相对论量子金融

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英文标题：
《Relativistic Quantum Finance》
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作者：
Juan M. Romero and Ilse B. Zubieta-Mart\\\'inez
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  Employing the Klein-Gordon equation, we propose a generalized Black-Scholes equation. In addition, we found a limit where this generalized equation is invariant under conformal transformations, in particular invariant under scale transformations. In this limit, we show that the stock prices distribution is given by a Cauchy distribution, instead of a normal distribution.
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中文摘要：
利用Klein-Gordon方程，我们提出了一个广义Black-Scholes方程。此外，我们还发现了一个极限，这个广义方程在保角变换下是不变的，特别是在尺度变换下是不变的。在这个极限下，我们证明了股票价格分布是由柯西分布给出的，而不是正态分布。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Relativistic_Quantum_Finance.pdf (105.2 KB)

2022-5-11 04:56:32 上传

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关键词：相对论 distribution Mathematical Quantitative Generalized

相对论量子金融胡安·M·罗梅罗*和Ilse B.Zubieta Martinezdepartmento de M atemiaticas Aplicadas y SistemasUniversidad Autúonoma Metropolitana Cuaji MALLAMúexico，D.F 01120，MúEXICA摘要利用克莱恩-戈登方程，我们提出了一个广义的布莱克-斯科尔斯方程。此外，我们还发现了一个极限，这个广义方程在保角变换下是不变的，特别是在尺度变换下是不变的。在这个极限下，我们证明了股票价格分布是由柯西分布给出的，而不是正态分布。1简介布莱克-斯科尔斯方程是金融领域最有用的方程之一[1,2]。这个方程可以从不同的方法中获得，例如从Cox-Ross-Rubenstein模型或随机演算中获得。然而，Black-Scholes方程是基于一些理想的假设，例如，不存在套利，股票价格遵循无风险分布。因此，在某些情况下，布莱克-斯科尔斯方程无法提供真实的预测。不同的作者注意到了这一事实。实际上，在Black-Scholes方程被提出之前，Mandelbrot注意到一些股票价格不是服从正态分布，而是服从柯西分布[3]。为了得到更真实的Black-Scholes方程，不同的作者提出了不同的广义Black-Scholes方程。例如，使用随机波动率[4]，多重分形波动率[5]，跳跃*jromero@correo.cua.uam.mxprocesses[6]、列维分布[7]和分数阶微分方程[8]。有趣的是，最近各种各样的物理数学技术已经成功地应用于金融领域[9,10,11]。例如，量子力学是研究具有随机波动性或短期利率风险的金融模型的自然框架[9]。

此外，统计力学可用于研究金融风险[10]，流体理论可用于研究外汇市场[11]。此外，统计套利可以用相对论统计力学[12]来研究。此外，一些金融崩溃可以被视为相变[13,14]，值得一提的是，当系统处于相变时，它的一些量是不变的低标度变换[15]。在物理学和金融之间的关系中，一个显著的结果是Black-Scholes方程可以映射到freeSchr¨odinger方程[9]。然后，用量子力学得到布莱克-斯科尔斯公式。值得一提的是，在这个映射中，粒子质量m与波动率σ的关系为m→ 1/σ. 因此，高波动性的股票价格被识别为一个较轻的粒子，而大规模粒子被识别为一个波动性较小的股票价格。众所周知，当σ太大时，Black-Scholes方程没有意义。然而，当m非常小时，薛定谔方程也没有意义。在f act中，在最后一种情况下，量子力学被相对论量子力学改变，薛定谔方程被克莱因-戈登方程改变。在Klein-Gordon方程中引入了一个新的参数，即光速c→ ∞ 我们得到了薛定谔方程。本文将Klein-Gordon方程与一个新的广义Black-Scholes方程联系起来，得到了一个广义Black-Scholes方程。我们证明了广义Black-Scholese方程在保角变换下是不变的，特别是在尺度变换下是不变的，存在一个极限。

