最优多次停车的解析递推方法：Canadization

正如我们将在下面看到的，我们对d的选择会产生非常小的拟合误差。为了进行数值说明，我们设置了负贴现率α=-0.02，K=100。对于Z的每一种情况，我们考虑具有公共参数ρ=1.5和σ=0.2的L′evy过程，并选择ε（1）=α- γ（即exp(-(α - γ） t+Xt）t≥0是一个鞅）来选择γ。注意，随着γ的增加，ec（以及EXas）降低。在股票贷款的情况下，如[11,49]所述，负贴现率是无风险利率和贷款利率之差，K是贷款金额，γ是股息率。下面给出的所有数值结果都是在配备英特尔至强CPU E5的Windows 7计算机上，由双精度的MATLAB脚本生成的-2620，2.00GHz，24.0GB内存。5.1. 单阶段随机化。我们首先通过考虑δ=0.5，Ex[e]的期望来分析我们的随机化算法的准确性和计算时间-αδv（1）（Xδ）]，（5.4），其中v（1）在（3.5）中解析给出。为了做到这一点，我们评估了我们的算法的近似值，并与模拟结果进行了比较。更具体地说，我们首先计算M=1，5，10，这两种方法的近似值tou（1，M）（x）=Ex[e-αη（M，M/δ）v（1）（Xη（M，M/δ））]，（5.5），然后通过模拟以起点X=ea近似常数δ情况（5.4）*. 这使得我们能够分析Erlang情况下（5.5）随机化算法的近似误差，并分析M需要多大才能获得常数δ情况下（5.4）的精确近似值。按照上一节中的参数，我们的计算包括两个主要步骤：（i）计算ψ（·）=p的根，以及（ii）递归计算（4.9）中的参数集Γ。根查找程序由MATLAB内置函数solve（）执行。

在表1中，我们给出了可用的样本值athttp://home.imf.au.dk/asmus/pspapers.html截至2014年3月14日，T.LEUNG、K.YAMAZAKI和H.ZHANGγ=0.02γ=0.1M=1M=3m=1M=3m=3m=3m=3ξ1，p1。0252+0.0000i 1.5941+0.0000i 1.0056+0.0000i 1.5825+0.0000iξ2，p3。8602+3.6058i3.9134+3.3255i3.8296+3.6319i3.8939+3.3384iξ3，p3。8602-3.6058i3.9134-3.3255i3.8296-3.6319i3.8939-3.3384iξ4，p7。8211+3.4389i 7.6518+3.2454i 7.8398+3.4933i 7.6613+3.2799iξ5，p7。8211-3.4389i 7.6518-3.2454i 7.8398-3.4933i 7.6613-3.2799iξ6，第9页。5837+0.0000i9.3632+0.0000i9.6386+0.0000i9.3983+0.0000iξ7，p42。040+0.0000I46.026+0.0000I38.4292+0.0000I42.666+0.0000iCase2:Weibullγ=0.02γ=0.1M=1M=3m=1M=3ξ1，p0。9842+0.0000i 1.4669+0.0000i 0.9674+0.0000i 1.4583+0.0000iξ2，p3。2497+2.3023i3.2876+2.0887i3.2331+2.3200i3.2784+2.0976iξ3，p3。2497-2.3023i3.2876-2.0887i3.2331-2.3200i3.2784-2.0976iξ4，p5。5298+1.6297i 5.4233+1.5437i 5.5425+1.6464i 5.4300+1.5543iξ5，p5。5298-1.6297i 5.4233-1.5437i 5.5425-1.6464i 5.4300-1.5543iξ6，p6。4520+0.0000i6.2947+0.0000i6.4805+0.0000i6.3103+0.0000iξ7，p37。565+0.0000i41.862+0.0000i34.049+0.0000i38.617+0.0000iCase 3：折叠法线表1。ξi，pfor M=1,3和γ=0.02,0.1的值（按升序列出）。我们可以确认这些价值观都是不同的。因为X有一个布朗运动分量，|Ip |=d+1=7。ξi，p；在这里，我们可以确认这些值都是不同的。通过将上一节中的归纳步骤ii应用M次，可以有效地完成步骤（ii）。

