条件McKean-Vlasov方程的线性二次最优控制

最优控制由（3.11）α给出*t（x）=-b（It）σ（It）十、- E[X*t|W]-b（It）σ（It）Kt∧tE[X*t | W]+Yt, （4.7）其中X*（4.6）中的最优财富过程是否由α控制*, K是线性BSDEdKt的解=b（It）σ（It）- 2r（It）Ktdt+ZKtdWt，0≤ T≤ T、 KT=λ，是线性BSD∧T的解=b（It）σ（It）Kt∧t- 2r（It）∧tdt+Z∧tdWt，0≤ T≤ T、 ∧T=0，Y为线性BSDEdYt的解=b（It）∧tσ（It）Kt- r（It）Ytdt+ZYtdWt，0≤ T≤ T、 YT=-1.这些线性BSDE的解由kT=Ehλexp显式给出ZTt2r（Is）-b（Is）σ（Is）dsFti，（4.8）λ=0，和yt=-进出口ZTtr（Is）dsFti，0≤ T≤ T.（4.9）来自（4.6）和（4.7），最优财富过程X的条件平均值*带有portfoliostrategyα*是由[X]管理的*t|W]=r（It）E[X*t|W]-b（It）2σ（It）YtKt因此明确给出了byE[X*t | W]=xeRtr（Is）ds-Ztb（Is）2σ（Is）YsKseRtsr（Iu）duds，0≤ T≤ 插入（4.7），这给出了条件平均方差投资组合选择问题最优控制的显式形式：α*t（X）*t） =b（It）σ（It）hxeRtr（Is）ds- 十、*t+Ztb（Is）σ（Is）| Ys | KseRtsr（Iu）duds+| Yt | Kti、 （4.10）对于所有0≤ T≤ T，K和Y在（4.8）-（4.9）中。当b、σ和r不依赖于I时，我们给出了[27]中得到的最优控制的表达式，公式（4.10）是不完全市场的一个推广，其系数I独立于股票价格。4.3系统性风险模型我们考虑一个银行间借贷模型，其中对数货币储备xi，i=1，n、 n个银行中的银行由dxit=κ（It）nnXj=1（Xjt）驱动- Xit）dt+αitdt+σ（It）（p1）- ρ（It）dWit+ρ（It）dWt），i=1，n、 这是一个由布朗运动W驱动的因子过程，它是所有银行的共同噪声，Wi，i=1。

N是独立的布朗运动，与w无关，称为特殊噪声ρ（It）∈ [-1，1]是特质和公共噪声κ（It）之间的相关性≥ 0是银行间借贷互动的均值回复率，σ（It）>0是银行准备金的波动率，与[18]中介绍的原始模型相比，这些系数可能取决于共同因素过程I。每家银行I可以通过控制αI来控制其向中央银行的借贷利率，以使其最小化（α，…，αn）=EhZTft（Xit，nnXj=1Xjt，αit）dt+g（Xit，nnXj=1Xjt）I，其中ft（x，\'x，a）=a- q（It）a（x）- \'x）+η（It）（x- \'x），g（x，\'x）=c（x- “\'x”）。这里q（It）>0是一个正的F适应过程，用于激励借贷（αIt>0）或借贷（αIt<0），η（It）>0是一个正的F适应过程，c>0是一个正的可测量随机变量，用于惩罚偏离平均值，这些系数可能取决于随机因素。对于这一n人随机微分博弈，人们从决策中心（或社会规划师）的角度寻找合作均衡，该中心决定所有银行的战略，目标是最小化集体的全球成本。更准确地说，考虑到设置的对称性，当社会规划者以反馈形式为所有的ban k s选择相同的控制策略时：αit=~α（t，Xit，nPnj=1Xjt，it），i=1。

