不平等的统计模型

事实上，只有在不稳定的情况下。i、 d类流程是我们的一般方法，显然不合适。这意味着还有其他经济学领域，比如收入分配和世界产出分配，在这些领域，我们的易处理解决方案技术可能会提供新的信息。A假设和正则性条件在本附录中，我们给出了定理2.3中描述稳定财富分布所需的假设和正则性条件。如第2节所述，这些假设承认经济中家庭的一大类连续财富过程。第一个假设建立了连续半鞅和It^o过程的基本可积条件。假设A.1。对于所有i=1，N、 增长率过程为uisatisfyZT |ui（t）| dt<∞, T>0，a.s.（a.1）和波动过程δisatisfyZTδ（t）+··+δM（t）dt<∞, T>0，a.s.，（a.2）δ（T）+···+δM（T）>0，T>0，a.s.（a.3）limt→∞Tδ（t）+··+δM（t）log t=0，a.s.，（a.4）条件（a.1）和（a.2）是定义It^o过程的标准，而条件（a.3）确保家庭财富持有始终包含非零随机成分。条件（A.4）类似于有界条件，因为它确保家庭财富持有的方差不会太快地偏离到单位。我们研究结果的第二个假设是，没有两个家庭的财富持有量会随着时间的推移而完全相关。换句话说，家庭财富动态肯定总有某种特殊成分。最后，我们还假设，任何家庭相对于经济的财富持有量都将过快消失。假设A.2。对称矩阵ρ（t），由ρ（t）=（ρij（t））给出，其中1≤ i、 j≤ N、 对于所有t>0，a.s.假设a.3，都是非奇异的。对于所有i=1。

N，财富分享过程θisatisfylimt→∞tlogθi（t）=0，a.s.（a.5）B证明本附录给出了引理2.1和2.2以及定理2.3和2.4的证明。引理2.1的证明。根据定义，w（t）=w（t）+···+wN（t），对于所有i=1，N、 θi（t）=wi（t）/w（t）。这意味着dw（t）=NXi=1dwi（t）=NXi=1θi（t）w（t）dwi（t）wi（t），从中可以看出dw（t）w（t）=NXi=1θi（t）dwi（t）wi（t）。（B.1）我们希望证明满足方程（2.3）的过程也满足方程（B.1）。如果我们将其^o引理应用于指数函数，那么方程（2.3）yieldsdw（t）=w（t）u（t）dt+w（t）NXi，j=1θi（t）θj（t）MXz=1δiz（t）δjz（t）！dt+w（t）NXi=1MXz=1θi（t）δiz（t）dBz（t），（B.2）a.s.，其中u（t）由等式（2.5）给出。利用等式（2.2）中ρij（t）的定义，我们可以简化等式（B.1）并写出w（t）w（t）=u（t）+NXi，j=1θi（t）θj（t）ρij（t）！dt+NXi=1MXz=1θi（t）δiz（t）dBz（t）。（B.3）类似地，从方程（2.5）中定义u（t）允许我们进一步简化方程（B.3）并写出w（t）w（t）=NXi=1θi（t）ui（t）+NXi=1θi（t）ρii（t）！dt+NXi=1MXz=1θi（t）δiz（t）dBz（t）=NXi=1θi（t）ui（t）+ρii（t）dt+NXi=1MXz=1θi（t）δiz（t）dBz（t）。（B.4）如果我们再次将它的^o引理应用于指数函数，那么方程（2.1）产生，a.s.，对于所有i=1，N、 dwi（t）=wi（t）ui（t）+MXz=1δiz（t）！dt+wi（t）MXz=1δiz（t）dBz（t）=wi（t）ui（t）+ρii（t）dt+wi（t）MXz=1δiz（t）dBz（t）。（B.5）将方程（B.5）代入方程（B.4），然后yieldsdw（t）w（t）=NXi=1θi（t）dwi（t）wi（t），这就完成了证明。引理2.2的证明。家庭财富过程是绝对连续的，即随机符号测度ui（t）dt和ρii（t）dt相对于勒贝格测度是绝对连续的。因此，我们可以应用引理4.1.7和命题4。1.11摘自Fernholz（2002），其得出了方程（2.11）和（2.12）。定理2.3的证明。

