谷歌全球经济活动网络矩阵

3.我们展示了第二次迭代后的GPVM结果。对于WTN，可以方便地分析PageRank-CheiRank平面（K，K）上的节点分布*).除了两个排名指数K，K*我们使用also2DRank指数K，该指数描述了[25]中所述的两个等级的综合贡献。通过增加K来构造排名列表K（i）→ K+1，如果第一个K的列表中出现新条目，则将2DRank索引K（i）增加1*< 输入CheiRank，然后在K中完成一个单元步骤*如果新条目出现在第一个K<K的列表中，则Kis增加1*切兰克中心。更正式地说，2DRank K（i）给出了出现在正方形[1,1；K=K，K]中的节点序列的顺序*= k、 …]当一个人从k=1逐渐运行到N时。此外，我们还分析了缩减索引（Kc，K）的节点分布*c） ，（Ks，K*s） 。G，G本征态的局部化性质*以定义为ξ=（π|ψi |）和π|ψi |的逆参与比（IPR）为特征。这个数量决定了对给定本征态形成有贡献的节点的有效数量（详见[9]）。012 3Log 10 K，K*-6-4-20Log10 P，P*2次迭代1次迭代VolumeFig。2.PageRank P（K），CheiRank P的概率依赖性*（K）*), ImportRank^P（^K）和ExportRank^P*（^K）*) 2008年WNEA（orOECD-WTO-TiVA网络）对数标度指数α=0.5，Nc=58，Ns=37，N=Nc×Ns=2146。此处，PageRank（CheiRank）在第一次和第二次迭代后的GPVM结果分别以红色（蓝色）和虚线和实线显示。ImportRank和ExportRank与交换值的概率分别用品红和青色细曲线表示。00511,5Log 10 KS，KS*-4-3-2-1Log10 PS，PS*卷第一次迭代第二次迭代00511,5Log10 KC，KC*-4-3-2-1Log10 PC，PC*卷第一次迭代第二次迭代图。3.

PageRank和Cheirank的概率分布*s（K）*s） （左面板）和国家Pc（Kc），P*c（K）*c） （右面板）图2中WNEA（orOECD WTO TiVA网络）的对数比例。这里，第一次和第二次GPVM迭代的结果显示为PageRank（CheiRank）的红色（蓝色）曲线，分别为虚线和实线（曲线有很强的重叠）。汇兑价值排名的概率分别由ImportRank和ExportRank的淡品红色和青色线条显示。2.3 PageRank和CheiRank向量的相关器[24,25,13]在以前的工作中，我们考虑PageRank和CheiRank向量的相关器：κ=NNXi=1P（i）P*（一）- 1.（9） [9]中给出了各种网络的κ的典型值。V.Kandiah、H.Escaith和D.L.Shepelyansky：世界经济活动网络的谷歌矩阵5全球PageRank和CheiRank概率的行业相关系数矩阵定义为：κss=NcNcXc=1P（s+（c- 1） Ns）P*（s+（c）- 1） Ns）PcP（s+（c- 1） Ns）PcP*（s+（c）- 1） Ns）-1（10）然后给定扇区的相关器从（10）中得到：κs=κssδs，s，（11），其中δs是克罗内克δ。我们还使用了从被定义为κ（c）=NcNcXc=1PcP的行业（Pc=PsPsc）和国家（Ps=PcPsc）的概率追踪中获得的相关系数*C- 1，κ（s）=NSXS=1PsP*s- 1.（12） 在上述等式（9）-（12）中，计算PageRank和CheiRank概率的相关器。