，n，对于某些依赖于时间的确定性函数△α，银行i的私有状态，所有银行的经验平均值，以及因子i，那么混沌传播理论意味着，在极限n→ ∞, 对数货币储备过程在随机环境W上是渐近独立的，经验均值Npnj=1xjt收敛于XtgivenW的条件均值E[Xt | W]，X由条件McKean-Vlasov方程控制：dXt=κ（It）（E[Xt | W]- Xt）+α（t，Xt，E[Xt | W]，It]dt+σ（It）（p1）- ρ（It）dWt+ρ（It）dWt），X=X∈ R、 对于一些独立于W的布朗运动，更一般地说，代表性银行可以通过一个随机场F适应过程α={αt（x），x来控制其借贷利率∈ R} ，导致对数货币储备动态：dXt=κ（It）（E[Xt | W]- Xt）+αt（Xt）]dt+σ（It）（p1- ρ（It）dBt+ρ（It）dWt），X=X∈ R、 （4.11）目标是最小化αJ（α）=EhZTft（Xt，E[Xt | W]，αt（Xt））dt+g（Xt，E[Xt | W]）i。平方完成后，我们可以重写成本函数asJ（α）=EhZT\'-αt（Xt）+（η）- q） （It）（E[Xt | W]- Xt）dt+c（E[XT | W]- XT）i，带‘αt（XT）=αt（XT）- q（E[Xt | W]- Xt）。假设q≤ η、 该模型适用于LQCMKV2问题，更具体地适用于命题3.2之后讨论的案例（2）。最优控制由（3.11）α给出*t（x）=-（2Kt+q（It））（x- E[X*t | W]）- 2∧tE[X*t|W]- Yt，（4.12）其中X*（4.11）中的最优对数货币储备是否由α控制*, K是BSRE的解决方案：dKt=2（κ+q）（It）Kt- 2Kt-(η - q） （It）dt+ZKtdWt，0≤ T≤ T、 KT=c，∧是BSREd∧T=2∧tdt+Z∧tdWt，0的解≤ T≤ T、 ∧T=0，Y是线性BSDEdYt=[2∧tYt]的解- 2σ（It）ρ（It）ZYt]dt+ZYtdWt，0≤ T≤ T、 YT=0。BSRE的非负解K一般不显式，而（λ，Y）的解明显等于∧≡ 0≡ Y

从（4.12）可以看出，E[α*t（X）*t） |W]=0，因此最优对数货币储备的条件平均值由（4.11）bydE[X]控制*t | W]=σ（It）ρ（It）dWt。然后，最优控制可以表示为α*t（X）*t） =-（2Kt+q（It））（X*T- 十、-Ztσ（Is）ρ（Is）dWs），0≤ T≤ T.参考文献[1]Alfonsi A.，Fruth A.和A.Schied（2010）：“具有一般形状函数的极限订单中的最优执行策略”，定量金融，10143-157。[2] Almgren R.和N.Chriss（2000）：“投资组合交易的最佳执行”，风险杂志，3，5-39。[3] Almgren R.和T.M.Li（2015）：“具有平稳市场影响的期权合规”，将出现在市场微观结构和流动性中。[4] Andersson D.和B.Djehiche（2010）：“平均场型SDE的最大原理”，应用数学与优化，63341-356。[5] 贝恩A.和D.克里斯·伊桑（2009）：s-tochastic过滤的基本原理，系列随机建模和应用概率，第60卷，斯普林格，纽约。[6] Bank P.，Soner M.和M.Voss（2015）：“具有瞬时价格影响的套期保值”，arXiv:1510.03223 v1，发表于数学和金融经济学。[7] Basak S.和G.Chabakauri（2010）：“动态平均方差资产分配”，修订版。菲南。螺柱。，23, 2970- 3016.[8] Bensoussan A.，Frehse J.和P.Yam（2013）：平均场博弈和平均场类型控制理论，斯普林格数学简报。[9] Bimit J.M.（1976）：“具有随机系数的线性二次光学随机控制”，暹罗J.控制优化，14419-444。[10] Borkar V.和K.S.Kumar（2010）：“投资组合优化中的麦肯恩·弗拉索夫极限”，斯托赫。肛门。应用程序。，28, 884-906.[11] Buckdahn R.，Djehiche B.和J.Li（2011年）：“平均场随机微分方程的一般最大原理”，应用数学与优化，64（2），197-216。[12] Buckdahn R.，Li J.，Peng S.和C。