这个证明遵循Fernholz（2002）第5章的论点。根据方程式（2.14），对于所有k=1，N、 对数θ（k）（T）=ZTupt（k）（t）- u（t）dt+logθ（k）-对数θ（k+1）（T）-λlogθ（k）-1)-对数θ（k）（T）+MXz=1ZTδpt（k）z（T）dBz（T）-NXi=1MXz=1ZTθi（t）δiz（t）dBz（t）。（B.6）考虑过程对数θ（k）的渐近行为。假设方程（2.18）中的极限存在，则根据方程（2.16）中αk的定义，对数θ（k）的渐近行为满足极限→∞Tlogθ（k）（T）=αk+κk-κk-1+极限→∞TMXz=1ZTδpt（k）z（t）dBz（t）- 极限→∞TNXi=1MXz=1ZTθi（t）δiz（t）dBz（t），a.s.（B.7）假设a.3确保方程（B.7）左侧的项等于零，而假设a.1确保方程右侧的最后两项也等于零（见Fernholz，2002年的引理1.3.2）。如果我们简化方程（B.7），那么我们得到了αk=κk-1.-κk（B.8），这意味着αk- αk+1=κk-1.- κk+κk+1，（B.9）对于所有k=1，N-1.由于方程式（B.8）适用于所有k=1，N、 这建立了一个方程系统，我们可以求解κk。这样做可以得到等式κk=-2（α+··+αk），（B.10）对于所有k=1，N注意，渐近稳定性确保α+·+·αk<0，对于所有k=1，N、 而αN=κN-1= -（α+·α+N）-1） 确保α+··+αN=0。此外，如果α+··+αk>0，对于某些1≤ k<N，那么方程（B.10）产生了一个矛盾，因为κk≥ 定义为0。在这种情况下，它必须是假设A.3被违反和限制→∞对于某些1，Tlogθ（k）（T）6=0≤ K≤ N

定理2.4对这种情况进行了详细的研究。方程（2.15）右侧的最后一项是绝对连续的鞅，因此可以表示为关于布朗运动b（t）的随机积分。这一事实，加上方程式（B.9）和方程式（2.16）-（2.17）中α和σk的定义，促使我们使用稳定版本的过程对数θ（k）-对数θ（k+1）。回想一下，根据方程式（2.19），这个稳定的版本由比亚迪给出对数θ（k）（t）- 对数θ（k+1）（t）= -κkdt+d∧log^θ（k）-对数θ（k+1）（t）+σkdB（t），（B.11）对于所有k=1，N-1.根据Fernholz（2002）引理5.2.1，对于所有k=1，N-1，该稳定版本的时间平均极限满足要求→∞TZT对数θ（k）（t）- 对数θ（k+1）（t）dt=σk2κk=σk-4（α+··+αk），（B.12）a.s.，其中最后一个等式来自等式（B.10）。在一定程度上，对数θ（k）的稳定度- 方程（B.11）中的对数θ（k+1）近似于方程（2.15）中该过程的真实版本，即真实过程对数θ（k）的时间平均极限-对数θ（k+1）近似为-σk/4（α+·+·αk），对于所有k=1，N- 1.这是连续时间随机过程的标准结果（Karatzas and Shreve，1991；Nielsen，1999）。定理2.4的证明。请注意，定理2.4的分歧情景违反了假设A.3，即没有家庭的财富份额下降到零的速度过快。为了证明这个定理，有必要证明假设A.3成立的最大家庭子集也是家庭m<N satisfyingAm=max1的子集≤K≤NAkand Am>Alfor l 6=m。假设≤ N经济体中最富有的家庭构成假设A.3适用的最大家庭子集。

更准确地说，假设这是极限→∞Tlogθ（1）（T）=limT→∞Tlogθ（n）（T）=0，a.s.（B.13）和0>limT→∞Tlogθ（n+1）（T）≥ ··· ≥ 极限→∞Tθ（N）（T），a.s.，（B.14），因此，在T之后，经济中最富有的N个家庭永远不会被剩余的家庭取代。事实上，这是因为等式（B.13）和（B.14）暗示存在一些t<∞ 例如，对数w（n）（t）>对数w（n+1）（t），a.s.，代表所有t≥ 坦然接受→∞θ（1）（T）+··+θ（n）（T）=1，a.s.（B.15）在不丧失一般性的情况下，让经济体中n个最富裕家庭在时间tbe w（T）时的财富持有量，wn（t）。以经济体中排名前n位的最富有家庭的财富持有量为例，我们将其表示为bywn（t）=w（1）（t）+··+w（n）（t）=wpt（1）（t）+·+wpt（n）（t）。根据Fernholz（2002）的命题1.3.1和命题2.1.2，并使用假设A.1，等式（A.4），假设A.3适用于当时经济体中的n个最富裕家庭，因此它遵循该极限→∞对数wn（T）T=limT→∞TZTui（t）dt，a.s.（B.16），其中1≤ 我≤ n、 根据定义，对于所有i=1，n、 ui（t）=nXk=1upt（k）（t）i{0}θi（t）- θ（k）（t）,方程式（B.14）中极限的存在由方程式（B.7）和方程式（2.16）-（2.18）中极限存在的假设共同保证。因此通过方程式（B.16），limT→∞对数wn（T）T=limT→∞TZTnXk=1upt（k）（t）I{0}θi（t）- θ（k）（t）dt，a.s.（B.17）如果经济中的家庭事先是对称的，那么所有家庭都必须在任何给定的等级中花费相等的时间（Banner等人，2005）。因此，对于所有k=1。

