具有参考依赖偏好的实现实用程序

Barberis和Xiong（2012）也采用了净成本解释，其符号为（1）k） X，k为往返交易成本，在确定收益规模时只考虑交易成本的充分确认。数量tttGX R如果他完全确认交易成本，并将净再投资金额与参考水平进行比较，则。tttGKX R如果他认为收益是销售净收益和参考水平之间的差额，那么（1）。stttGkXR 将增益定义为tttGXR涵盖了这三种情况 以及设置参数 到1、K或1分别是ks。中间视图也是可能的。我们留下参数 允许许多解释。这些规则在时间上的一致性，以及（i）第（1）项中的效用爆发在程度上是同质的假设 在X和R中，（ii）资产价值过程具有随机恒定的规模收益，（iii）投资期限是无限的，共同保证未来看起来是一样的，只取决于当前的投资和参考水平。这从两个方面简化了我们的问题。首先，它将时间作为显式变量删除。其次，我们的投资者总是有动机在卖出头寸后立即进行再投资，因为他首先选择进入市场。用V（Xt，Rt）表示时间t的值函数。如上所述，V不明确取决于时间，而只取决于当前的投资和参考水平。根据定义，价值函数是未来贴现效用暴增{}（，）max（，）iitttitvx R e GUR之和的最大化期望 （3） 在哪里 是时间偏好率，itG安迪分别是美元规模和未来收益的参考水平，以及是实现的随机时间。

在我们的模型中，这些时间是由投资者内生性地选择的，以最大限度地提高其终身预期。为了解决（3）提出的问题，我们使用时间同质性属性将其重写为递归表达式（，）max（，）（，）tt tt tt tVX re U RR KXeVKXX   （4） 在哪里是下次拍卖的时间。此后，除非为了清晰起见有必要，我们将时间下标隐藏起来，以便于注释。在销售中，销售前的价值函数必须等于销售的效用爆发和再投资后的持续价值函数之和。所以在销售时，在成本之前实现。VXR U R KXR VKX X（5） 在销售时间之间，方程（4）可以使用迭代期望定律和T^o引理重新表示0 { [ ( , )]} .ttXX Xde V X R e XV XV数字电视（6） 为了完成这种最大化的规范，我们需要为从不执行任何销售的策略分配一个效用值。在这种情况下，显而易见的选择是将该策略的效用值指定为零，该值与允许销售但从未执行任何策略的策略实现的效用值相同。因为U（G，R）是齐次的 在G和R以及资产价值过程中，规模收益率为常数，V也必须是齐次的 在X和R中，因此可以写成（，）（），VXR Rvx 其中v是约化形式值函数，xX/R是参考值每美元的总回报。v的方程式是0。xvxvv   （7） （7）的通解是12 1，2（），其中。vx-Cx       （8） 无论u的形式如何，这都是正确的。销售爆发的效用只影响常数C。

同样由于同质性，最优的销售策略必须是在股价达到固定倍数时实现收益或损失，, 或分数，, 参考水平的变化。上销售点，, 必须超过1/ > 1除此之外，销售不是成本后收益。较低的销售点，, 必须小于1。将齐性关系（1）应用于边界条件（5），得到简化形式的边界条件（）    （9） 将它们等同于（8）中的通解，我们可以确定策略变量12 1212 12（）（（）（）（1）式中（）的常数和项。（1）iicu c uCcc cccu cucccc      （10） 最佳销售点， 和, 现在可以通过最大化C+C来确定，V必须是正齐次的；即。，  0.自00 0（，）（1）起，VX Xv当 < 0，投资者总是希望减少其初始投资，并且在有限期内完全不参与。肯定的 还确保| U（gR，R）|对于固定的g在R中增加；也就是说，参考水平越高，给定回报率的效用就越大。这种特性类似于增加相对风险厌恶。有关最优策略稳定性的更多详细信息，请参见附录。在范围（1,1）内的任何点进行销售/) 在考虑交易成本后产生主观损失。在美国的一贯政策下 在这个范围内，永远不会有更高价格的销售，因为x的随机过程是连续的，每次回购后，当参考水平设置为净投资时，从1开始。但这意味着只有负效用爆发的损失才会被实现，从而导致负v。