我们也可以使用ImportRank^P和ExportRank^P中交换值的概率来计算相同的相关器*由（3）定义。获得的结果将在下一节和网站[26]上展示。3结果我们将GPVM方法应用于WNEA的OECDWTO TiVA数据集，并在下面展示获得的结果。3.1 PageRank和CheiRank概率PageRank P（K）和CheiRank P概率的相关性*（K）*) 它们的索引K，K上的向量*如图2所示，为选定的2008年。结果可以近似地用代数依赖关系P来描述∝1/Kβ，P*∝ 1/K*PageRank的fit指数β=0.385±0.014，K，K的cheirank指数β=0.486±0.02*≤ 10.与WWW和维基百科网络（见[9]）相比，两个等级之间的β没有显著差异，这可以归因于经济网络的固有属性，以保持商业交易的经济平衡。与价值排名相比，谷歌排名的概率变化减少。这是谷歌矩阵分析中使用的“民主”或“平等”国家排名的结果。获得的数据还表明，第一次和第二次GPVM迭代的概率变化不是很大，这表明了该方法的收敛性。行业（GPVM，1995年）行业（GPVM，2008年）10203050606060KC*KC102030506060KC*KC1020305060KC*Kc行业（1995年第卷）行业（2008年第卷）1020305060KC*KC1020300505040508080808080804050505050505050505050505050505050505050505050505050506KC*Kc商品（1995年）商品（2008年）1020300505050505050505050505050505050505050505050505050505050505050505050505050506KC60KC*Kc*。4.

PageRank CheiRank飞机上的国家位置（Kc，K）*c） 通过GPVM分析（toppanels）、汇兑价值的进出口排名（middlepanels）和WTN所有商品贸易排名的PageRank CheiRank平面[13]（底部面板）获得WNEA，如图c，K所示*C≤ 60.左（右）面板显示1995年（2008年）。3.2追踪概率P（K），P*（K）*) 在各部门中，我们获得了世界各国在帕格朗克-切朗克飞机（Kc，K）上的分布情况*c） 图4所示为1995年和2008年的WNEA。在同一张图中，我们展示了从进出口商品交换价值的秩概率中获得的秩分布，以及[13]中针对所有商品的WTN获得的结果。对于GPVM数据，我们可以看到[13]中已经讨论过的全球特征：这些国家分布在对角线Kc=K附近*C每个国家的进口规模都与出口规模相关，即使贸易从来都不完全平衡，一些国家可能会保持显著的贸易顺差或赤字。排名前20位的20个国家恢复了20国集团主要世界经济体19个国家中的13个（欧盟排名第20），从而获得了整个名单的68%。这接近于6 V.Kandiah、H.Escaith和D.L.Shepelyansky：全球经济活动网络[13]中所有商品贸易的谷歌矩阵中获得的百分比。谷歌排名forWNEA和WTN（图4中的顶部和底部面板）为特定国家（例如：。

俄罗斯提高了其对WNEA的地位，而中国的趋势相反），但WNEA和WTN的全球分布特征仍然相似，对应于相同的经济力量。0 10 20 30 400102030400 10 20 30 400102030401 C01T05 AGR2 C10T14 MIN3 C17T19 TEX5 C20 WOD6 C21T22 PAP7 C23 PET8 C24 CHM9 C25 RBP10 C26 NMM0 10 20 30 400102030400 10 30 400102030400 10 20 400102030400 10 30 400102030400 10 400102030400 20 400102030400 10 400102030400 10 40010203040 10 40010203011 C27 MET12 C28 FBM13 C29 C29 MEQ14 C30 ITQ15 C30 ELQ16 C38C34 MTR19 C35 TRQ20 C36T37 OTM0 10 20 30 400102030400 10 20 30 4001020304021 C40T41 EGW22 C45 CON23 C50T52 WRT24 C55 HTR25 C60T63 TRN26 C64 PTL27 C65T67 FIN28 C70 REA29 C71 RMQ30 C72 ITS0 10 30 400102030400 10 C73 RDS32 BZS33 C75政府C80教育C85 HTH36 C90T93 OTS37 C95 PVHKS*KS*KS*KFRANK（GPRANK）KFRANK。5.行业在（Ks，K）上的二维排名*s） 使用GPVM方法对PageRank和CheiRank（左面板）以及ImportRank ExportRank（右面板）进行规划。每个部门都由其特定的颜色和符号组合来表示。表2列出了所有37个部门的清单。顶部面板显示1995年的情况，底部面板显示2008年的情况。在追踪了多个国家后，我们得到了图5所示的活动部门的PageRankCheiRank平面。我们看到，一些行业是以出口为导向的（例如，K的s=2C10T14采矿业）*2008年s=1）其他产品为进口产品（例如，2008年Ks=1时s=23 C50T52世界电机零售和贸易等）。进口给了一个相当不同的进口领头羊s=7 C23焦炭、精炼石油产品等的制造。

