扩散过程的无偏蒙特卡罗模拟

（49）线性组合（49）+（48）-（47）然后给出SFABC=（Ccab+Cbca）- Cabc）。颠倒（fα）bc的fabcin项的定义，我们得到（fα）bc=σαa（tk，Xtk）（Ccab+Cbca）- Cabc）=hσγc（tk，Xtk）ebβ（tk，Xtk）γCαβ（tk，Xtk）+∑βb（tk，Xtk）ecγ（tk，Xtk）βCαγ（tk，Xtk）（50）- ebβ（tk，Xtk）ecγ（tk，Xtk）Cαδ（tk，Xtk）δCβγ（tk，Xtk）i.等式（39）和（42）中的相等项，我们得到fα=μα（tk，Wtk）-（fα）bb（fα）a=σγa（tk，Xtk）γ-α（tk，Wtk）-（fα）bba。使用属性Tr（M）-1.αM）=αlog（det（M））我们重写（fα）bbas（fα）bb=βCαβ（tk，Wtk）-Cαγ（tk，Wtk）γ对数（det（C））（tk，Wtk）和getfα=μα（tk，Wtk）-βCαβ（tk，Wtk）+Cαγ（tk，Wtk）γ测井（det（C））（tk，Wtk）。（51）另外选择fαij=0表示fij=0表示（i=0，j）≥ 3） ，（i=1，j≥ 2） （我）≥ 2） ，表示（fα）为（fα）a=σγa（tk，Xtk）γ-α（tk，Wtk）。（52）这就完成了fα（k）作为多项式的定义t和Wfα（k）(TW）=（fα）aWa+fαt+（fα）ab佤Wb+（fα）aTWa的所有系数见等式（45）、（51）、（50）和（52）。最后，将等式（41）和（44）相等，我们得到g=r（tk，Xtk）（53）（g）a=σγa（tk，Xtk）γr（tk，Xtk）。（54）选择所有其他系数为0，我们也得到g（k）作为多项式坦然Wg（k）(TW）=gt+（g）aT哇。利用函数fα（k）和g（k），我们可以通过蒙特卡罗模拟求解偏微分方程（37）。此时，tkwe绘制了d个独立的高斯变量哇，1≥ A.≥ 带方差的数据tk=tk+1- 蒂克。

然后我们计算系统在以下日期的值Xαtk+1=Xαtk+fα（k）(tk，工作）。tk和tk+1isD（tk，tk+1）=e之间的（随机）贴现系数-g（k）(tk，Wk）。我们再次使用它，从tto tk+1asDk+1=DkD（tk，tk+1）=Dke获得折扣系数-g（k）(tk，Wk），从D=1.5.2修正项开始，从fα（k）和g（k）的定义，在tkad tk+1之间，我们有α（k）a(TW）=（fα）a+（fα）abWb+（fα）at根据系数的定义，这是iseα（k）a(TW）=∑αa（tk，Xtk）+cα（k）abWb+σγa（tk，Xtk）γ-α（tk，Wtk）t（55）与cα（k）ab=σγb（tk，Xtk）eaβ（tk，Xtk）γCαβ（tk，Xtk）+∑βa（tk，Xtk）ebγ（tk，Xtk）βCαγ（tk，Xtk）- eaβ（tk，Xtk）ebγ（tk，Xtk）Cαδ（tk，Xtk）δCβγ（tk，Xtk）.方程（38）读数为αk(TW）=fα+（fα）bb+（fα）a佤- （g） aeαa(TW）t^Cαβk(TW）=eα（k）a(TW）eβ（k）a(TW）^rk(TW）=g+（g）a佤-（g） a（g）at、 使用系数的定义，或者这些量应与μα、Cαβ和r一致，直到O(t） 我们可以将其改写为^k(TW）=μα（tk，Xtk）+σβa（tk，Xtk）βα（tk，Xtk）佤- βr（tk，Xtk）eα（k）a(TW）T^Cαβk(TW）=eα（k）a(TW）eβ（k）a(TW）^rk(TW）=r（tk，Xtk）+σαa（tk，Xtk）αr（tk，Xtk）佤-Cαβ（tk，Xtk）αr（tk，Xtk）βr（tk，Xtk）t、 用这些表达式表示k- 1.我们计算μαk=μα（tk，Xtk）- ^-1(tk-1.工作-1)Cαβk=Cαβ（tk，Xtk）-^Cαβk-1(tk-1.工作-1)rk=r（tk，Xtk）- ^rk-1(tk-1.工作-1） 我们得到了1+Hkλ=1-rkλ+αkλXαtk+CαβkλXαtkXβtkExcept上一次tp时，香港演艺学院onuk（tk，Xtk）=ZdXtk+1 BUTK，tk+1（Xtk，Xtk+1）1 +Hk+1λutk+1（Xtk+1）。