对于模拟结果，我们通过基于100万个样本路径的蒙特卡罗模拟进行计算，其中布朗运动由具有时间步长的随机游动近似t=t/100，用于跳跃之间的每个到达时间^t。表2和表3分别总结了γ=0.02和0.1的结果。从解析递推公式和模拟中获得的函数u（1，M）\'s，asin（5.5）列出了M=1，5，10，以及通过模拟计算的常数δ情况，见下一行。我们还报告了计算时间（以秒为单位）。对应于分析公式的时间以步骤（i）和（ii）所用时间的asum表示。对于模拟值，我们给出了每种情况的平均值和95%置信区间。由于布朗运动的离散化，模拟结果会产生一些误差，但可以作为基准。鉴于案例1中这两种方法之间的比较，这些离散化误差被确认为最小。

回想一下，案例1的数值结果是通过优化多次停止、CANADIZATION、，（1 821.61，1826.17）146.7122 1824.14（1 821.61，1826.17，1826.17）146.7122 1824.17（1 821.61，1826.61，1826.17，1826.17）146.7122 1824.27 0.242+0.242+0.242+0.242+0 0.242+0.244 1824 1824 1824 1824 1824.14（0.240.240.242.240.242（0.242.242.242.242.242.242.242.244）0 0 0 0 0 0 0（0.242.242.414141414141414141414141411824）146（1.4141414141411824.411824.411824.14）146（14）146）146 1824.414.41414141414141414.41414141414141008 1823.11（1821.80，1826.0 0 0）141.833.3（1.833.0，1826.0 0）141.833 3.3（1）个案1：指数随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随随251666.490.534+2.5206.7.7（1665.08，1669.06）426.8 566.6 6 6 6 6.5（1665.08，1669.06）426.6 6 6 6.6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6.6 6 6 1（1664.75，1668.68.6 6 6 6 6 6 6 6 6.5，1668.7 7 7）386.4 4 4 4 4 4 4 4 4.4 4 4（2）386.4 4 4 2 2（2）386.4 4 2 2（2）2）2（2）2：Weibubububu布尔随机随机随机模拟M值值随机模拟M值值时间价值时间价值时间价值时间价值时间价值时间价值时间价值时间价值时间价值时间价值时间价值时间价值时间价值时间价值时间价值时间价值时间价值时间价值时间价值时间价值时间价值时间价值时间价值时间价值时间价值时间价值时间价值时间价值时间价值时间价值时间价值时间价值时间价值时间价值时间价值时间价值时间价值时间52.594 1483.63 0.379+1.3021484.06（1482.451485.67）156.2551483.690.382+2.4711485.29（1483.691486.89）161.92310 14 83.800.329+18.641485.24（1483.671486.81）184.049常数N/A 1485.35（1483.781486.9 1）137.375情况3：折叠正常表2。比较随机和模拟下γ=0.02的结果。对每个Erlang形状参数M进行比较；在最下面一行（labeledconst），给出了常数δ=0.5情况下模拟的近似值。模拟中列出的数值是平均值和95%置信区间。

随机化的计算时间（以秒为单位）为步骤（i）和（ii）所用时间的总和。18 T.LEUNG，K.YAMAZAKI，（3.44，32 4.27）146.5112 3212 324.5112 324.234 0 0.235+0.143 324.1430 0 0.353 324.13（323.44，32 4.27）146.5112 3212 324.333 0.235+0.233 323 323 323 323 3 3 3 3 3 3 3 3.235+0.235+0.235+0 0 0.235+0.233 323 323 323 323 323 323 323 323 323 323 324.323 324.3 324.10.10（3（3（3230.235（3230.235（3230.69，32，32 4.69，32 4.4.32，32 4.54，32 4.51，32 4.51，32 4.51，32 4.32 4.4.51）和0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.3 3 3，32和0 0.3 3 3 3 3 1.06324.90）184.726常数不适用4.1）1.1）3.3（3.3）3（3.3）3（3.3）0.307（7）0.7 0.0 0 0.7 0 0.7 7 7 7+0.036 302302.36（301.94，30 2.78）389.0832（3.94，30 2.78）389.0832 303（3.56，32（3.37）389（3）389.38（3（3（3，30 2，30 2.78）389）389）389）389（3）389.38）389.38）389.32（3（3）389.38）389.32（3（3）389.54（3（3（3（3）389.54（3（3（3.94，30（3.94，30（3，30（3，30（3，30（3，30（3，30（3，30 2.9，30 2.78 404.43010 30 4.00 0.335+18.69例2：威布尔随随机化模拟（Weibubull随机随机模拟）M值时间价值时间价值价值时间1 265.46（m值时间价值时间价值时间1 265.46 0.46 0.876+0.48，30.48，304.48，304.25，30.48，304.48，304.48，304.28，304.48，304.25）时间1（30.28）N（30.48，30，304.37）38）385.455.455.5.2（2）wabububububebebebebebebebebebebepupulolo随机随机随机随机随机数字数字数字数字数字数字数字模拟（M值时间价值价值时间价值时间价值时间价值时间价值时间价值时间价值价值时间价值时间价值时间价值时间价值时间价值时间价值时间1 1 2651 2651 2651 2650.46（1 2650.46 0.46 0.46 0.46 0.46 0.46 0.46 0 0.46 0.876价值价值价值2.459 266.69（266.37,267.01）162.12410 26 6.28 0.336+18.75 266.50（266.18，266.81）182.452不适用266.86（266.55，267.17）139.149案例3：折叠正常表3。比较随机和模拟下γ=0.1的结果。最佳多次停止、CANADIZATION和相位类型拟合19随机化算法在拟合尺度函数时没有近似误差的意义上是精确的。基于这一观察，我们还可以从案例2和案例3的结果中推断，标度函数的相关拟合误差也很小。