2008年Ks=1。因此，谷歌排名突出了高度连接的网络节点，而进出口优先考虑高价值，忽略了不同国家和活动部门之间现有的网络关系。我们还可以通过2DRank索引Kgetting为PageRank CheiRanktop扇区s=25,23,8，K=1,2,3订购扇区，而ImportExport为2008年的top kValue提供s=8,11,14（更多数据见[26]）。我们注意到，s=25对应于具有多个网络连接的传输，从而锁定了顶部K位置。我们注意到[14]中讨论了商品贸易数据的产品评级不对称性，然而，与这些数据的比较并不简单，因为产品和活动部门之间的对应关系并不简单。当然，对于WNEA来说，行业排名的不对称性甚至存在于进出口排名中，这与WTN有着巨大的差异，因为活动行业之间存在互动。2008年全球排名前20位的国家及其活动如表4所示。PageRank K=1、2、3的前三名分别来自德国（电机制造等，s=18）、美国（公共行政和国防s=33）、世界其他地区（也是s=33）。因此，武器和武器的进口起着非常重要的作用。与进口量K=1、2、3相比，我们发现美国（石油s=7）、日本（也是s=7）和美国（s=33）的结果有很大不同。为了切朗克*= 1、2、3我们分别找到了俄罗斯、沙特阿拉伯的ROW（s=2 C10T14采矿），而对于ExportRank，我们分别找到了沙特阿拉伯、俄罗斯的ROW（s=2 C10T14采矿）。因此，由于广泛的活动网络和贸易联系（在[13,14]中发现了石油贸易的类似影响），俄罗斯成为沙特阿拉伯的领导者。排名前三位的K=1、2、3是德国（s=8化学品制造等）。

美国（s=27金融等）、德国（s=13机械制造等）。我们可以确定某个活动部门，然后考虑（Kc，Kc）国家的当地排名*) 飞机图6显示了s=21（电、气、水）、28（房地产活动）、1（农业）的三个示例。谷歌排名（左栏）与价值导入导出排名（右栏）的比较显示了GPVM强调的网络连接的重要性，因此俄罗斯从Kc中撤出*= 右面板上的4到K*由于其与欧洲和亚洲的广泛联系，s=21的左侧面板上的c=2。对于图6底部面板中的s=1情况，我们发现，与PageRank-CheiRank情况相比，进出口排名分布更接近对角线，我们将其归因于后一种情况中存在的间接链接的影响。全局（K，K）上节点的分布*) 图7显示了2008年谷歌排名（左面板）和进出口排名（右面板）。大多数国家以灰色方框显示，而6个选定国家以颜色标记。两个面板的比较表明，在谷歌排名中，美国的排名有所提高（在最高的K位置有更多黑色符号），而中国的排名（绿色符号）有所减弱。我们将此归因于美国在全球重要活动领域（如军事活动和国防）的更广泛网络联系。V.坎迪亚，H.Escaith和D.L.Shepelyansky:Google matrix of the world network of economic activities 721）C40T41 EGW（GPVM）21）C40T41 EGW（Vol.）10203050505060KC*KC102030040506050505060KC*Kc28）C70 REA（GPVM）28）C70 REA（Vol）102030050604050KC*KC102030050505050KC*Kc*KC10203005050505050KC*1）C01TC050AGR（GPVM*1）1020300405060100300405060KC*KC1020300405060100300405060KCFIG。6.

