高度相关市场中的熵与信用风险

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英文标题：
《Entropy and credit risk in highly correlated markets》
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作者：
Sylvia Gottschalk
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We compare two models of corporate default by calculating the Jeffreys-Kullback-Leibler divergence between their predicted default probabilities when asset correlations are either high or low. Our main results show that the divergence between the two models increases in highly correlated, volatile, and large markets, but that it is closer to zero in small markets, when asset correlations are low and firms are highly leveraged. These findings suggest that during periods of financial instability the single-and multi-factor models of corporate default will generate increasingly inconsistent predictions.
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中文摘要：
我们通过计算资产相关性高或低时，两种公司违约模型的预测违约概率之间的Jeffreys-Kullback-Leibler差异来比较两种公司违约模型。我们的主要结果表明，在高度相关、波动性大的市场中，这两个模型之间的差异会增加，但在资产相关性较低且企业杠杆率较高的小市场中，这一差异更接近于零。这些发现表明，在金融不稳定时期，企业违约的单因素和多因素模型将产生越来越不一致的预测。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Entropy_and_credit_risk_in_highly_correlated_markets.pdf (572.15 KB)

2022-5-11 06:06:07 上传

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关键词：相关市场 信用风险 correlations Quantitative Increasingly

高度相关市场中的熵和信用风险Sylvia Gottschalk*摘要：我们通过计算资产相关性高或低时，两种公司违约模型的预测违约概率之间的Jeff-reysKullback-Leibler差异，来比较两种公司违约模型。我们的主要结果表明，在高度相关、波动性大的市场中，这两个模型之间的差异增大，但在资产相关性较低且企业杠杆率较高的小市场中，这一差异接近于零。这些发现表明，在金融不稳定时期，企业违约的单因素和多因素模型将产生越来越不一致的预测。关键词：违约风险结构模型、单因素和多因素模型、资产相关性、熵、库贝克-莱布勒散度、随机相关矩阵、金融监管。1简介单因素、单企业结构模型是信用风险分析的基石，因此已成为《巴塞尔协议II》和《巴塞尔协议III》资本充足率协议（BIS，2006年、2011年）中国际金融监管的基石。在这个模型中，如果相应的资产在信贷组合中所占份额较小，则可以忽略成对资产相关性（Gordy，2003）。尽管有证据表明，多因素模型会更准确地预测违约风险，因为它会考虑资产相关性，但单因素模型的计算可处理性会导致其假设过于简单（Pykhtin，2004；Emmer and Tasche，2005；Tasche，2006）。然而，资产相关性在过去20年中显著增加，自2008年金融危机以来更是如此（Ait-Sahalia和Xiu，2015；Sandoval Jr。

和德保拉·弗兰卡，2012年；波莱特和威尔逊，2010年；弗兰克，2009年；克里希南等人，2009年；莫拉纳和贝尔塔蒂，2008年；杜菲等人，2009年；达斯等人，2007年；Rangvid，2001年；朗金和索尔尼克，1995年等）。资产回报率的高协动对投资组合多元化有负面影响，其中风险降低完全取决于不完全相关的资产。多元化问题也出现在公司债务和债务抵押债券组合的风险管理中，其中资产相关性和违约相关性被证明是相关的（Das等人，2006年；Lopez，2004年）。信用风险*通讯作者。米德尔塞克斯大学商学院，会计和财务系，巴勒斯，亨顿NW4 4BT，s。gottschalk@mdx.ac.uk.我们感谢萨巴·侯赛因提供的特殊研究援助。剩下的错误都是我们的。行业和金融监管分析几乎完全依赖于使用默顿（1974）的单因素结构模型计算的违约概率，该模型将违约定义为企业资产价值低于其债务面值的事件。默顿（1974）的模型显然忽略了资产相关性，这是由Vasicek（1991、2002）提出的；塔什（2006）；周（2001）；Cathcart andEl Jahel（2004年）。本文建立了一个多因素模型，其中单个企业的资产价值遵循年龄计量布朗运动，该运动与其他企业的相关。我们推导了资产价值的多因素概率分布，并在假设高或低资产相关性的情况下进行蒙特卡罗模拟。我们还模拟了单因素违约概率，即资产价值与其他公司不相关的公司的违约概率。

用于模拟多因素违约概率的相关矩阵是随机生成的。在高相关性情况下，成对相关性系数在[-0.99; -0.8] ∪ [0.99, 0.8]. 在低相关矩阵中，所有成对相关系数均为[-0.4; -0.1] ∪ [0.4; 0.1].对于每对违约概率，我们计算其Jeffreys-Kullback-Leibler散度。在本文中，当单因素模型而非多因素模型被假定为产生资产价值的正确分布时（反之亦然），它量化了实际违约概率的误报程度（戈兰，2006年；泽尔纳，2002年；库尔贝克和莱布勒，1951年；布尔比和拉奥，1982年）。Entropymeasures已广泛用于金融领域。利用Buchen和Kelly（1996）中的市场期权价格作为数据，使用最大熵原理（MEP）估计期权标的资产的概率分布；Neri和Schneider（2012），以及Gulko的股票和债券期权价格估算（1999年和2002年）。不完全市场中的证券衍生品也可以通过最小化交叉熵来定价，如Branger（2004）所示。博尔兰（2002）；Borland和Bouchaud（2004）建立了一个期权定价模型，该模型源自股票收益的非高斯模型，假设该模型根据非线性福克-普朗克方程演化，该方程最大化了非扩展熵。最后，Maasoumi和Racine（2002）开发了一个熵依赖度量，以表明——除其他结果外——股票收益率是连续依赖的。我们的研究结果表明，当资产相关性较高时，不相关企业的违约概率与多相关企业的违约概率显著不同，但当资产相关性较低时，其差异要小得多。