，n，limT→∞TZTI{0}θi（t）- θ（k）（t）dt=n，a.s.，与方程式（B.17）一起表示极限→∞对数wn（T）T=limT→∞TZTnnXk=1upt（k）（t）dt，a.s.根据方程式（2.21）的定义，它遵循该极限→∞对数wn（T）T=An+limT→∞TZTu（t）dt，a.s.当然，因为Wn随时间收敛到w，所以方程（B.15）得出An=0。直觉上，WN的相对增长率必须等于零，因为WN逐渐涵盖了经济中的所有财富。假设m<n。因为假设A.3对t时经济体中的n个最富有的家庭有效，我们可以简单地为这个家庭的上层群体复制定理2.3的证明。然而，如果Am>An，等式（B.10）会产生矛盾，因为它意味着κm=-（α+··+αm）=-mAm<0，而κk≥ 0代表所有1≤ K≤ N、 通过等式（2.18）的定义（另见定理2.3证明中的讨论）。因此，我们得出以下结论：≥ n、 假设m>n，那么通过定义αn+1+·αmm- n> 安。（B.18）根据定理2.3证明中的等式（B.7），我们得到了极限→∞Tlogθ（n+1）（T）+·+limT→∞Tlogθ（m）（T）=αn+1+·αm+κm-κn，a.s.（B.19）当然，假设κn=0，因为在t之后，前n名最富有的家庭再也不会被经济中剩余的家庭所取代（回忆一下localtime∧x的定义）。此外，通过等式（B.18），可以得出αn+1+···+αm>0，并且等式（B.19）的右侧大于零（κm）≥ 0）。然而，这是一个矛盾，因为我们在上面的等式（B.14）中假设等式（B.19）的左侧小于零。因此，我们得出结论，m=n，假设A.3适用的最大家庭子集也是m<n满足Am=max1的家庭子集≤K≤NAkand Am>Alfor l 6=m。在证明了家庭w（1）的顶部子集的分离和发散后。

，w（m），剩下的就是证明这个子集形成了一个稳定的分布。这源于定理2.3和Am>Alfor l 6=m这一事实，因为这一条件确保了这一最顶层家庭的相对增长率满足定理2.3的稳定条件。参考Saiyagari，S.R.（1994年8月）。未投保的特殊风险和总储蓄。《经济学季刊》109（3），659-684。Altonji，J.G.，A.A.Smith Jr.，和I.Vidangos（2013年7月）。盈利动态建模。《计量经济学》81（4），1395-1454。Angeletos，G.-M.（2007年1月）。未投保的特殊投资风险和累计储蓄。经济动态回顾10（1），1-30。Angeletos，G-M.和L-E.Calvet（2006年9月）。特殊的生产风险、增长和商业周期。货币经济学杂志53（6），1095-1115。阿特金森，A.B.，T.皮凯蒂和E.塞兹（2011年3月）。从长远来看，收入最高。经济文献杂志49（1），3-71。Banner，A.，R.Fernholz和I.Karatzas（2005年）。股票市场的阿特拉斯模型。应用概率年鉴15（4），2296-2330。Benhabib，J.，A.Bisin和S.Zhu（2011年1月）。在有固定代理人的经济体中，财富和政策的分配。《计量经济学》79（1），123-157。Benhabib，J.，A.Bisin和S.Zhu（2014）。blanchard-Yaari模型中的财富分配。即将出版的《宏观经济动态》。Bonhomme，S.和J.-M.Robin（2010年4月）。广义非参数反褶积，应用于收益动态。经济研究回顾77（2），491-533。Browning，M.，M.Ejrnaes和J.Alvarez（2010年10月）。对具有大量异质性的收入过程进行建模。经济研究回顾77（4），1353-1381。凯格蒂，M.和M.德纳尔迪（2008年9月）。财富不平等：数据和模型。宏观经济动态12（S2），285-313。凯斯，K.E.和R.J。