左列面板显示了本地RANK值Kc，Kc的PageRank CheiRank平面上国家位置的GPVM数据结果*订购人（Kcs，K）*cs）对于s=21（顶部）、s=28（中间）和s=1（底部）的特定扇区。右栏面板分别显示ImportRank ExportRank平面以供比较。给出了2008年的数据。如图4.3.3 PageRank和CheiRank的相关特性所示，每个国家都有自己的特征。有向网络可以通过PageRank和CheiRank向量的相关因子κ来表征。对于各种网络，κ的性质见[24,9]。有一些定向网络的κ值很小，甚至略为负，例如Linux内核或物理网络，或κ~ 4用于维基百科网络和更大的值κ≈ Twitter网络的116名用户。图7显示了各个扇区的WNEA相关器。几乎所有相关因子κ都呈阳性分布，分布范围为（0,1）。只有s=37（私人家庭等）出现较小的负值，对应于买家和卖家之间的反相关性。s=29（机器租赁等）的最大相关系数κsis表明，机器的销售与其购买相关，可能是因为部件需要pro1 10 100 1000K1101001000K*KoreaChinaRussiaFranceBrazilUSA1 10 100 1000K1101001000K*图7。秩指数的全局平面（K，K*) 用于2008年N=2146个节点的PageRankCheiRank（左面板）和ImportRank ExportRank（右面板）。每个国家和部门对由一个灰色正方形表示。一些国家用颜色突出显示：美国用黑色，韩国用红色，中国（和台湾）用绿色，俄罗斯用蓝色，法国用黄色，巴西用橙色。01020 30S01234κSFig。8.来自GPVM的PageRank CheiRank相关器κs（参见（10）、（11））显示为扇区索引s的函数，图5中有相应符号。

PageRankCheiRank和ImportRank ExportRank相关器分别以实线和虚线显示，其中全局相关器κ（9）以黑色显示，国家κ（c）（12）的相关器以红线显示，扇区κ（s）（12）的相关器以蓝线显示。在这里，部门指数s按表2中出现的顺序计算。给出了2008年的数据，其中NS=37，Nc=58，N=2146。生产相同工业部门的公司生产的机器。图8显示了1995年和2008年s、sis部门之间的相关系数矩阵。有趣的是，1995年位于s=28（房地产活动）的最大相关器线在2008年发生了巨大的变化（机械租赁等）。我们还看到，与1995年相比，2008年各部门之间的关系有所减少。对相关性进行更详细的分析将有助于更好地理解各种经济活动部门之间隐藏的相互关系。8 V.Kandiah、H.Escaith和D.L.Shepelyansky：世界经济活动网络的谷歌矩阵-1-0500,51-0200,2-1-0500,51-0200,2-1-0500,51Re（λ）050100015200-1-0500,51Re（λ）050100015200λξ图9。顶部面板：谷歌矩阵G（左）和G的频谱*（右）用λ的复平面表示。2008年的数据为α=1，N=2146，Nc=58，Ns=37。图10和表5中用彩色圆圈标记的四个本征值来说明本征态。底部面板：G（左）和G的所有本征态的逆参与比（IPR）ξ*（右）作为上述光谱对应特征值λ实部的函数。3.4 WNEA谷歌矩阵的光谱和本征态Wikipedia网络[29]和多产品WTN[14]的结果表明，G和G的本征向量*对于较大的特征值模|λ|选择特定的社区。

因此，分析WNEA特征值的性质很有意思。在α=1时，λ=1和其他特征值之间的差距表征了系统松弛到平衡静态PageRank状态的速率（对于G）。smallgap的存在表明，系统中的混合和弛豫是在G矩阵多次迭代之后才发展起来的（参见[9]中的更多讨论）。WNEA的矩阵尺寸相对较小，G，G的整个谱λ*可以通过直接矩阵对角化来确定。光谱如图9的顶部面板所示。其特点是λ=1与α=1时|λ|<0.7的其他特征值之间存在显著差距。我们将其归因于矩阵节点（国家和部门）之间的大量相互连接链路，这通常是导致频谱差距出现的原因（参见[27]，其中差距随着每个节点随机链路数量的增加而增加）。我们还注意到，|Imλ|<0.2的最大值相对较小，因为节点之间存在正向和反向连接。这些特征表明，在WNEA中，稳态PageRank向量的松弛过程相对较快。事实上，这种放松是由指数exp控制的(-λt）在哪里λ ≈ 0.25图9和t中forWNEA的间隙是G的迭代次数。本征态的特性由图9底部面板中所示的pRξ表示。我们发现，州的主要部分有ξ N，因此它们只占据与局域态相对应的一小部分节点（参见[9,28]中关于谷歌矩阵本征态安德森局域的讨论）。图10显示了几个本征态的振幅|ψi |的依赖关系，这些本征态由对应于单调振幅降低的局部秩指数Ki排序。表5给出了这些本征态的前10个节点的名称。图中的红色曲线。