（56）更一般地，我们将考虑二阶微分算子Ak=Ak+aαk对该表达式的作用Xαtk+AαβkXαtkXβtk。如第3.2.1节所述，e考虑Xt和Wtdefinedbyxαt=Xαtk+fα（k）（t）之间变量的变化- tk，Wt- Wtk）。关于它诱导的衍生品a=eα（k）aα(57)A.b=eα（k）aeβ（k）bαβ+cα（k）abα及其逆关系α=ea（k）αA.αβ=ea（k）αeb（k）βA.B- ea（k）αeb（k）βec（k）γcγ（k）abc、 在新变量中，微分算子AkisAk=Ak+Aαkea（k）α（0,0）沃特克-Aαβkea（k）α（0,0）eb（k）β（0,0）ec（k）γ（0,0）cγ（k）abWctk+Aαβkea（k）α（0,0）eb（k）β（0,0）沃特克Wbtk。这个操作符作用于表达式（56）。

在新变量中，进化算子变成了sbu（W）tk，tk+1（Wtk，Wtk+1）=e-g（k）（tk+1）- tk，Wtk+1- Wtk）а（tk+1-tk，Wtk+1-Wtk）（58）式中φ是d维高斯核(TW）=（2π）t） d/2e-佤佤t、 在执行中的术语时Hk+1λ，我们对Wtk进行区分，即根据其定义乘以权重scw（k）aandcW（k）abWatkbU（W）tk，tk+1（Wtk，Wtk+1）=cW（k）a(tk，Wk）bU（W）tk，tk+1（Wtk，Wtk+1）沃特克WbtkbU（W）tk，tk+1（Wtk，Wtk+1）=cW（k）ab(tk，Wk）bU（W）tk，tk+1（Wtk，Wtk+1）。从表达式（58）我们得到了cw（k）a(TW）=佤t+ag（k）(TW）=佤t+σαa（tk，Xtk）αr（tk，Xtk）tandcW（k）ab(TW）=佤t+ag（k）(TW）Wbt+bg（k）(TW）-δabT- A.bg（k）(TW）=佤t+σαa（tk，Xtk）αr（tk，Xtk）TWbt+σβb（tk，Xtk）βr（tk，Xtk）T-δabt、 对于butk，tk+1直接作用于utk+1的术语，我们使用等式（58）中给出的bu（W）tk，tk+1（Wtk，Wtk+1）仅依赖于Wtk+1的事实-WTK将衍生工具从第一个变量转移到第二个变量：WatkbU（W）tk，tk+1（Wtk，Wtk+1）=-Watk+1bU（W）tk，tk+1（Wtk，Wtk+1）。然后我们在Wtk+1上进行部分积分，将utk+1上的导数转移到ZDWTK+1上WatkbU（W）tk，tk+1（Wtk，Wtk+1）utk+1（Wtk+1）=-ZdWtk+1水+1bU（W）tk，tk+1（Wtk，Wtk+1）utk+1（Wtk+1）=ZdWtk+1bU（W）tk，tk+1（Wtk，Wtk+1）Watk+1utk+1（Wtk+1）和类似的二阶导数。

然后，我们使用方程（57）返回tk+1日期的原始变量X。综合所有术语，我们最终得到AKUTK（Xtk）=ZdXtk+1bUtk，tk+1（Xtk，Xtk+1）Ak+1utk+1（Xtk+1），其中我们定义了Ak+1=Ak+1+Aαk+1Xαtk+1+Aαβk+1Xαtk+1Xβtk+1，其中Ak+1=Ak- dk(tk，（工作）rk+1λAαk+1=[Δαγ+bα（k）γ]Aγk- ebβ（tk，Xtk）ecγ（tk，Xtk）cδ（k）bcbα（k）δAγδk+dk(tk，（工作）μαk+1λAαβk+1=[Δαγ+bα（k）γ][Δβδ+bβ（k）δ]Aγδk+1+dk(tk，（工作）Cαβk+1λ。我们用ea（k）γ（0,0）eα（k）a定义bα（k）γ(KWk）=Δαγ+bα（k）γ，在我们的例子中，使用（55）安第斯山脉（k）γ（0，0）=eaγ（tk，Xtk）=σ（tk，Wtk）-1.aγ，给定sbα（k）γ=eaγ（tk，Xtk）cα（k）abWbk+γu（tk，Xtk）蒂克。我们还定义了通过权重乘法asdk进行算子分离的效果(TW）=Ak+Aαkeaα（tk，Xtk）cW（k）A(TW）+Aαβkeaα（tk，Xtk）ebβ（tk，Xtk）hcW（k）ab(TW）- ecγ（tk，Xtk）cγ（k）abcW（k）c(TW）i.最后，在最后一个日期，我们通过第3.2.2节中的反向抽样来保持方差。我们计算α（+）T=Xαtp+fα（p）(tp，Wp）Xα（0）T=^EtpXαT= Xαtp+α（tp，Stp）tpXα(-)T=Xαtp+fα（p）(tp，-Wp）和上一个时间步长d（+）p，T=e的相应折扣系数-g（p）(tp，Wp）D（0）p，T=e-g（p）(tp，0）D(-)p、 T=e-g（p）(tp，-可湿性粉剂）。然后我们可以从路径得到蒙特卡罗估计asPT=Dp的贡献dp(tp，Wp）D（+）p，ThS（+）T+dp(tp，-Wp）D(-)p、 ThS(-)T- d（0）pD（0）p，ThS（0）Td（0）p=hdp(tp，Wp）+dp(tp，-Wp）我-bEtphdp(tp，Wp）i=Aαβpeaα（tk，Xtp）ebβ（tp，Xtp）WapWbp总磷-δab总磷.通过构造d（0）phas得到一个空的期望值。因此，PTI是对期权价格的两个相反贡献的平均值，减去一个零预期值项。最后，所有路径的平均值给出了t（X）的蒙特卡罗估计。