希勒（1989年3月）。单一家庭住宅市场的效率。《美国经济评论》79（1），125-137。卡斯塔·内达，A.，J.Diaz Gimienez和J-V.Rios Rull（2003年8月）。美国收入和财富不平等的原因。政治经济学杂志111（4），818-857。戴维斯，J.B.，S.桑德斯特罗姆，A.肖洛克和E.N.沃尔夫（2011年3月）。全球家庭财富的水平和分布。《经济日报》121（551），223-254。Diaz Gimienez，J.，A.Glover和J.-V.Rios Rull（2011年2月）。关于美国收入、收入和财富分配的事实：2007年更新。明尼阿波利斯联邦储备银行季度回顾34（1），2-31。杜菲德（2001年）。动态资产定价理论。新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社。法吉奥尼，J.E.，C.雷曼和S.波拉斯基（2011年7月）。企业家、机会和财富的不确定性集中。《公共科学图书馆综合》6（7），e20728。费恩霍尔茨，E.R.（2002）。随机投资组合理论。纽约州纽约：斯普林格·维拉格。费恩霍尔茨，R.T.（2015年7月）。经济流动和财富分配的模型。mimeo克莱蒙特麦肯纳学院。费恩霍尔茨，R.T.和R.费恩霍尔茨（2014年7月）。财富分配中的不稳定和集中。经济动力与控制杂志44251–269。Flavin，M.和T.Yamashita（2002年3月）。自住住房和家庭组合的构成。《美国经济评论》92（1），345-362。X.Gabaix（1999年8月）。齐普夫城市定律：一种解释。《经济学季刊》114（3），739–767。Gabaix，X.（2009，05）。经济学和金融中的幂律。经济学年鉴1（1），255-294。Guvenen，F.（2007年6月）。了解你的收入：劳动收入冲击真的很严重吗？《美国经济评论》97（3），687-712。Guvenen，F.（2009年1月）。对劳动收入过程的实证研究。

经济动态回顾12（1），58-79。Guvenen，F.，F.Karahan，S.Ozkan和J.Song（2015年3月）。关于数百万美国工人的数据揭示了什么样的生命周期收入风险？mimeo，明尼苏达大学。琼斯，C.I.（2014）。帕累托和皮凯蒂：最高收入和财富不平等的宏观经济学。即将发表在《经济展望杂志》上。Jones，C.I.和J.Kim（2014年10月）。最高收入不平等的熊彼特模型。mimeo斯坦福GSB。Karatzas，I.和S.E.Shreve（1991年）。布朗运动与随机微积分。纽约州纽约：斯普林格·维拉格。Karatzas，I.和S.E.Shreve（1998年）。数学金融学方法。纽约州纽约：斯普林格·维拉格。Krussel，P.和A.A.Smith（1998年10月）。宏观经济中的收入和财富异质性。政治经济学杂志106（5），867-896。Moskowitz，T.J.和A.Vissing Jorgensen（2002年9月）。创业投资回报：私募股权溢价之谜？《美国经济评论》92（4），745-778。尼尔森，L.T.（1999）。衍生证券的定价和对冲。纽约州纽约：牛津大学出版社。尼雷，M.（2009年7月）。经济增长模型中的帕累托分布。创新研究所工作文件09-05。皮凯蒂（2014）。21世纪的首都。马萨诸塞州剑桥：哈佛大学出版社。Saez，E.和G.Zucman（2014年10月）。1913年以来美国的财富不平等：来自资本化所得税数据的证据。NBER工作文件20625。沃夫，E.N.（2010年3月）。美国家庭财富的最新趋势：债务上升和中产阶级挤压——2007年的最新情况。利维经济学院工作文件第号。

589.家庭财富低估计高估计百分比波动率σk波动率σk0-10 0.283 0.28610-20 0.283 0.29420-40 0.283 0.31640-60 0.283 0.39260-100 0.283 1.662表1：波动率σk的低估计和高估计。家庭财富与低估计百分比波动率σk高估计波动率σk0-0.01 11.1%0.01-0.1 10.8%0.1-0.512.4%12.4%0.5-17.2%7.2%1-10 35.7%35.7%10-100 22.8%22.8%表2：不同波动率估计的家庭财富份额σkunder Scenario1，假设2012年美国。