扩散过程的无偏蒙特卡罗模拟

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英文标题：
《Unbiased Monte Carlo Simulation of Diffusion Processes》
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作者：
Louis Paulot
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  Monte Carlo simulations of diffusion processes often introduce bias in the final result, due to time discretization. Using an auxiliary Poisson process, it is possible to run simulations which are unbiased. In this article, we propose such a Monte Carlo scheme which converges to the exact value. We manage to keep the simulation variance finite in all cases, so that the strong law of large numbers guarantees the convergence. Moreover, the simulation noise is a decreasing function of the Poisson process intensity. Our method handles multidimensional processes with nonconstant drifts and nonconstant variance-covariance matrices. It also encompasses stochastic interest rates.
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中文摘要：
由于时间离散化，扩散过程的蒙特卡罗模拟通常会在最终结果中引入偏差。使用辅助泊松过程，可以进行无偏模拟。在本文中，我们提出了这样一种蒙特卡罗格式，它收敛到精确值。我们设法在所有情况下保持模拟方差有限，因此强大的数定律保证了收敛性。此外，模拟噪声是泊松过程强度的递减函数。我们的方法处理具有非恒定漂移和非恒定方差协方差矩阵的多维过程。它还包括随机利率。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Unbiased_Monte_Carlo_Simulation_of_Diffusion_Processes.pdf (607.22 KB)

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关键词：蒙特卡罗模拟 蒙特卡罗 扩散过程 蒙特卡 Applications

扩散过程的无偏蒙特卡罗模拟*Misys+2016年5月摘要由于时间离散化，扩散过程的蒙特卡罗模拟通常会在最终结果中引入偏差。使用辅助泊松过程，可以进行无偏模拟。在这篇文章中，我们提出了这样一个蒙特卡罗格式，它收敛到精确值。我们设法在所有情况下保持模拟方差的有限性，因此强大的数定律保证了收敛性。此外，模拟噪声是泊松过程强度的递减函数。我们的方法处理具有非恒定漂移和非恒定方差矩阵的多维过程。它还包括随机利率。1简介我们考虑抛物线偏微分方程tu+ααu+Cαβαβu=ru（1），在（1+d）维空间中具有终端条件uT（x）=h（x），具有时间和空间变量x，坐标xα，α=1。d、 所有系数都可能依赖于t，x.C是一个正的半有限对称矩阵。可以使用Cholesky分解将其重写为C=σ| orCαβ=δabσαaσβb。*定量研究负责人，路易斯。paulot@misys.com+华盛顿街42-44号，法国巴黎75008号。我们使用爱因斯坦求和约定：公式中出现两次指数求和：aαBα=dXα=1AαBα。我们还使用了Kronecker deltaδAb，如果a=b，则为1，如果a=b，则为0。Feynman-Kac定理表明，该偏微分方程的解由预期值u（t，x）=Ehe给出-RTtr（s，Xs）dsh（XT）| XT=xi。（2） 在多维扩散过程中，dxt=udt+σdWt。WT是独立标准布朗过程的d维向量。漂移u和波动率σ是依赖于时间t和状态变量x的随机变量。期望值（2）可以使用蒙特卡罗模拟进行数值估计。

然而，由于时间的离散化，常见的方案表现出一些偏差。例如，最简单的欧拉格式就是这样。人们通常通过较小的时间步长来控制这种偏差，这会增加计算时间。Bally和Kohatsu Higa（2015）引入的方案没有这种偏差（在r=0的情况下）。这是使用随机时间步实现的，其中时间离散化由独立泊松过程的跳跃时间给出。此外，我们必须将路径贡献乘以一些权重，这些权重是时间离散化和路径的函数。然而，这可能对应于不总是可积的或没有有限方差的可积随机变量，这会导致较差的收敛性。Henry Labord`ere等人（2015年）以两种不同的方式增强了该算法。首先，根据Malliavin权重获得所有扩散过程的权重函数。他们还设法在两种情况下保持综合变量的方差：恒定波动性和相关性（恒定Cαβ）或无漂移的一维过程（α=0）。方差由辅助泊松过程的强度控制，但它不是单调的：当泊松强度变得太小或太高时，方差会增加。特别是，在不增加方差的情况下，将平均时间步数增加到某个值以上是不可能的。我们的第一个贡献是引入了一种不同的蒙特卡罗方案，具有较小的方差。特别是，方差逐渐成为泊松强度的递减函数。作为第二个贡献，我们展示了如何在具有漂移和非恒定波动性的过程的一般情况下，在任何维度上确定方差。我们的第三个贡献是处理贴现率r是随机的情况。我们将在第2节介绍该方案的基本原理。