在某些情况下，差异接近于零，这两个模型可以被视为彼此的代理，即当资产相关性和市场规模较低，且债务与资产价值比率较高（150%至200%）时。然而，当市场规模、债务价值比和相关性较高时，这两个模型会产生不一致的违约概率。显然，随着资产相关性的上升，单因素模型开始歪曲实际违约概率。第4节分析了更多的案例。总体而言，我们发现，当我们的模型中的企业相关性和波动性都很高或都很低时，这两个模型之间的差异会加剧。负债率在10%到100%之间，且在高度相关的市场中。我们的发现对金融监管具有重要意义。巴塞尔协议II和III资本充足率规定，资本准备金应根据单因素、单企业结构模型计算（BIS，2006年和2011年）。我们的研究表明，在金融不稳定时期，当资产波动性和相关性增加时，其中一种模型可能会误报违约风险，从而导致资本准备金不足。我们的结果与Ait-Sahalia和Xiu（2015）一致；波莱特和威尔逊（2010）；克里希南等人（2009年）。这些论文发现的证据表明，资产相关性比资产波动性具有更强的预测能力。此外，Das等人（2006年）发现，违约聚集发生在高波动时期，因为违约概率和故障之间的相关性都会增加。论文的主要内容如下：第2节介绍了我们的主要模型，第3节介绍了散度的度量。第3节描述了高/低相关矩阵的模拟。1.第4节介绍并讨论了我们模型的模拟结果。

第5节包括附录，并在附录之前。2公司价值的多因素模型考虑概率空间上定义的依赖于m的布朗运动Bt=（B1，t，…，Bm，t）(Ohm, F、 P），其中F（t）是与Bt相关的过滤，P a概率测量。市场上有N家公司的相关资产价值{V1，t，…，VN，t}∈[0，T]。Vi，t表示微分方程dvi，t=Vi，t（uidt+σidBi，t）（1），其中uiis表示其漂移，σiis表示其波动性。布朗运动Bj，皮重相关，在这个意义上，dBjtdBkt=ρjk，对于j，k=1。。。，m、 相关系数ρjk=σjσlPml=1σjlσkl，对于所有j，k=1。。。，m、 Bj，t，j=1。。。，m可以重写为独立布朗运动Wj的函数，t、 设σi=“mXj=1σij#1/2对于所有i=1，…，N（2）和dbj，t=mXj=1σijσidWj，t对于所有i=1，…，N（3），则通过替换（2）和（3）中的（1），（1）变成Vi，t=Vi，tuidt+mXj=1σijdWj，t！（4）我们在下面展示了Vi，t，i=1。。，N、 取决于m个随机过程Wj之间的成对协方差，t驱动市场上其他公司的价值。提议2.1。（4）的解是一组值{V1，t，…，VN，t}，使得Vi，t=Vi，0exp（（ui-mXj=1σij）t+mXj=1σijWj，t）i=1。。。，N（5）其中exp{.}≡ e（.）是指数函数。此外，Vi，t对数正态分布为均值[Vi，t]=Vi，0exp{（ui）t}（6）和方差v ar[Vi，t]=Vi，0exp{2uit}（exp（mXj=1σijt）- 1） （7）证据见附录A。违约被定义为第i家公司的价值Vi，T在给定时间T=T低于其债务面值的事件。

该事件发生的概率为（Vi，T≤ Di）=P（Vi，0Xi，T≤ Di）=P（Xi，T≤ ln（Di/Vi，0））i=1。。。，N（8），其中Xi，t=exp{（ui-Pmj=1σij）t+Pmj=1σijWj，t}对于i=1，。。。，N.P（Xi，T）≤ ln（Di/Vi，0））=Nm（ln（Di/Vi，0））i=1。。。，N（9）其中Nm（.）是m>1时Xi，tw的累积正态分布。对于m=1，Vi，t=Vi，0exp，从（4）和（5）中检索单因素模型ui-（σi）t+σiWii=1。。。，N（10）和p（Vi，T）≤ Di=Ns（ln（Di/Vi，0））i=1。。。，N（11），其中Ns（.）是Xi的累积正态分布，t当m=1时。上述模型与信用风险分析中常用的单因素和多因素模型密切相关（Tasche，2006；Pykhtin，2004；Vasicek，2002）。在这些论文中，两种资产之间的成对相关性没有直接建模。假设两项资产均与一个（或多个）基础因素相关，且资产以公共因素为条件相互独立。通过假设每个布朗运动Bi，t=√ρY+√1.- ρi、 i=1。。，m、 其中Y是（单个）公因数，以及对于j，k=1。。。，我和上面一样。3散度度量和相关矩阵的模拟我们通过测量这两种概率之间的Jeffreys-KullbackLeibler散度来检验（11）和（9）之间的差异。设f（x）和f（x）是Rm上的两个概率分布函数，其中m是上文第2节中的依赖布朗运动数。f（x）和f（x）之间的Je ffreys-Kullback-Leibler散度度量定义为：j（f，f）=I1,2（f，f）+I2,1（f，f）（12），其中I1,2（f，f）=Z∞f（x）对数f（x）f（x）dx（13）是Kullback-Leibler散度或交叉熵。（Kullback和Leibler，1951年）。

