非均匀网格上的高阶有限差分格式

（9） 其中Q=（qi，j）是一个三对角（N- 1） ×（N）- 1） 元素为sqn，n的矩阵-1=dnsn-1.- Γ(2 - α)ταAan+Bdnsn-1., qn，n=si- Γ(2 - α)ταAbn+Bsn,qn，n+1=ensn+1- Γ(2 - α)ταAcn+Bensn+1.（9）的右侧Rm=（rmn）是一个（N- 1） -元素srmn=Γ（2）的维向量- α） τα（dnH（sn-1，tm）+H（sn，tm）+enH（sn+1，tm））-dnsn-1mXk=1σ（α）kUm-千牛-1.-snmXk=1σ（α）kUm-千牛-ensn+1mXk=1σ（α）kUm-千牛+1。本节开始时的数值实验表明，欧元期权价格的TFBS方程转化为TFBSD方程，其中系数A和B以及函数U（s，0）=U*（s） 由（8）给出。(αUtα=AsUs+BU+F（s，t），U（0，t）=U（s，t）=0，U（s，0）=U*（s） 。TFBSD方程有一个可微解U（s，t）=1+2t+3Tsin（πs）whenF（s，t）=2t1-αΓ(2 - α） +6t2-αΓ(3 - α)sin（πs）+Aπs- Bsin（πs）1+2t+3T,andU（0，t）=U（1，t）=0，U*（s） =sin（πs）。在表1和表2的第二列中，我们使用上述函数F（s，t）以及二次和塔维拉-兰德尔非均匀网格上的初始和边界条件，计算了α=0.75和α=0.9的紧致差近似（9）的阶数，当s=1时，A=1，B=2。当σ=0.1，r=0.08，d=0.025时，T FBSD方程在时间和空间方向上的数值解（9）的阶数在表1和表2中的第三列中给出。通过计算M=50和N=50中的一个数字来计算o阶，并通过计算另一个数字的值来计算数值解的阶数。在图2中，我们从TFBSD方程的数值解和本节讨论的反变换计算欧洲看跌期权的TFBS方程的数值解。表1。

二次非均匀网格上TFBSD方程的紧致差分近似（9）的时间和空间阶数GQandα=0.75。M（N=50）τ- τ阶- 或der100 1.23372 1.08047200 1.23764 1.06480400 1.24169 1.05343800 1.24532 1.044821600 1.24856 1.03796N（M=50）h- h阶- 订单100 4.01927 3.95788200 4.00327 3.98584400 4.00073 3.99621800 4.00017 3.999041600 3.96748 3.99952表2。Tavella-Randall非均匀网格上TFBSD方程的紧致差分近似（9）的时间和空间阶GT Randα=0.9。M（N=50）τ- τ阶- 或der100 1.11894 1.03640200 1.10714 1.03668400 1.10250 1.04803800 1.10073 1.045161600 1.10016 1.03958N（M=50）h- h阶- 订单100 4.02583.97396200 4.00461 3.98621400 4.00085 3.99502800 4.00027 3.999171600 4.00003 3.99972当TFBSD方程有可微解时，Caputo导数的L1近似精度为τ2-α. 对于大多数函数F（s，t）和初始条件U（s，0）=U，我们可以期望that*（s） 偏导数Ut（s，t）在t=0时是无界的。TFBSD方程的这种奇异性导致数值解在时间方向上的精确度较低。表1和表2中给出的数值实验结果与TFBSD方程在空间方向上的预期四阶精度和在时间方向上的差分近似（9）的预期一阶精度一致。图2。当S=100、K=50和N=50时，欧式看跌期权的TFBS方程在二次网格Gqa和Tavella-Randall网格GT rw上的数值解分别为α=0.75和α=0.9。结论在本文中，我们构造了一个均匀空间网格上的TFBSD方程的紧致差分近似（9），该网格在空间上具有四阶精度。

虽然数值解的精度主要取决于时间方向的精度，但差异近似（9）导致计算时间显著提高，因为我们在空间中使用的子区间数量要少得多。我们讨论了当Af=df=1时，欧式期权价格分数模型的数值解。未来工作的一个重要问题是，对于其他参数值af和df，以及时间方向上大于O（τ）的精度，开发TFBS e方程的数值解方法。在下一篇论文中，将从理论上研究所提出方法的收敛性。一个新的分数阶非线性问题的数值解，对应于整数Black-Scholes模型，例如[9,11,12]，将留待我们将来考虑。确认该研究得到欧盟的支持，协议号为304617（FP7玛丽居里行动项目多ITN罢工——计算金融的新方法）。第二项授权也得到了保加利亚国家科学基金项目I 02/20-2014的支持。参考文献[1]F.Black，M.Scholes，《期权定价与企业负债》，政治经济学杂志81（1973）637–65 9。[2] J.Bodeau，G.Riboulet，T.Roncalli，《偏微分方程金融的非均匀网格》，课堂讲稿，2000年。[3] Y.Dimitrov，《利用分数阶泰勒多项式数值解分数阶松弛方程和子方程的新方法》，arXiv:1503.02958，2015。[4] 王S，张S，方Z，适用于支配欧美期权估值的Black-Scholes方程的超收敛有限体积法，Num.Meth。对于部分微分方程31（4）（2015）1190–1208。[5] D.塔维拉，C。

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