然后，我们在第3节的一维案例中对其进行了详细说明，并在第4节提供了数字证据。在第5.2节无偏模式2中，我们最终解释了随机贴现率的一般多维情况。1泊松过程让我们考虑终端条件为uT（x）=h（x）的抛物型偏微分方程（1）。我们可以将这个PDE重写为啧啧=-Htut其中Htut是椭圆微分算子Ht（x）=-r（t，x）+μα（t，x）α+Cαβ（t，x）αβ.演化算子可以用时间顺序指数表示，T=perthsds，它是有限产品的表示法，T=limn→∞N-1Yk=0eHt+k（T-t） /n（t）-t） n.这允许在终端条件uT（x）=h（x）asut=uT，TuT=uT，Th下写出方程（1）的解。明确变量，这意味着sut（x）=ZUt，T（x，y）h（y）dy。在某些情况下，例如，当随机过程是纯布朗运动或对数正态扩散时，所得的边际概率测度可以明确计算或精确模拟。在极小的时间δt，Ut，t+δt=eHtδ，测试函数φ上的触觉可通过与高斯核的卷积来表示：eHtδtφ（Xt）=e-rδtp（2πδt）d | det（C）| Zd（δX）de-δXδt- u总费用-1.δXδt- uδtφ（Xt+δX）。定义lt=（˙Xt）- ut）TC-1t（˙Xt）- ut）+rtwith˙Xt=tXt=δXδt，该卷积读取eHtδtφ（Xt）=p2π| det（C）|δtZQid（δX（i））e-Ltδtφ（Xt+δX）。因此，在t和t之间的极小时间内积分，UT可以表示为费曼路径积分UT=NZDXse-RTtLsdsh（XT）。积分以适当的归一化因子N覆盖从x开始的所有路径。在其他情况下，我们假设有一个不同的椭圆算子RbHT=-^r+^μαα+^Cαβαβ，选择系数r、u和C，使PDE啧啧=-通过蒙特卡罗模拟可以精确地解决这个问题。我们用but表示演化算子，t=perttbhsds，并将^C分解为^Cαβ=δab^σαa^σβb。

这意味着对于任意函数φ（x），我们可以得到但是，tφ（x） 是的-Rtt^r（s，Xs）dsφ（Xt）|Xt=xut在随机过程dxt=^udt+^σdWt下。在显式坐标下，该过程遵循方程式dxαt=^α（t，Xt）dt+^σαa（t，Xt）dWat（3），其中wat是独立的标准布朗运动。我们分解原始算子asHt=bHt+用一个改正的术语Ht=-r+uαα+Cαβαβ（4）与r=r- ^ru = u - ^uC=C-^C。使用此拆分，演化运算符变为comesut，T=PeRTt（bHs+Hs）ds。在每个极小时间δt上，我们有一个术语Htδt=1+Htδt=1- δtr+δtuαα+δtCαβαβ. （5） 选择具有漂移μ和协方差矩阵μC的过程，以便可以在没有任何偏差的情况下对其进行模拟。但是这个词公式（5）中给出的Htδt应在任何有限时间内进行计算和考虑，这在数值上是不可能的。相反，这一贡献Htδt仅在极小时间δt内保持概率λtδt，由λtδt的因子补偿，以使其预期值不变。换句话说，正如Bally和Kohatsu Higa（2015）和HenryLabord`ere等人（2015）所述，我们考虑强度为λt的泊松过程Nt。如果替换1+Htδt乘以1+δNtHtλt.（6）应用于测试函数φ，泊松过程的期望值给出了我们想要考虑的因子：EP1+δNtHtλtφ=1+λtδtHtλtφ=eHtδtφ。此外，强度λt也可能是一个随机过程，并且依赖于tand Xt。设p为时间tand T和tk之间的泊松跳跃数，k≥ 1跳跃次数。在两次泊松跳跃之间，演化算子对应于扩散过程（3）：bUtk，tk+1=PeRtk+1tkbHsds。过程^u和^Ct可能取决于泊松跳跃时间，也取决于扩散方程（3）给出的Xt值。