尽管（13）确实满足I1,2（f，f）=0，并且每当f6=f时，正性条件I1,2（f，f）>0，但它不是真正的度量距离，因为它不是对称的，也不满足三角形不等式（Ullah，1996）。然而，它可以被认为是f（x）和f（x）之间的“熵距离”。它量化了当真实分布为f（x）时，将f（x）视为正确的概率分布时发生的信息损失。如果我们使用库尔贝克-莱布勒散度度量，我们将不得不任意决定多因素违约概率还是单因素违约概率才是真正的违约概率。由于Kullback-Leibler散度的不对称性，如果假设多因子分布fm为真实分布，则Im，s（fm，fs）=R∞fm（x）日志fm（x）fs（x）dx，与Is不同，m（fs，fs）=R∞fs（x）对数fs（x）fm（x）dx。在本文中，我们仅限于测量两种不同的公司违约模型导致的违约概率之间的差异，而没有对任何一种模型的准确性做出优先假设。

因此，我们选择Kullback和Leibler（1951）以及Burbea和Rao（1982）中提出的Kullback-Leibler测度的对称性扩展，即Jeffreys-Kullback-Leibler散度测度。将（13）代入（12），（12）变成j（f，f）=Z∞（f（x）- f（x））对数f（x）f（x）dx（14）（14）仍然是一个伪度量，因为它违反了三角形不等式，但它确实满足度量的其他性质（Kullback and Leibler，1951；Ullah，1996）。（13） 当f（x）为均匀分布时，即。-R∞f（x）log（f（x））dx。3.1模拟相关矩阵模拟随机相关矩阵最直接的方法是从给定分布生成随机数据，然后计算它们的成对相关性。然而，结果矩阵可能不一定具有所需的一致高（或低）成对相关性。模拟的相关结构也应该是真实的。所有有效对角线项均等于0.9的确定性矩阵将满足具有高相关性结构的要求。然而，对于大多数金融市场中发现的资产相关性而言，这将是一个非常糟糕的结果。为了系统地生成具有给定相关性的真实正定义矩阵，我们采用了Hardin等人（2013）创建的算法。在他们的论文中，一个“噪声”被添加到一个相关矩阵中，这样得到的矩阵将具有成对的相关块，其值在预定范围内。更准确地说，让S=（Sij）mi，j=1b是通过计算随机数据的成对相关性生成的m×m矩阵。根据均匀概率分布，我们得出一个“噪声”δij∈ [-1，1]添加到Sij，i6=j，受结果项^Sij=Sij+δij，i6=j应在[ρmin，ρmax]之间的限制。

在我们的“高资产相关性”场景中，所有条目都在[-0.99, -0.8]或在[0.8,0.99]范围内。在“低资产相关性”的备选方案中，所有条目都在[-0.4, -0.1]或在[0.1,0.4]范围内。我们对Hardin等人（2013）算法的主要修改是，我们允许δij、ρmin和ρmax为负，因为金融资产相关性可以是正的，也可以是负的。在他们的论文中，相关性总是正的。4结果和讨论我们对给定数量的公司N=10,50,90100500和1000，以及给定水平的债务杠杆ln（Di/Vi）=0.1，…，进行了2000年的多因素和单因素违约概率蒙特卡罗模拟，。。，2，以0.1的步长。对于每个模拟，我们随机估计一个高相关N×N矩阵。对于低相关性矩阵，重复此过程。每组模拟的结果是Jeffreys-KullbackLeibler散度（14）的2000个值，我们根据这些值计算图1和表4所示的平均值。我们的主要结果总结如下。多因素和单因素违约概率之间的差异随着资产相关性的增加而增大。对于N=10到100家公司，低相关散度的图表明显低于高相关散度的图表。对于N=10家公司，杠杆率等于10%，且相关性较低，平均差异为“JL=0.3400”。对于相同数量的企业，我们的所有模拟都在R中运行（R Core Team，2016）。生成随机相关矩阵的算法改编自Hardin等人（2013）和Joe（2006）。为了简单起见，我们在模拟中设置了N=m。杠杆作用，但高度相关，`JH=0.5669。杠杆率为200%-allelse equal的差异为“JL=0.0575”和“JH=0.1377”。表1显示了其他杠杆水平和市场规模的类似结果。