非均匀网格上的高阶有限差分格式

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英文标题：
《High order finite difference schemes on non-uniform meshes for the
  time-fractional Black-Scholes equation》
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作者：
Yuri M. Dimitrov, Lubin G. Vulkov
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We construct a three-point compact finite difference scheme on a non-uniform mesh for the time-fractional Black-Scholes equation. We show that for special graded meshes used in finance, the Tavella-Randall and the quadratic meshes the numerical solution has a fourth-order accuracy in space. Numerical experiments are discussed.
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中文摘要：
我们在非均匀网格上构造了时间分数阶Black-Scholes方程的三点紧致差分格式。我们证明，对于金融领域使用的特殊梯度网格、Tavella Randall网格和二次网格，数值解在空间上具有四阶精度。对数值实验进行了讨论。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Computational Engineering, Finance, and Science        计算工程、金融和科学
分类描述：Covers applications of computer science to the mathematical modeling of complex systems in the fields of science, engineering, and finance. Papers here are interdisciplinary and applications-oriented, focusing on techniques and tools that enable challenging computational simulations to be performed, for which the use of supercomputers or distributed computing platforms is often required. Includes material in ACM Subject Classes J.2, J.3, and J.4 (economics).
涵盖了计算机科学在科学、工程和金融领域复杂系统的数学建模中的应用。这里的论文是跨学科和面向应用的，集中在技术和工具，使挑战性的计算模拟能够执行，其中往往需要使用超级计算机或分布式计算平台。包括ACM学科课程J.2、J.3和J.4（经济学）中的材料。
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PDF下载：
--> High_order_finite_difference_schemes_on_non-uniform_meshes_for_the_time-fraction.pdf (218.15 KB)

2022-5-11 05:36:46 上传

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关键词：有限差分 Applications Mathematical Quantitative Computation

时间分馏Black-Scholes方程非均匀网格上的高阶有限差分格式，Bulgariaymdimitrov@uni-诡计。bg，lvalkov@uni-诡计。BG摘要。我们构造了一个非均匀网格上的三点紧致有限差分格式，用于时间分馏的Black-Scholes方程。我们表明，对于金融中使用的特殊梯度网格、Tavella Randall网格和二次网格，数值解在空间上具有四阶精度。讨论了数值实验。期权价格的Black-Scholes-Merton模型是金融数学中的一个重要模型。自70年代初发现以来，它已被广泛应用于实践中，并通过分析和计算方法进行了严格研究。用V表示的期权价值取决于标的资产的当前市场价值，以及期权到期前的剩余时间：V=V（s，t）。Black-Scholes方程（BS）是一个时间倒向抛物方程[1]LV：=五、t+σs五、s+（r）- d） s五、s- rV=0，（1）式中σ是资产价格的年度波动率，r是风险利率，d是股息收益率，T是到期日（T=0表示“今天”）。由于金融市场的复杂性，为了根据市场状况提高其准确性，对模型提出了许多改进和修改。在期权价格的分数模型中，期权价格随时间的变化是一个分数传输系统。

该假设意味着从当前时间t到到期日t的每单位时间内期权价格y（s，t）的总流动率，以及期权价格V（s，t）满足度ztty（s，t′）dt′=sdf-1ZTtH（t′）- t） [V（s，t′）- V（s，T）]dt′（2）其中H（T）是传输函数，dfi是fr作用传输系统的hausdorff维。正如[13]所指出的，（2）的本质是一个观测方程，其中明确提到了分形结构上期权价格扩散过程的历史。我们进一步假设扩散集是基础分形，传递函数H（t）=AαΓ（1-α） tα，其中Aα和α是常数，α是透射系数。现在，通过对（2）关于t的微分，我们得到（s，t）=sdf-1ddtZTtH（t′）- t） [V（s，t′）- V（s，T）]dt′。（3） 另一方面，根据BS方程，我们有y（s，t）=σs五、s+（r）- d） s五、s- rV与（3）结合产生[13]αsdf-1.αVtα+σs五、s+（r）- d） s五、s- rV=0，（4）其中αVtα是经修改的Riemann-Liouville导数，定义为αVtα=Γ（n- α)NtnZTtV（s，t′）- V（s，T）（T′）- t） 1+α-n的ndt′- 1.≤ α<n.当α=1且在函数V（s，t）的自然条件下，修正的黎曼-刘维尔导数αVtα等于偏导数五、坦然αV当0<α<1[8]时，tα等于卡普托导数αVtα=Γ（1）- α)tZTtV（s，t′）- V（s，T）（T′）- t） αdt′=Γ（1）- α） ZTtVt（s，t′）（t′）- t） αdt′。因此，当α=df=1和α=1时，方程（4）将ms转换为（1）。为了与基准B lack-Scholes模型保持一致，在[13]之后，我们假设Aα=df=1。事实上，下面描述的紧凑差分近似（9）可以很容易地扩展到α和df的其他值。在过去的十年中，大量的工作都致力于开发高密度或低密度的方案，这些方案利用与中心节点直接相邻的网格节点。