我们的明确选择将在第3节和第5节中描述。对所有时间进行积分，并在泊松过程中取期望值，我们得到了haveut=EPt但是，t1 +Htλt但是，t1 +Htλt······但是-1，tp1 +Htpλtp但是，Th（XT）.运算符BU通过积分作用于函数，可明确表示为T（Xt）=EPtZdXtbUt，t（Xt，Xt）1 +HtλtZdXtbUt，t（Xt，Xt）1 +Htλt···ZdXtpbUtp-1，tp（Xtp-1，Xtp）1 +HtpλtpZdXTbUtp，T（Xtp，XT）h（XT）. （7） 2.2蒙特卡罗模拟在蒙特卡罗模拟中，通过对根据BU给出的定律生成的模拟路径进行平均，来处理Xt、····、Xt和演化运算符BU上的积分。为了得到一个无偏蒙特卡罗方案，我们对泊松跳变时间t进行随机抽样，并根据过程（3）计算这些时间的Xtkat值。这一过程带有漂移μ和协方差矩阵μC，因此可以精确模拟，也就是说，当采样数趋于一致时，Xtk+1的蒙特卡罗分布以速率μr计算，以Xtk为条件，趋于utk，tk+1（Xtk，Xtk+1）。操作员Htkare微分算子作用于公式（7）中的所有因子。第一项取决于差异变量Xtkis in factbUtk，tk+1。如果我们知道这个进化内核的显式形式，我们就可以显式地进行区分。这定义了权重SCWα和CWαβ：XαtkbUtk，tk+1=cWαbUtk，tk+1XαtkXβtkbUtk，tk+1=cWαβbUtk，tk+1。这些权重与Malliavin权重相似，只是这里的kernelbU包含折扣因子。在零贴现率或确定性贴现率的情况下，cWα和cWαβ正是亨利·劳尔德·埃雷特等人（2015）在本文中介绍的马利雅文权重。当贴现因子取决于XTK时，它们也将这些贴现因子的导数合并在一起。然而，在这一步乘以这些权重将导致计算出具有不确定性的数量的预期值。

我们将在以下几节中解释这个问题以及如何解决它。其他项可以是Xtkare^u、^C、^r和λ的函数，取决于对这些函数的选择。然而，这些变量的变化不会影响最终结果。为了说明这一点，我们以递归的方式重写了中间泊松跳变时间的公式（7）：utk-1（Xt）=Etk-1.ZdXtkbUtk-1，tk（Xtk-1，Xtk）1 +Htkλtkutk（Xtk）. （8） 在这个公式中，HTK通过与Xtkon utk（Xtk）的差异而产生。utkinvolves^u、^C和λ的公式。然而，这些函数和过程（3）只是计算中使用的中间对象：utkdoes的最终值并不取决于为这些函数选择的值。因此，它们的变化对utk的导数没有贡献。以下是操作人员的差异因此，Htkare使用冻结的^u、^C和λ进行计算。为了说明这一点，我们将用X表示*t差异时不应改变的冻结值。2.3在本文中，我们考虑纯布朗过程的简单情况。演化算子是高斯核函数，t（Ws，Wt）=p2π（t- s） e-（沃特-那是什么-Was）2（t-s） 。相应的Malliavin权重为a=Us，t瓦苏斯，t=佤tWab=Us，t是WbsUs，t=佤WbT-δab特维斯W=重量- Wsandt=t- s、 时间两次跳跃之间的t由密度为λe的泊松定律给出-λt在小范围内表现为O（1）t、 作为W=O(√t） ，Malliavin权重为Wa=O√TWab=OT. 对于一大类扩散过程来说，这仍然是正确的。因此，（7）中的权重scwα和cwαβ的直接相乘将给出有限的方差。这将导致蒙特卡洛收敛性差。

为了很好地定义跳跃时间的期望值，并使被积函数具有有限的方差，我们积分的随机变量应为O阶tγγ<，所以它的平方是O阶t2γ2γ<1。为了得到一个变量，当t很小，重量应该乘以O的数量(t） 。在等式（7）中，HtkbUtk，tk+1（Xtk，Xtk+1）乘以1+Htk+1λ，除非tkis是最后一个泊松时间（k=p）。让我们先考虑一下这个术语Htk+1。根据其定义（4），它由与r（tk+1，Xtk+1）成比例的项组成- ^r（tk+1，Xtk+1），u（tk+1，Xtk+1）-^u（tk+1，Xtk+1）和C（tk+1，Xtk+1）-^C（tk+1，Xtk+1）。因此，我们的策略是将所有这些订单条款(tk）=O（tk+1- tk）。另一个乘法项是不在O（δt）中的1，它被乘以bybutk+1，tk+2（Xtk+1，Xtk+2）。对于这一术语，我们将利用Butk，tk+1（Xtk，Xtk+1）的特殊形式，将Xtk上的导数转换为Xtk+1上的导数。然后，通过部分积分，将该导数转移到UTK+1，tk+2（Xtk+1，Xtk+2）。最后一件要处理的是最后一个泊松时间，此时权重W必须乘以最终支付。在这种情况下，我们使用了inHenry Labord`ere等人（2015年）所说的对偶抽样来确定O(tp）=O（T- tp）。这样一来，积分的随机变量仍然是O（1）阶，因此在泊松定律下具有有限的方差。

