条件McKean-Vlasov方程的线性二次最优控制

K本质上是有界的，ZK位于L中(Ohm ×[0，T]）。此外，由于P和Φt（0，0）=qt在（H1）下是非负的，我们还通过BSDE的标准比较原理得出，对于所有0≤ T≤ T（ii）给定K，我们接下来考虑带生成器的（λ，Z∧）的BSDE：(l, z）∈ Sd×Sd7→ψt（Kt，l, z）- Ut（Kt，l, z） Γ-1t（Kt，l)Ut（Kt，l, z）∈ Sd和终端条件P+-P。这是一个倒向随机Riccati方程（BSRE），众所周知（参见[9]），它与一个随机标准LQ控制问题（具有ou-Tmcken-Vlasov依赖性）有关，具有受控线性动力学：dXt=[（Bt+）~Xt+Ctαt]dt+[（dt+）~Xt+Ftαt]dWt和二次成本泛函JK（α）=EhZT~XtQKtXt+αtNKtαt+2XtMKtαtdt+~XT（P+\'P）~XTi，其中QKt=Qt+\'Qt+（Dt+\'Dt）Kt（Dt+-Dt），NKt=Nt+FtKtFt，MKt=（Dt+？-Dt）KtFt。在NK为正定义的条件下，我们可以在s q uare完成后将该代价函数重写为JK（α）=EhZT~XtQKtXt+~αtNKtαtdt+~XT（P+\'P）~XTi，其中~QKt=QKt-MKt（NKt）-1（MKt）, §αt=αt+（NKt）-1（MKt）~Xt。注意到≥ Qt+-Qt，由此得出对称矩阵qk和P+-P是非负的欠条件（H1），并且进一步假设NK是一致正的定义，我们从[37]中得到该BSRE的解（λ，Z∧）的存在唯一性，其中∧是非负的且本质上有界的，Z∧平方可积于L中(Ohm ×[0，T]）。这尤其意味着Γ-1（K，λ）定义明确，基础基本。

由于K在（H1）下为非负，请注意，在（H2）下，NK上的一致正性条件是满足的：当N为一致正性定义时，这一点很明显（正如LQ问题中通常假设的那样），当F为一致正性定义，且K为一致正性定义时，这一点也成立，当P或Q是线性BSDE f或K的比较原理的一致正定义时发生。（iii）给定（K，λ，Z∧），我们考虑（Y，ZY）的BSDE和生成器：（Y，Z）∈ Rd×Rd7→ Gt（y，z）：=Θt（Kt，λt，z∧t，y，z）- Ut（Kt，λt，Z∧t）Γ-1t（Kt，λt）Rt（Kt，∧t，y，z）的值在Rd和终端条件L中。这是一个线性BSDE和{Gt（0，0），0≤ T≤T}位于L中(Ohm ×[0，T]）（回想一下，b，γ和γ是可积的）。对于BSDE的旁观者结果，我们知道存在唯一解（Y，ZY）s.t。

Y在于S(Ohm ×[0，T]），Z位于L中(Ohm ×[0，T]）。（iv）最后，在给定（K，λ，Y，ZY）的情况下，我们求解了χ的倒向随机方程，其显式形式为χt=EhZTts（Ks，λs，Ys，ZYs）-Rs（Ks，λs，Ys，ZYs）Γ-1s（Ks，λs）Rs（Ks，λs，Ys，ZYs）dsFti，0≤ T≤ T、 而χ满足了S(Ohm ×[0，T]）可积条件。综上所述，我们证明了以下结果：定理3.1在假设（H1）和（H2）下，满足命题3.1可积条件的BSDE（3.7）存在唯一解（K，ZK），∧，Z∧，（Y，ZY），（χ，Zχ），因此我们对LQCMKV1问题给出了一个最优控制（3.8），（3.4）给出了^ftin（2.3）的quadratic形式，在通过dt（u，a，k，l, y） =Var（u，Φt（k，ZKt）+v（u，ψt（k，l, Z∧t）+˙∧t）+v（u，Θt（k，l, Z∧t，y，ZYt）+Yt+t（k，l, y、 ZYt）+˙χt+Var（a） u，Γt（k，k））+a uΓt（k，l)A. u+2Z（x- u)Vt（k，ZKt）a（x）u（dx）+[2Ut（k，l, Z∧t）¨u+Rt（k，l, y、 ZYt）]A. 无论如何∈ [0，T]，u∈ P（Rd），k，l ∈ Sd，y∈ Rd，a∈ L（Rd；Rm），其中a u ∈ P（Rm）表示图像的μ u=Za（x）u（dx），Var（a u，k）=Za（x）-A. uKa（x）-A. uu（dx），我们使用与（3.5）中相同的符号表示附加术语：Vt（k，ZKt）=DtkFt+（Dt）kFt+kCt+ZKTF。