[10]中构造了时间分形平流扩散方程的均匀空间网格上的三点紧致有限差分模式。非均匀mes hes提高了方程（4）数值解的效率，该方程在s=0[5,7,6,2]时有二阶退化。本文的目标是在空间非均匀网格上构造一个时间分数Black-Scholes（TFBS）方程（6）和时间分数Black-Scholes方程（7）的高阶三点紧有限差分格式。论文的概要如下。在第二节中，我们介绍并分析了非均匀网格上二阶导数的四阶紧致近似（5）。在第3节中，我们使用近似（5）为金融中使用的特殊非均匀网格上的TFBSD方程构造了一个紧凑的有限差分格式，并给出了测试示例的数值实验结果。非均匀网格上的紧致逼近非均匀网格常用于微分方程的数值解，特别是奇异解方程的数值解，以提高数值方法的精度。最常用的网格金融是Tavella-Randall网格，该网格以惊人的价格s=K解决了BS方程初始条件奇异性的影响。设φ（x）为区间[0,1]上的递增函数，取值为φ（0）=s-和ν（1）=s+。用MN={xn=nh}Nn=0表示区间[0，1]上的均匀网，其中h=1/N，N为正整数。我们使用函数ν在间隔上定义非均匀网格MN~n-, s+]byMN~n={sn=~n（xn）|n=0,1，···，n}。网格MNа具有非均匀网格步长hn=sn+1- sn。

当函数φ是具有有界导数的可微分函数时，我们使用平均值theoremhn=sn+1确定网格步长上的界- sn=а（xn+1）- ψ（xn）=hа′（yn），其中yn∈ （xn，xn+1）。网格MN~n的子区间的最大长度以函数的一阶导数的最大值为界≤马克斯∈[0,1]~n′（x）h、 金融中的非均匀网格Black-Scholes方程是一个重要的实际应用方程，其数值解和解析解是一个活跃的研究课题。由于BS方程的奇异性及其非光滑初始条件，其数值解的计算是一个有趣的问题。为了克服s=0和s=K点数值解的不足，使用了BS方程数值解的非均匀网格[5,7,6,2,4]。本文讨论了在Tavella Randall和二次非均匀网格上TFBSD方程的四阶精确三点紧致差分近似Tavella-Randall非均匀网格MT Rλ，Kon区间[s]-, s+]sn=s*+ λs inhC1.-nN+ cnN, 在哪里-< s*< s+，c=sinh-1.s-- s*λ, c=s inh-1.s+- s*λ.参数λ决定网格的均匀性区间[s]上的二次非均匀网格-, s+]sn=s-+nNs+- s-, 嗯=2n+1Ns+- s-.Tavella Randal和区间[0，S]上的二次网格定义为函数φQ（x）=Sx，φλ，K（x）=K+λsinh（cx+c），其中c=sinh-1.s- Kλ+ 信义-1.Kλ, c=- 信义-1.Kλ.图1。Tavella-Randall网格MT和q uadratic网格Mq在K=20和N=15的区间[0,40]上的图形。双曲正弦函数是一个n奇增函数，在区间[0，S]上具有有界的一阶导数和二阶导数。