在这个极限下，我们证明了股票价格分布是由柯西分布给出的，而不是正态分布。由于尺度不变性是相变的一个特征【15】，我们认为，当修改后的Black-Scholes方程在尺度变换下保持不变时，系统接近相变。本文的结构如下：第二节给出了自由薛定谔方程和Bla-ck-Scholes方程之间的映射关系；第三节，提出了一个相对论性的Black-Scholes方程；第四节研究了共形对称性；在第5节中，得到了柯西分布。最后，第6节给出了一个总结。2 Black-Scholes方程和自由Schr¨odinger方程Black-Scholes方程由下式给出：C（S，t）t=-σSC（S，t）s- rSC（S，t）S+rC（S，t），（1）其中σ是波动率，S是股票价格，r是年化无风险率，C是期权价格。而自由薛定谔方程ψ~t=-\'h2mψx、 （2）这里m是粒子质量，\'h是普朗克常数，ψ是波函数。值得注意的是，使用映射t=it，`h=1，m=σ，x=lns，（3）ψ（x，t）=e-σσ-Rx+2σσ+rTC（x，t）（4）自由薛定谔方程（2）变成了布莱克-斯科尔斯方程（1）。3相对论量子金融众所周知，当→ 薛定谔方程确实有意义。然而，如果σ不小，BS方程也没有意义。在物理学中，情况是m→ 0在通常的量子力学中是不被研究的，但是在相对论量子力学中。在最后一个理论中，薛定谔方程被克莱因-戈登方程改变-\'hcψ（x，t）~t+ψ（x，t）十、- mcψ（x，t）=0，（5），其中c是光速。注意，当我→ Klein-Gordon方程是有意义的。

此外，可以证明，当c→ ∞ 克莱因-戈登方程变成了薛定谔方程。现在，使用映射t=it，\'h=1，m=σ，x=lns，（6）~c=q，ψ（x，t）=e-σσ-Rx+2σσ+r-qσTC（x，t）（7）克莱因-戈登方程C（S，t）t+σ-qσ+r！C（S，t）t+SC（S，t）S+2rσSC（S，t）S+4qσ+r！-2rσC（S，t）=0。（8） 这个方程可以写成σ2qC（S，t）t+1.-2qσ+r！C（S，t）t=-σSC（S，t）s- rSC（S，t）S+rC（S，t）。（9） 此外，如果我们取极限q→ ∞, 在这个la-st方程中，我们得到了Black-Scholes方程（1）。然后，方程（8）是一个广义的Black-Scholes方程，它具有新的参数q.4共形对称性。通常的Black-Scholes方程在Schr¨odinger群下是不变的[16]。为了理解方程（8）的对称性，我们取坐标z=lns+i√qt。（10） 使用该坐标，修改后的Black-Scholes方程（8）可以写成CZ“z+2”ACz+AC\'z+A\'A-qσC=0，（11）其中=-σσ- R-我√Qσ+r！- 第二季度. （12） 我们可以看到方程（11）在以下变换下是不变的sz′=eiαz，α=常数，（13）C′（z，\'z′）=e[Az（1-eiα+A z（1）-E-iα）]C（z，`z）。（14） 我们有一个特例，事实上，当qσ<AA，（15）是0<<4qσ+r！+2rσ，（16）方程式（11）变成CZ“z+2”ACz+AC\'z！+A’AC=0。（17） 最后一个方程在共形对称下是不变性的-z′）+A（\'z- \'z\']C（z，\'z）。（19） 在哪里z′（z）\'z=0，（20）即z′（z）是一个解析函数。然后，每个解析函数都为方程（17）提供了对称性。请注意，等式（20）意味着在一阶时，任何单位转化都可以表示为z′=z+（z），（z）=∞十、-∞nzn+1，n=常数。