如第2.5.3节蒙特卡罗方案总结中所述，在蒙特卡罗模拟中，在每条路径上，我们首先通过等式a=1初始化运算符Aby，并通过1 D=1初始化disccount因子Dby，当路径数达到完整且无任何偏差时，它收敛到它。我们从xt=X开始。我们画泊松乘以tk。在aMonte Carlo路径上从日期TKT到日期tk+1时，我们执行以下操作：1。计算所有系数fαij和gijin，得到函数fα（k）和gij。2.绘制d个独立的高斯变量瓦克维思方差然后得到下一个状态Xtk+1as Xαtk+1=Xαtk+fα（k）(tk，Wk）3。将折扣系数累加为Dk+1=Dke-g（k）(tk，Wk）4。根据上述Akas计算Ak+1。当我们达到到期前的最后一个时间tpt时，我们用tp+1=T执行步骤1和2，然后我们计算上面解释的校正贴现支付。最终值通过对所有蒙特卡罗路径进行平均得到。6最后的评论在这篇文章中，我们介绍了一种蒙特卡罗方案，它在保持有限方差的同时，无任何偏差地收敛到理论值。它适用于多维扩散过程，也可以处理随机利率。它可以减少达到给定精度所需的平均时间步数，从而节省大量计算时间。6.1相关工作我们利用了Henry Labord`ere等人（2015）发表的一些有趣的工作。然而，我们的蒙特卡罗方案在几个方面有所不同。主要区别之一是，在他们的方案中，考虑纠正条款的路径没有考虑基本的支付贡献（ST）。换言之，他们的选择相当于只有在时间t没有跳跃时才保持恒定的单位终端方程（6）。这发生的概率为1- λtδt，这由系数1补偿-λtδt~ eλδt。

方程式（6）被（1）取代- δNt）eλtδt+δNtHtλt.在到期日t上没有任何泊松跳跃的概率是e-λT。因此，只有这部分蒙特卡罗路径包含基本支付贡献。这是由eλδ吨的乘积在极小时间内产生的重量eλt补偿的。然而，这增加了总的蒙特卡罗噪声，尤其是泊松强度λ的大值。在这种情况下，e-λ接近于零，几乎没有路径（如果有的话）包括支付贡献h（ST）。此外，所有路径贡献包括一个因子eλt，该因子可能变得非常大。在我们的方案中，所有路径都保留了Payoff贡献，无论它们是否包含纠正项。此外，没有这样的因子eλT。这使得该模式可用于λ的任何值，即使它变大。第二个不同之处是，我们的模拟方案可以同时处理任何维度的零漂和非恒定波动。我们还展示了如何考虑随机利率。6.2可能的改进本文介绍的蒙特卡罗方案可以通过几种方式进行改进。特别是，人们可以对函数fα（k）和g（k）的精确形式做出不同的选择。根据具体的选择，这可以使模拟路径更接近原始流程，因此纠正条件会更小。作为一个简单的例子，我们可以在参数中考虑一些时间依赖性。此外，泊松强度λ可以依赖于时间t和随机变量Xαt。可以在校正项较高的区域增加泊松强度λ，在校正项较小的区域减小泊松强度λ。感谢卡利普索·埃雷拉、军事米利和阿尔诺·里沃伊拉的宝贵意见。参考Bally，V.和Kohatsu Higa，A.（2015）。参数法的概率解释。

《应用概率年鉴》，25（6）：3095–3138。arXiv:1510.06909。Henry Labord\'ere，P.，Tan，X.，和Touzi，N.（2015）。多维随机微分方程的精确模拟。预印本。arXiv:1504.06107。