反双曲正弦函数用自然对数函数sinh表示-1x=lnx+px+1.当x=-c/c和а′λ，K(-c/c）=λc。Tavella-Randall网格的小区间长度约为λch=λh信义-1.s-Kλ+ 信义-1.Kλ,λch=λh自然对数s- Kλ+s1+s- Kλ+ 自然对数Kλ+s1+Kλ.根据（1+y）1/2和ln（1+y）的二项式和泰勒展开式，我们得到了o当λ较大时λch≈ λh自然对数1+S- Kλ+ 自然对数1+Kλ≈ λhs- Kλ+Kλ= Sh.o当λ很小时λch≈ λhln2（S）- K） λ+ln2Kλ≈ λh（4k（S）- （K）- 2 lnλ）。功能-λlnλ→ λ时为0→ 0.当λ较大时，Tavella-Randall网格几乎均匀；当λ较小时，网格高度不均匀。四阶紧近似二阶导数的中心差近似在统一网格上具有二阶精度。根据泰勒展开公式，我们可以确定非均匀网格的三点模板上二阶导数的二阶精确近似值[6]，该非均匀网格满足表1的条件。现在我们确定非均匀mes h上二阶导数的紧致近似，如下式DNF′n-1+f′n+enf′n+1=anfn-1+bnfn+cnfn+1+En。（5） 从sn点的泰勒展开式出发，将fn、f′n、f′n、f′n和f（4）n的系数设为零，我们得到了系数an、bn、cn、dn、en的方程组，an+bn+cn=0，cnhn- 安-1=0，anhn-1+cnhn- dn- EN- 1=0，cnhn- 安-1+dnhn-1.- enhn=0anhn-1+cnhn-dnhn-1+enhn=0。设Dn=hn-1+3hn-1hn+hn。

方程组的解n=12hn（hn-1+hn）Dn，bn=-Dn，cn=12hn-1（hn-1+hn）Dn，Dn=hn嗯-1+hnhn-1.- 嗯（hn）-1+hn）Dn，en=h嗯-1+3hn+3hnhn-1+hn（hn）-1+hn）Dn。在下一个引理中，我们证明了逼近（5）在由函数φ确定的非均匀函数类上具有更高的阶精度∈ C[0,1]。引理1。设φ是区间[0,1]上的一个递增可微分函数，具有有界的一阶导数和二阶导数。然后，紧致近似（5）在非均匀网格Mа上具有四阶精度。证据从泰勒公式出发，给出了误差Enof近似（5）=dnhn-1.- 恩恩+cnhn- 安-1.f（5）n.然后|En |=嗯-1hn（hn）-1.- hn）2hn-1+5hn-1hn+hn嗯-1+3hn-1hn+hnf（5）n< 嗯-1hn | hn-1.- 嗯|f（5）n,|En |<（sn）- 锡-1） （序号+1）- sn）| sn+1- 2sn+sn-1|f（5）n/15，|En |<（|（xn）- ~n（xn）-1） ）（ψ（xn+1）- Д（xn））|Д（xn+1）- 2а（xn）+а（xn）-1)|f（5）n/15.根据mea n值定理，存在yn∈ （序号-1，sn），zn∈ （序号，序号+1）和wn∈ （序号-1，sn+1）使|En |<|′（yn）|′（zn）||′（wn）|f（5）nh<马克斯∈[0,1]~n′（x）马克斯∈[0,1]|~n′（x）|马克斯∈[0,1]f（5）（x）h、 Tavella Randall和四边形网格由以下函数确定：Q（x）=sx和λ，K（x）=K+λsinh（cx+c）。这两个函数满足引理1的要求。因此，在Tavella Randall和二次网格上，紧致近似（5）具有四阶精度。引理1对函数ν的要求非常一般，包括微分方程数值解的大多数非统一形式。时间分数Black-Scholes方程的紧凑有限差分格式在第1节中，我们概述了期权价格分数模型推导过程中的ma步骤（4）。[13]对该模型进行了详细讨论。

