订单流量对价格影响的线性模型2。混合物

结果参数必须满足以下条件，才能描述定义良好的p阶马尔可夫模型ηi+pXg=1maxig阿吉，我< 1.我∈ 十、^ηi+pXg=1最小阿吉，我> 0, 我∈ 十、D优化问题的凸性命题D.1如果K不是奇异的，则以下约束优化问题^q=argminq∈Rp（m）-2m+1）kd- K·qks。t、 ^ηi+pXg=1maxig阿吉，我< 1.我∈ X^ηi+pXg=1最小阿吉，我> 0, 我∈ Rp（m）中的轴凸-2m+1）。证据如果目标函数和所有约束都是凸函数，这是正确的。首先，很容易证明目标函数2KKT的Hessian是一个正半有限矩阵。约束在q中是凸的，如果它们在参数agi，jb中是凸的，因为它们是q的分量的函数。设a为参数的向量阿吉，ji、 j∈十、1.≤G≤p、 我们需要证明函数f（a）=pXg=1maxig阿吉，我, 我∈ Rp（m）中的轴凸-2m+1）。如果我们证明它适用于固定的i，那么它适用于所有i∈ X和最小函数的约束。函数f（a）满足0≤ θ ≤ 1、参数a、b的不同向量∈ Rmp，以及固定的if（θa+（1- θ） b）=pXg=1maxigθagig，i+（1）- θ） bgig，我≤ θpXg=1maxig阿吉，我+ (1 - θ） pXg=1maxigbgig，我= θf（a）+（1）- θ） f（b）。因此，我们得出结论，函数f（a）在Rp（m）中是凸的-2m+1）。参考文献[1]Taranto，D.E.，Bormetti，G.，Bouchaud，J.-P.，Lillo，F.，和T\'oth，B.（2016）。订单流量对价格影响的线性模型I.传播者：瞬态与历史依赖性影响。预印本可在http://arxiv.org/abs/1602.02735.[2] 哈斯布鲁克，J.（1988）。交易、报价、库存和信息。《金融经济学杂志》，22，229-252。[3] 哈斯布鲁克，J.（1991）。衡量股票交易的信息含量。《金融杂志》，46179-207。[4] Bacry，E.和Muzy，J.F.（2014）。

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