然后，强大的数定律适用，蒙特卡罗收敛保持在O√N.现在，我们在第3节中详细介绍了具有确定性贴现率的一维情况，以及在第5.3节中具有随机贴现率的一般多维情况下的一维蒙特卡罗方案。我们首先考虑一维过程ds=u（t，S）dt+σ（t，S）dW的情况。我们采用确定性贴现率r（t），我们希望对到期日为t的欧洲期权进行定价，并支付（ST）。换句话说，我们要解抛物线tut（S）+u（t，S）Sut（S）+σ（t，S）Sut（S）=r（t）ut（S），终端条件ut（S）=h（S）。3.1蒙特卡罗路径我们采用恒定的泊松过程强度λ。从日期t开始，我们在第一个泊松时间t上绘制一个区域。例如，我们绘制一个0到1之间的随机均匀数Q，并反转累积定律：t=t-log（q）λ。因此，在我们得到一个大于T的日期之前，我们可以合理地绘制时间。我们将用T表示T之前的最后一个泊松时间。在两个连续日期tk和tk+1之间，我们将模拟一个具有漂移μ（t，S）和波动率σ（t，S）的过程。更准确地说，我们考虑一个布朗过程，并选择一个函数f（k）(TW）在每个时间tk，使得f（k）（0，0）=0，这取决于tk和Stk。然后我们定义为Stk+f（k）（t）- tk，Wt- Wtk）。（9） 这对应于It^o进程=tf（k）+Wf（k）dt+Wf（k）载重吨。用DST=^udt+^σdWtwe定义^u=tf（k）+Wf（k）（10）^σ=Wf（k）。

（11） 我们假设我们可以把f（k）写成幂级数f（k）(T西，吉！J菲吉钛Wj。（依赖于k的fijare系数，但为了简化符号，我们没有明确说明。）那么t=tk+1- 特坎德W=Wtk+1- Wtkwe具有^u（tk+1，Stk+1）=f+fW+f+fW+O(t） （12）^σ（tk+1，Stk+1）=f+fW+O(t） （13）我们在哪里使用W=O(√t） 。另一方面，函数的泰勒展开式tk+t、 Stk+f（k）(TW）和σtk+t、 Stk+f（k）(TW）给出u（tk+1，Stk+1）=u（tk，Stk）+Su（tk，Stk）fW+O(t） （14）σ（tk+1，Stk+1）=σ（tk，Stk）+Sσ（tk，Stk）fW+O(t） 。（15） 我们有σ（tk+1，Stk+1）=σ（tk+1，Stk+1）+O(t） 因此C（tk+1，Stk+1）-^C（tk+1，Stk+1）=σ（tk+1，Stk+1）- σ（tk+1，Stk+1）=O(t） 当且仅当方程（13）和（15）的系数相等。这意味着sf=σ（tk，Stk）（16）f=Sσ（tk，Stk）f=σ（tk，Stk）Sσ（tk，Stk）。（17） 同样，我们有u（tk+1，Stk+1）- ^u（tk+1，Stk+1）=O(t） 当且仅当iff+f=u（tk，Stk）f+f=Su（tk，Stk）f.使用这些方程的fand fin表达式，这个readsf=u（tk，Stk）-σ（tk，Stk）Sσ（tk，Stk）（18）f=σ（tk，Stk）Su（tk，Stk）-f、 （19）此外，Stat t=tkin（9）的连续性，相当于f（0，0）=0，给定sf=0。（20） 除了表达方式（16）、（17）、（18）、（19）和（20）之外，我们有选择所有其他科学家的自由。一个简单的选择是将它们设置为0:fij=0for（i=0，j）≥ 3） ，（i=1，j≥ 2） （我）≥ 2). 因此，在tk和tk+1之间，我们选择函数f到bef（k）(TW）=u（tk，Stk）t+σ（tk，Stk）W+σ（tk，Stk）Sσ（tk，Stk）(W- t） +σ（tk，Stk）Su（tk，Stk）TW（21）tkwe绘制一个高斯变量Wk=Wtk+1- 带方差的WTKtk=tk+1- 然后递归地得到蒙特卡罗路径Stk+1=Stk+f（k）(tk，工作）。