欧式期权价格的时间分数Black-Scholes方程是（4）的一个特殊情况，Af=df=1。αVtα+σs五、s+（r）- d） s五、s- rV=0，（6）在本节中，我们确定了支付（最终条件）V（s，T）=V的欧式期权TFBS等式的紧凑差异近似值（s） =max{K-s、 0}，其中K是惊人的价格。此外，我们在有界区域上给出了Dirichlet边界条件V（0，t）=K，V（S，t）=0Ohm = [0，S]×[0，T]，其中0<K<S。为了便于数值构造，我们首先将（6）转化为满足齐次Dirichlet边界条件的等价标准形式。替代物：=T- t、 W（s，t）：=V（s，t）+KS（s）- S） 。函数W是TFBS方程的解αWtα=σsWs+（r）- d） sWs- rW-dKSs+rK，W（0，t）=W（S，t）=0，W（S，0）=W*（s） =max{K- s、 0}+KS（s）- S） 。为了应用紧致近似（5），可以通过替换u（s，t）=sqW（s，t）来消除对流项，其中q=r- dσ。函数U（S，t）是TFBSD方程的解αUtα=AsUs+BU+F（s，t），U（0，t）=U（s，t）=0，U（s，0）=U*（s） =sqmax{K- s、 0}+KS（s）- （S）,（7） 式中：σ，B=-r+d+qσ, F（s，t）=-平方米dKSs- rK. （8） 在下一节中，我们将使用Tavella Randal和二次非均匀网格的三点模板上的四阶紧致近似（5），以及定义为[10]的Caputo分数阶导数的L1近似，为TFBSD方程构造一个有限差分格式αUmntα=Γ（2）- α） ταmXk=0σ（α）kUm-kn+Emn，其中σ（α）=1，σ（α）k=（k- 1)1-α- 2k1-α+（k+1）1-α、 σ（α）m=（m）- 1)1-α- m1-α.L1近似的精度为0τ2-α当U（s，t）是一个两次连续可微函数[8，10]。

从Caputo导数的性质来看，TFBSD方程在t=0时具有自然奇异性。α阶偏导数的存在性，其中0<α<1并不保证函数的整数阶偏导数在区间[0，1]上是连续且有界的。对线性和非线性分数阶微分方程进行分析和数值求解的一种重要方法是使用分数阶幂级数。在[3]中，我们使用L1和改进的L1近似值为分数次微分方程构造了有限差分格式。在所有数值实验中，差分近似在时间方向上具有一阶精度。在TFBSD方程的数值解中观察到了相同的模式。表1和表2中的数值试验示例证实，TFBSD方程的紧致差分近似（9）具有h+τ.紧凑差分近似TFBSD方程的形式适用于在非均匀网格上使用四阶紧凑近似（5）。现在，我们在矩形[0，S]×0，t]的非均匀网格Gа上为TFBSD构造一个三点有限差分方案，其中点sn属于区间[0，S]和tm=mτ的非均匀网格mа，其中τ=t/m为正整数。有限差分方案对Caputo导数使用L1近似，对二阶导数使用compac t近似（5）。在下一节中，我们将在Tavella Randall和二次非均匀网格上计算TFBSD方程的数值解。

通过将TFBSD等式乘以1/swe得到αUtα=AUs+BsU+H（s，t），其中H（s，t）=F（s，t）s。函数U在非均匀网格G k，dnsn的三点模板上满足以下等式-1.αUmn-1.tα=Adn巫统-1.s+Bdnsn-1百万-1+dnHmn-1，序号αUmntα=A巫统s+BsnUmn+Hmn，ensn+1αUmn+1tα=AenUmn+1s+Bensn+1Umn+1+enHmn+1。通过加上方程式，我们得到Cmn=Adn巫统-1.s+巫统s+enUmn+1s+ Bdnsn-1百万-1+snUmn+ensn+1Umn+1+ Hmn，其中cmn=dnsn-1.αUmn-1.tα+snαUmntα+ensn+1αUmn+1tα，Hmn=dnHmn-1+Hmn+enHmn+1。来自compac t近似（5）Cmn=Aan+Bdnsn-1.巫统-1+Abn+Bsn巫统+Acn+Bensn+1Umn+1+Hmn+OH.通过使用L1近似逼近分形导数，我们获得了TFBSD方程qum=Rm数值解的线性方程组。