（3.9）然后，在条件th atΓt（k）下完成方形后，l) 在Sm中为正定义，我们有（u，a，k，l, y） =Var（u，Φt（k，ZKt）- Vt（k，ZKt）Γ-1t（k，k）Vt（k，ZKt）+Kt）+v（u，ψt（k，l, Z∧t）- Ut（k，l, Z∧t）Γ-1t（k，l)Ut（k，l, Z∧t）+˙∧t）+v（u，Θt（k，l, Z∧t，y，ZYt）- Ut（k，l, Z∧t）Γ-1t（k，l)Rt（k，l, y、 ZYt）+˙Yt）+t（k，l, y、 ZYt）-Rt（k，l, y、 ZYt）Γ-1t（k，l)Rt（k，l, y、 ZYt）+˙χt+Var（a）-^at）（，\'u，k，l, y） u，Γt（k，k）+（a）-^at）（，\'u，k，l, y） uΓt（k，l)（a）-^at）（，\'u，k，l, y） u其中^at（，？，k，l, y） ：Rd→ 由^at（x，\'u，k，l, y） =-Γ-1t（k，k）Vt（k，ZKt）（十）- u)- Γ-1t（k，l)Ut（k，l, Z∧t）¨u+Rt（k，l, y、 ZYt）, 十、∈ Rd.然后我们考虑BSDE系统：dKt=-Φt（Kt，ZKt）- Vt（Kt，ZKt）Γ-1t（Kt，Kt）Vt（Kt，ZKt）dt+ZKtdWt，0≤ T≤ T、 KT=Pd∧T=-ψt（Kt，λt，Z∧t）- Ut（Kt，λt，Z∧t）Γ-1t（Kt，λt）Ut（Kt，λt，Z∧t）dt+Z∧tdWt，0≤ T≤ T、 ∧T=P+`PdYt=-Θt（Kt，λt，Z∧t，Yt，ZYt）- Ut（Kt，λt，Z∧t）Γ-1t（Kt，λt）Rt（Kt，λt，Yt，ZYt）]dt+ZYtdWt，0≤ T≤ T、 YT=L，dχT=-t（Kt，λt，Yt，ZYt）-Rt（Kt，λt，Yt，ZYt）Γ-1t（Kt，λt）Rt（Kt，λt，Yt，ZYt）dt+ZχtdWt，0≤ T≤ T、 χT=0，（3.10），通过与命题3.1相同的参数，我们得到了以下验证结果，证明了系统（3.10）与LQCMKV2控制问题之间的联系。命题3.2假设（K，ZK），∧，Z∧，（Y，ZY），（χ，Zχ）是BSDE（3.10）的解，如K，λ，Γ-1（K，λ）本质上是有界的，Y位于s中(Ohm ×[0，T]），并且χ位于s中(Ohm ×[0，T]）。

然后，控制过程α*用L（Rd；Rm）和定义的Byα表示*t（x）=^at（x，E[x*t | W]，Kt，∧t，Yt）（3.11）=-Γ-1t（Kt，Kt）Vt（Kt，ZKt）（十）- E[X*t | W]）- Γ-1t（Kt，λt）Ut（Kt，λt，Z∧t）E[X*t | W]+Rt（Kt，λt，Yt，ZYt）, 十、∈ Rd，0≤ T≤ T、 X在哪里*= Xα*是反馈控制^at（，，Kt，∧t，Yt）的状态过程，是LQCMKV2问题的最优控制，即V=J（α）*), 我们有v=Var（L（ξ），K）+v（L（ξ），λ）+v（L（ξ），Y）+χ。现在让我们讨论满足命题3.2可积条件的BSDE（3.10）解的存在性。至于（3.7），这个系统是解耦的。差异。r、 LQ CMKV1问题的t在（K，ZK）的BSDE中，其中发电机（K，z）∈Sd×Sd7→ Φt（k，z）- Vt（k，z）Γ-1t（k，k）Vt（k，z）∈ SDI现在是Riccati类型。一般来说，它不属于与LQ控制问题有关的BSR Es类，但在某些特殊情况下，它是存在的：（1）系数B、C、D、F、D、F、Q、P、N是确定性的。在这种情况下，K的BSRE被简化为矩阵Riccati普通微分方程：-dKtdt=Φt（Kt，0）- Vt（Kt，0）Γ-1t（Kt，Kt）Vt（Kt，0），0≤ T≤ T、 KT=P。这个问题与LQ P问题有关，LQ P问题具有受控线性动力学dXt=（BtXt+CtαT）dt+（dtXt+FtαT）dWt+（dtXt+FtαT）dWt，其中控制过程α是一个F自适应过程，其值为Rm，且在α上最小化的成本函数为J（α）=EhZT（X）tQtXt+~αtNtαt）dt+~XTPXTi。在[38]的假设（H1）和条件（H2）（i）中解决了这一问题，即如果定义为正定义，则为非正定义，这就给出了K的存在性和唯一性∈C（[0，T]；Sd），它是负的n。（2） D≡ F≡ 0