这不可能是最优的政策，因为从不销售的效用为零，因为根本不参与。图1：确定最佳销售策略。该图说明了实现收益和损失的价值函数和最优策略。连续或nosales区域中的值与每个销售点的支付函数和连续值之和相切， 或.这是v（1）的值，或者通过在两个销售点应用平滑粘贴条件。解与最优解- 策略如图1所示。无销售区域从 到. 如图所示，该值函数超过该区域的效用突发加上连续值之和；它与收益相切，包括在 和.对于某些参数值，最好放弃所有损失。在这些情况下，continuationvalue不足以抵消实现损失的无用性。值函数仍然由（8）给出，尽管C=0，因此v（0）=0。典型的股票和交易成本值为 = 9%,  = 30%，ks=kp=1%。一个效用投资者将如何交易这只股票？要回答这个问题，我们必须指定突发效用函数。累积前景理论（CPT）的参考比例版本最优销售策略必须在延续区域内使其参数的每个值的v最大化，并且x=1保证在延续区域内，因为 < 1 < 1/ < . 请注意，平滑粘贴条件并不是简单地将v的导数与爆发的边际效用相匹配。它必须应用于（9），在右边有连续值和实用程序突发。

正如下面的命题1所讨论的，在某些情况下，它们是一个受约束的最优值， = 0，此时平滑粘贴条件不适用。除非 > 0和 , 没有唯一的最优，因为许多策略会导致无限的效用。这些横向性问题在附录中讨论。Tversky和Kahneman（1992）提出的公用设施，以下称为缩放的TK公用设施，issTK（，）（/）用于（）0GLsTK sTKggUGRRuGR uggg （11） 与0<GL 1.  1.对于CPT，参数根特l确定投资者对收益的风险厌恶和对损失的风险寻求，而损失厌恶通过. 缩放参数满足0   闵(LG） 。上限 确保前面讨论的期望性质，即对于固定的G.a非负的| U（G，R）|在R中弱递减这是一种参与约束。Tversky和Kahneman（1992年）估计公用设施参数如下：G=L=0.88和 =2.25. 因为他们不关心跨期因素，所以他们既不估计非集中度，也不考虑扩展。然而，对于如此低水平的风险厌恶，横向性条件被违反，投资者永远等待实现任何收益，除非 几乎等于预期的回报率。对于G=L=0.88和 = 8%，除非投资者对损失的厌恶程度很低，否则投资者永远不会意识到损失 接近一个。然而，对于其他效用参数，自愿承担损失可能是最优策略的一部分。例如，吴和冈萨雷斯（1996）估计 = 0.5. 使用效用参数，G=L=0.5， = 2.和 = 5%最优策略不包括任何风险的自愿损失 小于约0.327。图2显示了最佳销售策略， 和, 密谋反对 不同的价值观根特L

二者都 和 减少 虽然 下跌的速度要快得多，为了避免损失，投资者不会意识到任何损失。如果损失得以实现，其规模总是大于收益。这似乎有悖常理，但较小的收益被更频繁地实现，而且由于边际效用随着收益或损失的大小而降低，几个较小的收益超过了相同总规模的单个损失的无用性。关于收益和损失实现的一个常见观察结果是处置效应，这通常被认为是S型效用函数的结果。设定  甘德尔将（11）减少到Tversky和Kahneman（1992）中介绍的标准案例作为他们的损失厌恶参数。损失厌恶会随R而变化，但参考水平是康斯坦丁最初的静态解释。巴伯里斯和熊（2012）模型是特例 = G=L=1。限制 来自横截性条件，G . 虽然所需的贴现率与通常假设的贴现率相比更大，但许多行为金融模型确实假设投资者非常不耐烦。从交易收益中获得的效用可能比终身消费的效用表现出更多的不耐烦，这似乎是合理的。此外，这种高贴现率可以包含描述投资者停止此类交易的风险率。

死亡有时会以这种方式插入无限期模型，尽管这里交易的终止可能只是因为缺乏进一步的兴趣。Shefrin和Statman（1985）首次提出S型效用函数会导致处置效应。韦伯和卡默尔（1998年）、奥登（1998年）、格林布拉特和韩（2005年）以及其他理论和实证论文也提出了类似的观点。图2：最佳销售策略。该图说明了以收益方损失作为参考水平的倍数或分数进行销售的最佳策略。股票价格参数如下： = 9%, = 30%. 交易成本为ks=kp=1%。实用程序参数为 = 5%,  = 0.25，以及G=L=0.3,0.5,0.6，如图所示。投资者在评估其效用时充分认识到交易成本，即：。， = K (1ks）/（1+kp）。这种效应通常被认为是S型效用函数的结果。原因是投资者意识到了自己的收益，因为他厌恶风险，因此不愿意谈论未来不确定的收益；然而，由于对损失进行冒险，他会赌博并推迟实现这些损失。这种分析隐含地假设了实现效用，因为未实现收益或损失的任何影响都会被忽略。但这一论点只是静态地考虑了一次销售，忽略了再投资的任何影响，也没有解决为什么任何损失都会实现，而不是不断推迟的问题。当然，即使忽略再投资，如果股票价格的预期变化足够高，从而使未来更大的预期收益抵消其额外风险，收益的实现也可能会推迟。