Raine r（2014）：“平均场随机微分方程和相关偏微分方程”，http://arxiv.org/abs/1407.1215年，概率史册上出现过。[13] Cai J.，Rosenbaum M.a和P.Tankov（2015）：“最优跟踪的渐近下界：一种线性规划方法”，arXiv:1510.04295[14]Cardaliaguet P.（2012）：“关于平均场博弈的注释”，来自法国学院的P.L.Lions讲座的注释，https://www.ceremade.dauphine.fr/cardalia/MFG100629.pdf[15] Carmona R.和F.Delarue（2015）：“正反向随机微分方程和受控McKean-Vlasov动力学”，《概率年鉴》y.43（5），264 7-270 0。[16] Carmona R.a和F.Delarue（2014）：“大种群均衡的主方程”，D.Crisan等人（编辑），《2014年随机分析与应用》，斯普林格数学与统计学报，第100期。[17] Carmona R.，Delarue F.和A.Lachapelle（2013）：“麦肯恩·弗拉索夫动态控制与平均场游戏”，数学和金融经济学，7131-166。[18] Carmona R.，Fouque J.P.和L.Sun（2014）：“平均场游戏和系统风险”，发表在数学科学的appearin Communications上。[19] Carmona R.和X.Zhu（2016）：“与主要和次要玩家进行平均场游戏的概率方法”，arXiv:1409.7141v 1，《应用概率年鉴》，26（3），1535-1580。[20] Cartea A.和S.Jaimungal（2015）：“针对VWAP的封闭式执行策略”，发表在《暹罗金融数学杂志》上。[21]Chassagneux J.F.，Crisan D.和F.Delarue（2015）：“大人口eq-uilibria主方程经典解的概率方法”，arXiv:1411.3009[22]El Karoui N.（1981）：“随机控制的概率方面”，第九届圣弗鲁概率暑期学校-1979年。数学课堂讲稿。876，73-238，斯普林格，1981年。[23]弗雷·C·a和N。

Westray（2015）：“VWAP订单的最佳执行：随机控制方法”，数学金融，25612-639。[24]胡勇，金H.和周小燕（2012）：“时间非内容随机线性质量控制”，暹罗J.控制优化。，50, 1548-1572.[25]黄杰。，锂。X和J.Yong（2015）：“有限时间内均值随机微分方程的线性二次型最优控制问题”，数学控制及相关领域，5,97-139。[26]库尼塔·H.（1982）：圣面粉十二世高等教育学院，斯普林格·维拉格，柏林，纽约，1982年。[27]Li D.a and X.Y.Zhou（200 0）：“连续时间均值-方差投资组合选择：一个随机LQ框架”，应用数学与优化，42,19-33。[28]李X.，孙杰。和J.Yong（2016）：“平均场随机线性二次型最优控制问题：闭环稳定性”，arXiv:160 2.07825[29]Lions P.L.（2012）：法国大学：champ moyens，2006-2012年音频会议。[30]Peng S.（1992）：“随机Hamilton-Jacobi-Bellman方程”，暹罗J.控制优化。，30, 284-304.[31]Pham H.和X.Wei（2015）：“平均场随机控制问题的Bellman方程和粘性解”，arXiv:1512.07 866v2[32]Pham H.和X.Wei（2016）：“随机McKeanVlasov动力学最优控制的动态规划”，arXiv:1604.040 57[33]Predoiu S.，Shaikhet G.和S.Shreve（2011）：“一般单边有限订单中的最优执行”，暹罗金融数学杂志，2183-212。[34]罗杰斯L.C.G.和S.辛格（2010）：“流动性不足的成本及其对对冲的影响”，数学金融，20597-615。[35]孙杰（2015）：“平均场随机线性二次型最优控制问题：O penLoop可解性”，arXiv:1509.02100v2[36]孙杰和J。

Yong（2014）：“线性二次随机微分对策：开环和闭环Loo p鞍点”，暹罗J.控制优化。，52, 4082-4121.[37]Tang S.（2003）：“具有随机系数的一般线性二次型最优随机控制问题：线性随机Hamilton系统和倒向随机Riccati方程”，S I AMJ。控制Optim，42，53-75。[38]Wonham W.（1968）：“关于随机控制的矩阵Riccati方程”，暹罗J.控制，6681-697。[39]Yong J.（2013）：“平均场随机微分方程的线性二次型最优控制，暹罗控制与优化杂志，51（4），2809-2838。[40]Yong J。和周X.Y.（1999）：St ochastic Control。哈密顿系统和HJB方程，斯普林格。