在这种情况下，（K，ZK）的BSRDE与LQ问题相关联，LQ问题具有受控线性动力学D＠Xt=（Bt＠Xt+Ct＠αt）dt+（dt＠Xt+Ft＠αt）dWt，其中控制过程＠α是一个F适应过程，其值为Rm，且在＠α上最小化的成本函数为＠J（＠α）=EhZT（＠X）tQtXt+~αtNtαt）dt+~XTPXTi。从[37]可知，在假设（H1）和（H2）（i）下，BSRDE存在唯一对（K，ZK）解，K为非负，本质上是有界的。（3） N≡ 0，P是一致正的，m=d，F与F是可逆的-1.边界。在这种情况下，K的BSDE减少为线性BSDE:dKt=-Φt（Kt，ZKt）- （CtF）-1tDt）Kt+Kt（CtF）-1tDt）- DtKtDt- KtCt（F）tKtFt）-1CtKtdt+ZKtdWt，0≤ T≤ T、 KT=P，已知存在一个K为正且本质有界的u nique解（K，ZK）。在一般情况下，BSRE（3.10）的K解是否成立，这是一个悬而未决的问题。总之，一旦解K存在，给出d，对（λ，Z∧），（Y，ZY），（χ，Zχ）的BSDE与（3.7）相同，然后在相同条件下得到它们的存在性和唯一性。4.申请4。1具有价格影响和基准跟踪的交易我们考虑在金融市场中的代理人交易，其存货为Xt，即在时间t持有的风险y股票中的大量股份，由DXT=αtdt控制，其中控制α是L(Ohm ×[0，T]），表示交易率。

给定实值F-适应股价过程（St）0≤T≤锡L(Ohm ×[0，T]），实值F-适应目标过程（It）0≤T≤锡L(Ohm ×[0，T]），而最终基准H作为平方可积FT可测随机变量，代理的目标是最小化过度控制过程αa，形式为：J（α）=EhZT的成本函数αtSt+ηαt）+q（Xt- （它）dt+λ（XT）- H） i，（4.1）式中η>0，q≥ 0和λ≥ 0是常量。这种公式与存在价格冲击等流动性摩擦时的最优交易和套期保值问题有关，近年来得到了广泛研究：当≡ = （4.1）中的成本函数出现在存在暂时价格影响的期权套期保值中，参见，例如[34]，[3]，[6]，也与最优VWAP执行问题有关（参见[23]，[20]），或与基准跟踪有关，参见[13]。当q=0时，（4.1）中的成本函数的最小化对应于极限订单簿（LOB）中出现的最优执行问题，如[2]中针对S的特定Bachelier模型最初所述，并且在文献中已被讨论过（LOB中有一般形状函数），但主要是通过假设价格过程的martin gale性质，参见，例如[1]，[33]。通过在平方完成后重写代价函数asJ（α）=EhZTηαt+q（Xt- （它）dt+λ（XT）- H） 我- EhZTSt4ηdti，随着∧αt=αt+St2η，我们看到这个问题会进入LQCMK V1框架（使用bt=-St2η，无McKean-Vlasov依赖性，但具有随机系数），并满足假设（H1），（H2）。根据定理3.1，最优控制由α给出*t=-η∧tX*t+Yt-St2η，0≤ T≤ T、 （4.2）其中∧是（普通微分）Riccati方程的解∧T=-（q）-∧tη）dt，0≤ T≤ T、 λT=λ，（4.3），Y是线性方程的解=2qIt+tηSt+tηYtdt+ZYtdWt，0≤ T≤ T、 YT=-2λH。

