基于Copula的分层风险聚合-树依赖抽样和

让我∈τ是依赖于树的随机向量，注意，通过定理3.2中所述的收敛结果，我们知道重新排序的样本近似于oX=（X1,1，X1,2）和X=（X2,1，X2,2）的分布X=X1,1+X1,2和X=X2,1+X2,2（X，X）和总骨料X= X+X。目前尚不清楚样本是否提供了以X的分布为特征的树相关随机向量的近似值~ N（u）, Σ).为了研究这个问题，我们计算了样本协方差矩阵∑样本量为n=10的重新排序样本中：=2.9985 2.4252 0.9513 0.33012.4252 4.0025 1.1278 0.39090.9513 1.1278 9.9978 2.23370.3301 0.3909 2.2337 1.9994. （3.5）值得注意的是，样本协方差∑重新排序的样本和协方差矩阵∑在（3.4）中，依赖于树的随机向量区域几乎相同。这有力地表明，在我们的示例中，重新排序算法生成的样本近似于唯一的树依赖向量。为了支持我们的假设，我们还进行了多元正态性检验。回想一下，根据[1]中的命题2.8，依赖于树的随机向量是多变量正态分布的。评估多元正态性的测试有很多，我们选择应用“Henze-Zirkler多元正态性测试”[10]。在0.05显著水平下，该检验不拒绝多元正态性的完整假设，与Henze-Zirkler统计量相关的p值为0.7848365。数值结果表明，重新排序的样本近似于唯一的树相关随机向量。很自然，这就引出了这样一个问题：这是否在总体上是正确的，还是一切都只是巧合。我们将在下一章讨论这个问题。结论性评论：人们可能会想，上述问题是否真的相关。

我们真的需要为描述多元分布而烦恼吗。3.重新排序的样本近似的数值试验？仅仅知道总的聚合X还不够吗近似值正确吗？例如，考虑上面的例子，回想一下，在例子1.1中，我们说X1,1代表“瑞士汽车保险”，X1,2代表“意大利Carinsurance”，X2,1代表“瑞士地震”，X2,2代表“意大利地震”。假设一家保险公司不会对其在瑞士承担的总风险感兴趣，也不会对其在瑞士承担的总风险感兴趣，即X1,1+X2,1。这种分布不是图1.1中所示的聚合树模型唯一指定的，因此我们非常希望确定哪种分布是通过抽样算法近似的。我们认为，澄清本节中出现的问题是非常值得的。第4章依赖树的抽样我们在前一章的末尾看到，关于重新排序算法的一些问题尚未得到充分解决。特别是，目前尚不清楚样本是近似于唯一的树依赖分布，还是其他一些尚待确定的分布。第3.3节中的数值实验表明，依赖于树木的分布确实是近似的。在本章中，我们提出了对重新排序算法的修改，我们声称对于离散边缘，我们获得了树依赖分布的近似值。此外，我们改进的算法具有生成i.i.d.实现的便利性；然而，以更差的算法效率为代价。本章首先介绍修改后的算法。

上述主张的证据将成为本章第二部分的主题。4.1改进的重新排序算法基于Arbenz的重新排序算法（算法3.1和定理3.2），我们提出了一种改进的重新排序算法（MRA）。这些修改将在定理4.5的证明中发挥重要作用，我们将在下一节中陈述。第一个修改涉及实现相互关联的顺序。看看下面的例子4.1，我们在其中说明了这是什么意思。例4.1考虑最简单的树τ={, 1,2}，有两个边距X~F、 X~ 由copula U给出的依赖结构~ C. 假设4。n=3的树相关采样模拟产生以下Xk，Xk和Uk:X=1，X=4，X=2，X=9，X=0，X=3，U= （0.6,0.8），美国= （0.3,0.7），美国= (0.5, 0.1).回想一下，我们用Rk表示英国的等级，在setnUj中，iIonj=1。copula样本的rank为（R1,1）, R1,2) = （3,3），（R2,1）, R2,2) = （1,2），（R3,1）, R3,2) = (2, 1).对于π，i（k）：=Rk，iI，排列是p,1: (1, 2, 3) 7→ （3,1,2），p,2: (1, 2, 3) 7→ (3, 2, 1).此外，我们用Qk表示，1（分别为Qk，2）) Xk（分别为Xk）在集合中的排名Xkk=1（分别为。Xkk=1）并定义排列q,1（k）：=Qk，1安迪克,2（k）：=Qk，2:Q,1: (1, 2, 3) 7→ （1,3,2），q,2: (1, 2, 3) 7→ (3, 1, 2).我们还将使用逆置换p的表示法-1.,1，p-1.,2，q-1.,1和q-1.,2.在下文中，我们提出了两种不同的重新订购订单。我们从Arbenz等人[1]在定理3.2中提出的更自然的一个开始。重新订购1（Arbenz）LetRe1X,Re1X,Re1X表示重新排序的向量。下标“Re1”表示应用了“重新排序1”。按照定理3.2中的顺序，我们得到了re1xk:=X（p,1（k））X（p,2（k））=Xq-1.,1（p,1（k））Xq-1.,2（p,2（k））对于k=1。