相反，如果平均价格变化为负值，则可能会提前实现损失，以避免未来更大的预期损失，而实现收益则是为了避免风险和避免更小的预期收益。Shefrin和Statman（1985）首次提出S型效用函数会导致处置效应。韦伯和卡默尔（1998年）、奥登（1998年）、格林布拉特和韩（2005年）以及其他理论和实证论文也提出了类似的观点。Henderson（2012）通过研究像我们这样的扩散模型形式化了这一论点，该模型只允许单一的凹型实现效用，损失的无用性永远无法通过在相同总规模的后续收益中恢复该损失的好处来抵消，但如图2所示，损失将与S型效用函数的收益一起实现。自那以后，损失远低于收益 距离1远得多.然而，与S型效用导致处置效应的静态论点形成鲜明对比的是，S型效用实际上是为了在动态语境中减少处置效应。像根特L减小，形状变得更明显，最佳增益点，, 只受到了一点影响，, 显著增加，减少处置效果。原因是实现ALOS重置了未来可能收益的参考水平，这可以抵消损失的直接效用。也就是说，从某种意义上说，实现亏损就是购买一项有价值的期权。

什么时候由于小收益的边际效用非常大，使得损失的无用性“可以承受”，因此这种期权效应可能是巨大的对于跨期实现效用，S型效用函数不会产生错位效应；这实际上减少了损失，解释了为什么任何自愿损失都能实现而不是没有实现。作为损失厌恶参数 增加，损失变得更加痛苦 如图2所示，持续下降至零。这种不连续的变化是因为最大化问题不是一个标准的凸优化问题。如图3所示，约化值函数v（1）不是. 内部局部最大值和角部局部最大值都可能为零，并且两者都可以是全局最大值。重复小损失的高边际无效性，加上交易成本，使得损失承担在高价值的交易中处于次优状态 接近1。另一方面，对于低, 连续值，与（K）成比例), 非常小，无法抵消损失的无用性。这使得我们完全避免了损失( = 比承受巨大损失要好。仅适用于中间值 延续价值是否足以抵消损失的无效性。所以v（1）在任意一点上都达到了它的局部最大值 = 0或中间值。图3显示了两种最佳的G=L=0.5和 = 0.3. 任何出售和回购后的初始约化值函数v（1）是根据 三个价值观. 在每种情况下，上销售点都固定在其独特的最佳值上。对于 = 2.5.最好是以最低价格销售亏损产品 = 0.183. 对于 = 2.56，有一个最佳的 = 0.147，但这只是一个局部最大值，因为从不亏本销售可以提供更高的实用性，如图所示。

对于临界值 2.531，均以亏损价出售 = 0.166和从不亏本出售提供了相同的预期价值。因此，销售点越低，, 不会随着时间的推移平滑地减小到零 增加；无需再投资即可变现销售。她发现，只有当 < 0.与hermodel相比，我们的研究表明，再投资是重要的，并且作为一个直接的结果，即使有积极的投资，也会自愿实现亏损 具有经验性的重要性。由于回报率是对数正态的，所以适当的“距离”比较是NN；同样，因此，即使对数距离相等，也会更频繁地实现增益。一些研究表明，前景理论可能不会导致处置效应，例如Barberis和Xiong（2009），Kaustia（2010），Hens和Vlcek（2011）。与我们的模型相比，这些论文都没有考虑再投资。图3：缩放TK实用程序的值函数。销售和参考水平重置后立即测量的scaledTK实用程序的约化值函数v（1）针对不同的损失销售点绘制，. 获得销售点，, 固定在其最佳值。实线显示了的值函数 = 2.531，虚线显示了 = 2.5，虚线显示了 = 2.56. 其他参数包括 = 9%,  = 30%，ks=kp=1%，G=L=0.5， = 0.3,  = 5%  = 1.ks。对于 = 2.5、两点政策( =0.183, = 1.037）是最佳的。对于 = 2.56，一点政策( = 1.036）是最佳的。对于临界值= 2.531，两点政策( = 0.166,  = 1.036）和一点政策( = 1.036）具有相同的预期效用。随着时间的推移，从0.166不连续下降到0 通过临界值2.531。在注册时也发生了类似的变化 其他参数也是如此。