这表明了使用相位型分布作为一般L’evy过程近似值的实用性。随着M从1增加到10，近似值函数（5.5）单调增加，并接近与常数δ情况相关的（5.4）的模拟值。事实上，指数折射时间的情况（即M=1）已经给出了一个合理的近似值。就计算时间而言，随机化方法明显快于模拟。还要注意的是，对于随机化方法，只需进行一次计算即可获得值函数的整体形状。另一方面，不幸的是，模拟方法并不实用；对于x的一个特定点，需要几分钟才能达到这种精度。回想一下，在多重映射问题中，我们需要知道整个形状才能进行反向归纳。如果采用模拟方法，则需要计算任意多个起点x。然而，这在计算上是不可行的。当M很小时，随机化方法瞬时运行，我们观察到计算时间以M为单位非线性增加。它还取决于相位数；案例1（带有1个阶段）比案例2和案例3（带有6个阶段）运行得更快。这表明了随机化算法的一个局限性，即M的值和相位d的数量不能选择任意大。然而，正如我们已经在表2和表3中看到的，即使对于小M和我们选择的d.5.2，近似值函数也稳定。多阶段病例。现在我们继续讨论多阶段案例。使用我们的随机化算法，近似值函数ev（1），对于Erlang形状参数M=1、3，计算ev（5），对于γ=0.02和0.1，分别如图1和图2所示。门槛水平*, . . .

，ea*（圆）标记在近似值函数曲线上。特别是，顶曲线对应于近似值函数ev（5）。正如预期的那样，这些阈值都高于罢工K=100，并且它们允许订购ea*n+1<ea*n、 这与Remark2是一致的。1.回想一下这个过程：(-(α - γ） t+Xt）t≥0是给定参数下的鞅。因此，对于较小的γ值，exp（x）中的值函数接近线性。另一方面，随着γ的增加，它看起来更凸。此外，函数ev（N）随着γ的增加而减小，因为γ减少了X的位移。在单次停止情况下，M=1和3的值函数之间的差异是看不见的。这表明这些是常数δ情况下的合理近似值。另一方面，在M=1和3.5.3的情况下，最佳阈值水平显示出不可忽略的差异。依赖于N和M。在图3中，我们根据γ=0.1的情况3显示了与阶段数N和Erlang形状参数M有关的阈值水平。在左面板上，我们绘制ea*, . . . , ea*对于固定M=1，4.注意，第一个阈值ea*独立于M。在右面板上的示例中，我们绘制了阈值ea*超过M=1，10.随着M从1增加到10，20 T.LEUNG、K.YAMAZAKI和H。

