不平等的统计模型

财富分配，在所有情况下，我们发现这种资本税大大减少了不平等，重塑了财富分配。事实上，如果2012年的U。假设美国的财富分布是稳定的，那么我们的估计表明，这种税收将把不平等性降低到与20世纪70年代美国观察到的水平相当的水平。Westress表示，这一结果并不是关于总体福利的声明，也不是对推进资本税的认可。我们的模型不包含或衡量任何扭曲或其他通常与税收相关的成本。相反，我们对推进性资本税的分配效应的分析只是为了加强我们对这一政策影响的整体理解。毕竟，最近关于资本税的讨论大多集中在它们如何增加政府收入或扭曲经济结果上，而不是它们如何影响不平等和财富分配。这篇论文解决了我们知识上的这一差距。本文的其余部分组织如下。第2节介绍了该模型，并描述了财富的稳定分布。第3节介绍了该模型的几种实证应用，包括对美国财富分配当前轨迹的分析，以及对累进资本税对不平等性影响的估计。第4节总结。附录A中讨论了模型的基本假设和结果，而附录B中给出了本文的所有证明。2模型考虑了一个由N>1个家庭居住的经济体。时间是连续的，用t表示∈ [ 0, ∞), 这种经济中的不确定性由过滤概率空间表示(Ohm, F、 英国《金融时报》，第页）。设B（t）=（B（t），BM（t）），t∈ [0，∞), 是定义在概率空间上的M维布朗运动≥ N

我们假设所有的随机过程都适用于{Ft；t∈ [0，∞)}, B.2.1家庭财富动态产生的增加过滤每个家庭的总财富i=1，在这个经济体中，N由过程wi给出。这些财富过程中的每一个都是根据随机微分方程d log wi（t）=ui（t）dt+MXz=1δiz（t）dBz（t），（2.1），其中ui和δiz，z=1，M、 是可测量和调整的过程。增长率和波动率ui和δi是一般的，实际上是不受限制的（它们可以取决于任何家庭特征），只需满足附录a中讨论的几个基本规律性条件。这些条件意味着经济中家庭的财富过程是连续半鞅，这代表了一个广泛的随机过程类别（有关详细的讨论，请参见Karatzas和Shreve，1991）。实际上，鞅表示定理（Nielsen，1999）暗示，任何看似合理的连续财富过程都可以写成方程（2.1）的非参数形式。此外，本节的结果也可能适用于偶尔发生的财富过程，为了一致性和简单性，我们将在本节中提及持有财富的家庭。然而，重要的是要注意，我们的方法和结果适用于许多其他经验分布，如引言中所述。为了简化说明，我们将省略许多与连续时间随机过程有关的不太重要的正则性条件和技术细节。通过考虑一组明显异质的离散家庭，该模型偏离了以往文献中存在连续家庭的大部分内容。

这个假设对于我们的方法来说是必要的，并且在我们的结果中提供了分析的可处理性和细节。这种基本设置与连续时间金融文献有很多共同之处（例如，见Karatzas and Shreve，1998；Duffee，2001）。连续半鞅比It^o过程更一般，这在连续时间金融文献中很常见（Nielsen，1999）。不连续的跳跃。我们方法的一般非参数结构意味着，几乎所有以前的收入和财富的经验和理论模型都代表方程（2.1）的特例。事实上，大多数关于财富分配的理论文献都假设家庭是事先对称的，因此增长率参数ui和标准差参数δizin方程（2.1）不会在家庭之间持续存在差异（Benhabib等人，2011年；Jones和Kim，2014年；Fernholz，2015年）。例如，这种事前对称性是任何基于吉布拉特定律的分析的关键假设（Gabaix，1999，2009）。即使参数ui和δi在各个家庭中持续存在差异，例如在许多关于收入过程的实证文献中（Guvenen，2009；Browning等人，2010），这种异质性通常也受到一些特定参数结构的限制。因此，从这个意义上说，我们的模型包含并扩展了许多以前的相关文献。该模型的一个假设确保了没有两个家庭的财富动态随着时间的推移完全相关。换句话说，市场是不完整的，所有家庭的财富持有至少都面临一些特殊风险。这一假设与不可保险劳动收入风险的贝利模型（Aiyagari，1994；Krussel and Smith，1998）和考虑不可保险资本收入风险的最新文献（Angeletos and Calvet，2006；Benhabib et al.，2011；Fernholz，2015）一致。

本节的研究结果描述了特殊风险对家庭财富持有的不平等性的影响。描述经济的总财富动态是有用的，我们将其表示为byw（t）=w（t）+··+wN（t）。为了做到这一点，我们首先描述了不同家庭财富随时间变化的协方差。对于所有i，j=1，N、 让协方差过程ρij由ρij（t）=MXz=1δiz（t）δjz（t）给出。（2.2）将It^o引理应用于方程（2.1），我们现在能够描述总财富过程的动力学w。在一个不太一般的环境中，Fernholz（2015）提出了这样一个扩展，其动机是一个具有偶发、不连续跳跃的函数可以用连续函数任意逼近。然而，如果假设家庭事先是对称的，那么我们可以用这种设置做更多的事情。特别是，可以描述经济中经济流动的程度，并检查流动性和不平等之间的关系。详细讨论见Fernholz（2015）。引理2.1。经济体w中总财富过程的动力学由D log w（t）=u（t）dt+NXi=1MXz=1θi（t）δiz（t）dBz（t），a.s.，（2.3）给出，其中θi（t）=wi（t）w（t），（2.4）表示i=1，N、 和u（t）=NXi=1θi（t）ui（t）+NXi=1θi（t）ρii（t）-NXi，j=1θi（t）θj（t）ρij（t）！。（2.5）为了描述这种经济中财富的稳定分布，有必要按等级考虑家庭财富的动态。该模型和本文的主要观点之一是，基于等级的财富动态是不平等的基本决定因素。