（21）现在，使用等式（19），我们得到c′（z′，z′）≈ C（z′，z′）-（z′）A+z′！+（\'z\'）A+“z”#C（z′，\'z′，（22）即δC（z′，\'z′）=C′（z′，\'z′）- C（z′，z′）≈ -（z′）A+z′！+（\'z\'）A+“z”#C（z，`z）。（23）此外，使用等式（21），期权价格转换为δC（z，`z）=∞十、-∞nln+n\'lnC（z′，\'z′，（24）式中ln=-兹纳+Z\'\'ln=-“锌”A+z！。（25）这些算子满足Witt代数[ln，lk]=（n- k） ln+k，h\'ln，\'lki=（n- k） \'ln+k，h\'ln，lki=0。（26）值得注意的是，通常的Black-Scholes方程只有有限的对称数，但方程（17）有有限的对称数。特别是，如果λ是实数，则方程（17）在标度变换z′=λz，（27）C′（z′，\'z′）=e（1）下是不变的-λ） （Az+\'A\'z）C（z，\'z），（28）可以写成asS′=Sλ，（29）t′=λt，（30）C′（S′，t′）=C′Sλ，λt= S（λ）-1)σσ-Re（λ）-1)2σσ+r-第二季度tC（S，t）。（31）一般来说，方程（8）在尺度变换下不是不变的，但是在极限（16）下，这种对称性是得到的。这种现象在相变中是众所周知的，事实上，尺度不变性是相变的一个特征[15]。然后，我们可以认为当方程（16）满足时，系统接近相变。值得注意的是，当系统接近相变时，会出现各种尺度的波动。这种现象发生在一些金融崩溃[13,14]中。5柯西分布利用（7）中定义的坐标x、t和函数ψ，方程（17）可以写成qψ（x，t）t+ψ（x，t）x=0。（32）现在，施加初始条件ψ（x，0）=f（x），（33）方程（32）的解由ψ（x，t）=Z给出∞-∞dζG（x）- ζ、 t）f（ζ），（34），其中g（x- ζ、 t）=π√qt（x）- ζ） +qt。（35）注意，最后一个函数是柯西分布。

使用映射（4），我们得到选项C（x，t）=Z∞-∞dζK（x）- ζ、 t）C（ζ，0），（36）hereK（x）- ζ、 t）=eσσ+r-Qt+σ-R（十）-ζ)π√qt（x）- ζ） +qt。（37）B.Mandelbrot首先提出了柯西分布作为股票价格的分布[3]。6总结利用克莱因-戈登方程，我们提出了一个广义BlackScholes方程。我们发现了一个极限，其中广义方程在保角变换下是不变的，特别是在标度变换下是不变的。在这个极限下，我们证明了股票价格分布是由柯西分布给出的，而不是标准分布。参考文献[1]F.Black和M.Scholes，《定价期权和公司负债》，政治经济学杂志81637（1973）。[2] R.C.默顿，理性期权理论，贝尔J.经济学。和管理科学。4, 141 (1973 ).[3] B.B.Mandelbrot，《金融中的分形与标度》，斯普林格（1997）。[4] S.L.Heston，一种适用于债券和货币期权的随机波动性期权的Clo S-ed格式解决方案，金融研究综述6327（1993）。[5] L。Calvet and A.Fisher，《多重分形波动率：理论、预测、定价》，学术出版社高级金融出版社（Elsevier Science，2008年）。[6] P.Ta nkov，带跳跃过程的金融建模，Springer 2003）。[7] P.Carr和L.Wu，金融杂志58753（2003）。[8] H.Kleinder和J.Korbel，《基于双分数差的Black-S choles之外的期权定价》，Physica A 449200（2016）。[9] B.E.Baaquie，量子金融，剑桥大学出版社（2004年）。[10] J.P.Bouchaud和M.Potters，《金融风险理论与衍生产品定价》，从静态物理学到风险管理，剑桥大学出版社（2003年）。[11] J.Voit，《金融市场统计力学》，纽约斯普林格（2005）。[12] A.D.维斯纳·格罗斯和C.E。

更自由，相对论性统计套利，Phys。牧师。E 82056104（2010年）。[13] A.Johansen，O.Ledoit，D.Sornette，Cras h S as critical points，国际理论与应用金融杂志32219（2000）。[14] M.C.M¨unnix，T.Shimada，R.Sch¨afer，F.Leyvraz，T.H.Seligman，T.Guhr，H.E.Stanley，《识别金融市场状态》，科学报告2 644（2012年）。[15] J.Cardy，《统计物理中的Sca l i ng和规范化》，剑桥大学出版社，伦敦（1996年）。[16] J.M.Romero，E.Martinez Miranda和U.Lavana，《量子金融中的共形对称》，物理学杂志：会议系列512（2014）012029。