（4.4）Riccati方程的解为∧tη=pq/ηpq/ηsinh（pq/η（t- t） ）+λ/ηcosh（pq/η（t）- t） λ/ηsinh（pq/η（t）- t） ）+pq/ηcosh（pq/η（t）- t） ），0≤ T≤ T、 而线性BSDE的解由YT=-2他-RTt∧sηdsλH+ZTte-Rst∧uηduqIs+λsηSsdsFti，0≤ T≤ T.通过积分函数∧/η，我们得到-Rst∧uηdu=∧t/ηpq/ηpq/ηcosh（pq/η（t- s） ）+λ/ηsinh（pq/η（T）- s） ）pq/ηsinh（pq/η（T）- t） ）+λ/ηcosh（pq/η（t）- t） ）=t∧spq/ηsinh（pq/η（t）- s） ）+λ/ηcosh（pq/η（T）- s） ）pq/ηsinh（pq/η（T）- t） ）+λ/ηcosh（pq/η（t）- t） ）t≤ s≤ T、 然后将（4.2）中的最优控制插入Y的期望形式，表示为α*t=-∧tη（X）*T-^IHt）+2ηEZTt∧tηω（t，t）ω（s，t）Ssds | Ft- 圣=: α*,IHt+α*,圣，0≤ T≤ T、 （4.5）式中^IHt=Ehω（T，T）H+（1）- ω（t，t））ZTtIsK（t，s）ds权重值为[0,1]ω（t，t）=λ/ηpq/ηsinh（pq/η（t- t） ）+λ/ηcosh（pq/η（t）- t） ）和核鹿（t，s）=pq/ηpq/ηcosh（pq/ηt- t） ）+λ/ηsinh（pq/η（t）- t） ）pq/ηsinh（pq/η（t）- t） ）+λ/η（cosh（pq/η（t- t） )- 1), 0 ≤ T≤ s≤ T.将（4.5）中的最优交易规则分解为两部分：（i）第一项α*,IH规定代理人以最佳方式向加权平均值^IHt交易，而不是当前目标位置I。实际上，^IH是终端随机目标H的预期未来和运行目标I的加权平均值的凸组合（注意K（t，.）是一个非负核函数，积分为[t，t]）。该目标利率与当前投资者头寸的距离成比例，比例系数由成本参数η、q、λ和到期时间t决定-t、 在λ=0（终端位置无约束）和λ=∞ （终端位置XT=H上的约束）。

在q=0的情况下，我们有∧t/η=λ/（η+λ（t- t） ，^IHt=E[H | Ft]，我们特别检索表达式α*,IH=-十、*t/（t）- t） n=0时的最优交易率，以及λ→ ∞ 对应于终端清算XT=0的最优执行问题。（ii）第二项α*,与股票价格相关，是一种购买或出售股票的动机，取决于股票预期未来价值的加权平均值是否大于或小于当前价值。特别是，当价格过程是马丁盖尔过程时，α*,St=-St2ηpq/ηpq/ηcosh（pq/η（T- t） ）+λ/ηsinh（pq/η（t）- t） ）这对于非负p rice St来说是非正的，因此这意味着由于价格的影响，必须出售。此外，在极限情况下→ ∞, i、 例如，限制最终库存XT以实现目标H，然后是α*,Sis zero：我们得到了当它是鞅时，最优交易率d不依赖于价格过程的结果，见[1]，[33]。另一方面，通过将g It^o公式应用于（4.2），并使用（4.3）-（4.4），我们已经α*t+St2η=qη（X）*T- 它）ds-2ηZYtdWs，这意味着显著的性质：α*t+St2η-qηZt（X）*s- 是）ds，0≤ T≤ T、 这是一场m artin gale。4.2不完全市场中的条件均值-方差投资组合选择我们考虑一个代理人，他可以投资于一个金融市场模型，其中一个价格过程债券和一个价格过程风险资产由DST=Str（It）dtdSt=St（（b+r）（It）dt+σ（It）dWt）控制，其中I是一个动态由Br ownian运动W控制的因子过程，假设与驱动资产价格过程的布朗运动W无关，r利率、b超额收益率和σ波动率是I的可测有界函数，σ（It）≥ ε对于某些ε>0的情况。

我们将假设可观察因子过程I产生的自然过滤等于W产生的过滤F。请注意，市场是不完整的，因为代理人不能在因子过程中交易。代理人的投资策略由随机场F-逐步可测量过程α={αt（x），0建模≤ T≤ T、 x∈ R} （或相当于一个F-逐步可测量过程，其值在L（R；R）中），其中αt（x）的值在R中，是x中的Lipschitz，代表在t时投资于股票的金额，此时当前财富为Xt=x，并基于因子过程的过去观察。受控财富过程的演化由dxt=r（It）Xtdt+αt（Xt）给出b（It）dt+σ（It）dWt, 0≤ T≤ T、 X=X∈ R.（4.6）代理人的目标是最小化过度投资策略，其形式为：J（α）=EhλVar（XT | W）- E[XT | W]i，其中λ是可测量的正随机变量。在价格过程动力学中没有随机因素的情况下，因此在一个完整的市场模型中，当λ为常数时，上述标准简化为经典的均值-方差投资组合选择，如[27]中所述。这里，在存在随机因素的情况下，我们考虑了条件均值-方差准则的期望，并允许风险规避参数λ合理地服从随机因素环境。通过重写成本函数asJ（α）=EhλXT-λE[XT | W]- 然后，我们看到这个条件均值-方差投资组合选择问题适用于LQCMkv2问题，更具体地说，适用于命题3.2之后讨论的情况（3）。