带噪数据拟合（c）y（x）=e-αxcos（x）0 5 10 15 20-1.5-1-0.50.51.5原始函数有噪数据ML拟合（d）y（x）=cos（x）图2：使用不同的函数y（x）生成数据的Mittag Le Fitter fitting（Podlubny，2011）。4.1拟合优度统计和数据预处理拟合模型和所用数据之间的平方误差之和（SSE）作为拟合标准，数值接近0表示模型的随机误差分量较小。此外，还评估了其他一些质量指标，即区间[0,1]的R平方，其值接近1，表明模型考虑的方差比例更大（例如。

值为0.7325意味着该系数解释了平均值相关数据总变化的73.25%；调整后的R-squ是一种统计数据，其值较小或等于1，其中接近1的值表示较好；均方根误差（RMSE），其值接近于0，表示对预测更有用（MathWorks，2019）。所使用的数据集，其中失业率对应于x坐标，通货膨胀率对应于每个样本的y坐标，代表从研究y期间开始的每年这两个指示器的状态，首先分为两个子集，“建模”子集用于识别模型参数，用于评估预测的“样本外”子服务执行模型的ce。对于这两个经济体，即法国ADSWIs，所有三个模型都首先通过最小化SSE，识别最佳参数，从“建模”子集（由31个样本组成）的数据中拟合。然后使用获得的参数计算识别模型到“样本外”子集（由失业率最大值的7个样本组成）的SSE，以及匹配模型到完整数据集的SSE。4.2实验第一个实验使用法国计量经济数据进行。31个样本的“mo-delling”子集用于识别目的。所有三个模型，即幂型模型（5）、指数型模型（6）和最大似然模型（7），都适用于这些数据，从而使SSE最小化，从而获得最佳参数。然后使用识别的模型计算38个样本（包括“样本外”子集）的完整数据集的SSE。表1显示了SSE对“mo-delling”子集、SSE对“样本外”子集和SSE对法国菲利普斯曲线完整数据集的结果，以及R平方、调整后的R平方和RMSE的值。

在所有列出的统计指标中，TheML模型都优于比较模型，SSE对“样本外”子集的影响是指数型模型的两倍，几乎是幂型模型的三倍（见表1，粗体代表betterresult）。表1：法国菲利普斯曲线拟合的统计结果。幂型模型指数型模型ML模型从样本子集10.9024 8.0347 3.9904SSE到“建模子集157.8422 155.8276 149.6035SSE到”完成数据集168.7446 163.8623 153.5939R平方0.5634 0.569 0.5862调整后的R平方0.5322 0.5382 0.5567RMSE2.374 2.359 2.311模型y（x）=BxC- a y（x）=b ec x-a y（x）=c Eα（b xα）定义a=1.552 a=-0.0187α=1.358识别b=1.009e+04 b=563.6 b=-0.6378参数c=-3.471 c=-0.571摄氏度=-149.9图3还显示了法国菲利普斯曲线拟合的结果，其中可以观察到所有三种模型的类似现象，即随着失业率的增加，通货膨胀率呈指数下降。然而，对于最后的样本，与幂型和指数型模型相比，ML模型的减少速度减慢。ML模型的这种行为显然比复制“样本外”子集的趋势更好。这一点也可以通过“样本外”子集的拟合曲线的最小SSE值来证实（见表1）。6 7 8 10 11 12失业率[%]“建模”子集“样本外”子功率型模型指数型模型Mittag-Leffler模型图3：拟合法国菲利普斯曲线。与法国的情况相同，瑞士的经济计量数据（失业率和通货膨胀率）首先进行了预处理。

完整的数据集被分成由31个样本组成的“建模”子集，用于确定功率型模型（5）、指数型模型（6）和ML模型（7）的最佳参数。“建模”子集和拟合曲线之间的误差再次被用作拟合标准。使用确定的模型参数，计算评估模型对38个样本（包括“样本外”子集）的完整数据集的SSE。为了将模型SSE的预测性能与“样本外”子集进行比较，以及与“建模”子集拟合和SSE的SSE值与瑞士菲利普斯曲线的完整数据集进行比较，表2显示了R平方、调整后的R平方和R MSE的值。观察图4所示的瑞士菲利普斯曲线拟合的结果，我们可以看到一个有趣的例子，尽管所有比较模型都呈指数下降，但代表推荐的ML模型的曲线介于幂型和表2：瑞士菲利普斯曲线拟合的统计结果之间。幂型模型指数型模型ML模型从样本子集6.8961 4.6826 5.0041SSE到“建模子集39.6506 40.0588 39.2992SSE到”完成数据集46.5466 44.7414 44.3033R平方0.6389 0.6351 0.642经调整的R平方0.6131 0.6091 0.6165RMSE1.19 1.196 1.185模型y（x）=BxC- a y（x）=b ec x-a y（x）=c Eα（b xα）定义a=-551.3 a=-0.7809α=0.7733识别b=-548.6 b=6.364 b=-1.468参数c=30.85e- 04 c=-1.376 c=8.823指数型模型，形成一种剪刀。对于“样本外”子集，可以观察到该子集中的两个点发生偏差，具有比其他点更高的偏差值。这严重影响了拟合结果。

在这种情况下，指数型模型在视觉上表示“样本外”子集的效果略好于ML m模型，这也可以通过指数型模型相对于“样本外”子集的较小SSE值来证明（见表2）。尽管如此，ML模型在所有其他使用的统计指标上都优于比较模型，包括完整数据集的Smallerse，证明了它的能力。此外，如果从“样本外”子集中过滤这两个异常值，ML模型更能反映数据趋势。5结论本文通过对两个欧洲经济体的计量经济数据（菲利普斯曲线）进行拟合，证明了Mittag-Le-fier函数在幂型和指数型函数之间表现的能力，以及对拉伸指数、振荡或阻尼振荡的许多迹象进行拟合的能力。充分利用Mittag-Le-freger函数及其推广的潜力，以及将模型参数与相应的经济指标相关联，将是进一步工作的主题。确认本研究部分由斯洛伐克研究与发展机构APVV-14-0892、SK-SRB-18-0011、SK-AT-2017-0015、APVV-18-0526支持；部分由斯洛伐克科学拨款机构根据VEGA 1/0365/19拨款；部分是通过成本行动CA15225的框架。0 1 2 3 4 5失业率[%]-1“建模”子集“样本外”子功率类型模型指数类型模型Mittag-Leffler模型图4：拟合瑞士菲利普斯曲线。作者声明没有利益冲突。参考Samuelson，P.A。；索洛，R.M.反通货膨胀政策的分析方面。《美国经济评论》1960年，第50期，第177-194期。菲利普斯，A.W.《1861-1957年英国失业率与货币下注率变化率之间的关系》。

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