ZHANG0 500 1000 1500 2000010000200004000500060007008000900010000exp（x）值0 500 1000 1500 20000100002000000030040005000600000080009000exp（x）值案例1（指数型），M=1案例1（指数型），M=30 500 1000 1500 20000100002000000000040005000600000080009000exp（x）值0 500 1500 200001000000020000400050006000600000080009000exp（x）值案例2（威布尔型），M=1案例2（威布尔）M=30 500 1000 1500 2000010000200004000500060000008000900010000exp（x）值0 500 1500 20000100002000000040005000600000080009000exp（x）值案例3（折叠法线）M=1案例3（折叠法线）M=3图1。当γ=0.02且阈值为SEA时，近似值起作用*, . . . , ea*（圆圈）标记在近似值函数曲线上。这些值在级数上是单调的（顶部曲线对应于近似值函数ev（5））。最佳多次停车，加拿大化，和相位型配件210 100 200 300 400 5000200400600800100012001400018002000exp（x）值100 200 300 500020040060080010001200160000exp（x）值情况1（指数型），M=1情况1（指数型），M=30 100 200 300 400 5000200600800100012001400018002000exp（x）值0 100 300 50002004006008001000140000exp（x）值情况2（威布尔型），M=1情况2（威布尔）M=30 100 200 300 400 5000200400600800100012001400018002000exp（x）值0 100 200 300 400 500020040060080010001200800exp（x）值案例3（折叠法线）M=1案例3（折叠法线）M=3图2。当γ=0.1.22 T.LEUNG、K.YAMAZAKI和H.Zhang时，近似值起作用。对于M=1、2、3，阈值首先在狭窄的范围内（5.81、5.82）相对快速地降低，然后对于较大的M，阈值朝着5.805的方向下降。

在M=9和10之间，差值远小于0。001.图4显示了N=1，15，γ=0.05，M=1。随着剩余锻炼机会的增加（大N），函数ev（N）更高，前一次锻炼的最佳阈值更低。我们观察到，随着剩余运动次数的增加，连续最佳阈值（用圆圈标记）之间的距离减少（例如，见用15个圆圈标记的顶值函数曲线）。1 2 45.65.655.75.755.85.855.95.95n保持水平M=1M=2M=3M=41 2 3 4 5 6 7 9 105.8055.815.8155.82m阈值水平图3。对于γ=0.1的情况3，阈值对N和M的依赖性。左边的面板绘制了一幅图*, . . . , ea*对于固定M=1，4.右侧面板绘制阈值ea*overM=1，10.5.4. 局限性从公式（4.7）中回忆，从参数集Γ=（A，B，C，D，E）恢复函数u（n，m）。尤其是系数D乘以exp（Φ（α+M/δ）x）xh，因此该项在ea附近变得非常大*, 即使D比ea高0*. 从我们的数值测试来看，它的值可以高达10，而D的值往往很小。回想一下，p:=α+M/δ在M中增加，Φ（p）=Φ（α+M/δ）也增加。此外，最大值h（4.7中的计数指数）随着M和N的增加而增加。因此，当Erlang形状参数M和/或练习数N较大时，计算可能会失败。MATLAB或其他具有双精度的软件无法处理涉及这些大量数据的计算。在图5中，我们绘制了由MATLAB计算的函数ev（N），用于情况3，对于M=4（左）和M=5（右），γ=0.1和N=5。

虽然Γ中的参数可以立即计算出来，而且不需要解释，但当小参数乘以非常大的数字并求和时，值函数的计算可能会出现数值不精确。事实上，当M=4时，最佳多次停车、加拿大人化和相位型配件230 100 200 300 500 600 700 80001000 2000000040005000600070080009000100exp（x）值之间出现不连续性图4。n=1的情况3的值函数和最佳阈值（用圆圈标记），15当M=1且γ=0.05.0 50 100 150 200 300 350 400050010001500exp（x）值0 50 100 150 200 250 300 350 400-2-101234x 105exp（x）值图5时。限制：在M=4（左）和5（右）的情况下，由MATLAB计算的情况3的值函数γ=0.1。ea*和ea*, 当M=5时，误差变得明显，产生了不准确的值函数和保留水平ea*. 这与[28]中给出的观察结果一致（涉及Americanput期权），其中他们的随机化算法需要两倍以上的精度。这个问题可以通过将机器ε设置为[28]中的值来解决，从而提高精度。然而，这超出了我们论文的范围，因为它需要计算机科学方面的特殊技能，我们的目标是评估在通常的计算环境中可以实现的性能。即使考虑到这种潜在的局限性，解析公式本身也是有用的，因为它揭示了最优多次停止问题解的数学结构。24 T.LEUNG、K.YAMAZAKI和H.Zhang这一观察结果还强调了选择较大的M值和机器精度的Ngiven限制之间的潜在权衡。然而，我们从表2和表3中看到，对于不同的小值M，近似值保持稳定。