3.下图说明了样本之间的联系（英国Xktop row）中间一排，Xbottom一排）：4.1。一种改进的重新排序算法重新排序2在上述“重新排序1”中，我们将适当的订单统计数据与英国的组件相关的排名联系起来为了得到1xk.英国的箭头说明了这一过程朝向适当的边缘。重新排序样本的另一种方法是设置REXK的第一个分量等于XK，然后将适当的第二个组件链接到它：注意我们如何更改箭头的方向，以说明两个重新排序顺序之间的差异。从数学上讲，Re2Xk可以写成asRe2Xk:=XkXq-1.,2（p,2（p-1.,1（q（k））！对于k=1，3.（4.1）很明显，两个重新排序的顺序产生相同的原子，即集合Re1X,Re1X,Re1X和Re2X,Re2X,Re2X包含相同的元素，但通常顺序不同。因此，“修正”实际上对定理3.3中的收敛结果没有任何影响。第二次修改可能被视为主要修改。它的目标是改变算法，使其产生i.i.d.实现。让我们关注一下随机向量re2x,Re2X,Re2X在（4.1）中，注意这些确实是由i.i.d.随机变量X，X，X组成的随机向量~ 范德X，X，X~ F.通过一个简单的对称性论证，很明显re2x,Re2X,Re2X分布相同。然而，正如Arbenz等人正确指出的那样，它们是不独立的，因此重新排序的随机向量是2x,Re2X,Re2X不是身份证。。为了绕过这一限制，我们可以如下进行：执行算法三次，以获得重新排序样本的三个独立副本。

我们用nre2x表示第一份副本,Re2X,Re2Xo、 第二个是nre2x,Re2X,Re2Xo、 第三个是nre2x,Re2X,Re2Xoand setRe2X:=Re2X,Re2X:=Re2X,Re2X:=Re2X. (4.2)4. 树相关采样如此定义的重新排序随机向量2x,Re2X,Re2X现在很清楚了。i、 d。。然而，请注意，这是以更差的算法效率为代价的。在讨论了这两个主要修改之后，我们现在准备制定和理解MRA。不幸的是，由于上述修改，算法变得异常复杂。我们建议不要纠结于记法，而应专注于前面讨论中提出的一般性意见，并查看解释性意见4.3。在下文中，置换表示从{1，2，…，n}到{1，2，…，n}的双射映射。算法4.2（改进的重新排序算法-MRA）修复n∈ N.从树的底部到顶部递归定义样本。1、从叶节点XI，I生成n×n个独立样本∈ L和连接词CI，I∈ Bo`XkI~ FI，for（`k）∈{1，…，n}，o`UkI=（`Uk，1I，`Uk，NII）~ CI，代表（`k）∈{1，…，n}。回想一下，我们用\'Rk，iIi表示\'Uk，iIi在setn\'Uj内的等级，iIonj=1。让我∈ τ \\  排列`pI，`=1，n、 通过`pI，i（k）=`Rk，iI，k=1，n并用`p表示-1I，i（·）它们的倒数。2.递归定义`=1，n个样本\'XkI，k=1，n、 我∈ B作者：XkI=∑J∈C（I）`X`q-1J（`pJ（`p-1I，1（`qI，1（k）））J=`XkI，1++`X`q-1I，NI（`pI，NI（`p-1I，1（`qI，1（k）））I，NI，（4.3）和样本`XkIby`XkI=`XkI，1，`X`q-1I，2（`pI，2（`p-1，1（`qI，1（k）））I，2`X`q-1I，NI（`pI，NI（`p-I，1（`qI，1（k）））I，NI,（4.4）其中通过`qJ（k）=`QkJand`QkJdenotes定义的置换`qJare表示集合中`xkjj的秩`XjJonj=1.3。对于k=1，n setXkI:=kXkI，（4.5）XkI:=kXkI。(4.6)4.2. 收敛结果4。

如果我们还没有找到根源, 重复该算法到目前为止n次，以生成n个独立副本onXkIonk=1，nnXkIonk=1个重新排序的样本XkInk=1；onXkIonk=1，重新排序的样本中，nnXkIonk=1个nxkionk=1.5。重复步骤2-4，直到到达根节点 从树上下来。备注4.31。在MRA的第2步中，对于Fixed`，我们只是递归地定义重新排序的样本。重新排序顺序的选择应确保重新排序样本的第一个组成部分是固定的（比较例4.1中的“重新排序2”）。因为`是从`=1，n、 我们获得了n个独立的重新排序样本集。在第3步中，我们使用类似于（4.2）的对角化过程，这会产生n个i.i.d.样本。3.如果我们还没有到达根节点，我们需要这些i.i.d.样本的n个独立副本，以便继续下一个递归步骤。这些独立副本在步骤4.4.2收敛结果中生成。在本节中，我们将讨论MRA的收敛特性。首先，我们在4.2.1小节中说明定理3.3中的结果对于MRA也是正确的。除此之外，MRA允许我们证明goesbeyond已经存在的结果。我们在第4.2.2.4.2.1小节中陈述并证明了该收敛结果。由于进行了修改，基本收敛结果。目前尚不清楚定理3.3中的收敛结果是否仍然适用于MRA。我们在上一节中提到，第一次修改——即重新排序顺序的改变——不会影响这一结果，因为我们获得了相同的重新排序样本（可能以不同的顺序）。然而，第二个也是更重要的修改可能会影响结果。幸运的是，我们可以证明，当我们额外假设边缘是离散的（有限的或有限的）时，情况并非如此。