正如我们在下文中所展示的，基于等级的财富增长率与财富分配之间存在简单、直接和稳健的关系。这种关系是纯粹的统计结果，因此可以应用于任何经济环境，无论多么复杂。实现这一特征化的第一步是引入基于总财富持有量的householdrank符号。对于k=1，N、 letw（k）（t）=max1≤我<··<ik≤Nmin（wi（t），wik（t）），（2.6），因此w（k）（t）代表在t时，在经济中所有家庭中财富排名第k位的家庭所持有的财富。这种定义的一个结果是max（w（t），wN（t））=w（1）（t）≥ w（2）（t）≥ ··· ≥ w（N）（t）=min（w，…，wN（t））。（2.7）类似地，假设θ（k）（t）是第k个最富有家庭在t时刻所持有的总财富份额，因此θ（k）（t）=w（k）（t）w（t），（2.8）表示k=1，N.下一步是描述家庭等级财富过程w（k）和等级财富分享过程θ（k），k=1，N.不幸的是，由于等式（2.6）中的最大和最小函数是不可微分的，这项任务变得复杂，因此我们不能简单地在这种情况下应用It^o引理。相反，我们引入了本地时间的概念来解决这个问题。对于任何连续过程x，x在0处的本地时间是由∧x（t）定义的过程∧xd=|x（t）|- |x（0）|-Ztsgn（x（s））dx（s）. （2.9）正如Karatzas和Shreve（1991）所详述的那样，x的本地时间度量过程x花费在接近零的时间量。为了能够将家庭等级与家庭指数联系起来，我们将{1，…，N}的随机排列设为≤ i、 k≤ N、 如果w（k）（t）=wi（t），则pt（k）=i。（2.10）这一定义意味着，当i家庭是经济中第k个最富有的家庭时，pt（k）=i，以某种一致的方式打破联系。引理2.2。对于所有k=1。

. . , N、 家庭等级财富过程w（k）和等级财富分享过程θ（k）的动力学由d log w（k）（t）=d log wpt（k）（t）+d∧log w（k）给出-对数w（k+1）（t）-d∧对数w（k）-1)-对数w（k）（t）、（2.11）a.s和d对数θ（k）（t）=d对数θpt（k）（t）+d∧对数θ（k）-对数θ（k+1）（t）-d∧对数θ（k）-1)-对数θ（k）（t），（2.12）a.s.，约定∧对数w（0）-对数w（1）（t）=∧对数w（N）-对数w（N+1）（t）=0。根据引理中的方程式（2.11），经济中最富有的家庭的财富动态与t时最富有的家庭（家庭i=pt（k））的财富动态相同，再加上两个当地时间过程，这两个过程记录了家庭等级随时间的变化（一个家庭的财富超过另一个家庭）。更多关于当地时间的讨论，尤其是它们与排名过程的联系，见Fernholz（2002）。为了简洁起见，我们在本文中编写dxpt（k）（t）来表示进程pni=1{i=pt（k）}dxi（t）。理解这个方程，注意正的局部时间项∧logθ（k）-logθ（k+1）确保第k个最富有家庭的财富持有量始终大于第k+1个最富有家庭的财富持有量，并且负的当地时间项∧log w（k-1)-log w（k）确保第k个最富有家庭的财富持有量始终小于第k个最富有家庭的财富持有量-第1位最富有的人。方程（2.12）描述了rankwealth-share过程θ（k）的类似动力学。利用方程（2.1）和（2.3）以及θi（t）的定义，我们得到了所有i=1，N、 d logθi（t）=d log wi（t）- d log w（t）=ui（t）dt+MXz=1δiz（t）dBz（t）- u（t）dt-NXi=1MXz=1θi（t）δiz（t）dBz（t）。（2.13）如果我们将引理2.2应用于方程（2.13），那么它遵循对数θ（k）（t）=upt（k）（t）- u（t）dt+MXz=1δpt（k）z（t）dBz（t）-NXi=1MXz=1θi（t）δiz（t）dBz（t）+d∧logθ（k）-对数θ（k+1）（t）-d∧对数θ（k）-1)-对数θ（k）（t），（2.14）a.s，对于所有k=1，N

方程（2.14）反过来意味着过程对数θ（k）-对数θ（k+1）满意度，a.s.，对于所有k=1，N- 1，d对数θ（k）（t）- 对数θ（k+1）（t）=upt（k）（t）- upt（k+1）（t）dt+d∧对数θ（k）-对数θ（k+1）（t）-d∧对数θ（k）-1)-对数θ（k）（t）-d∧对数θ（k+1）-对数θ（k+2）（t）+MXz=1δpt（k）z（t）- δpt（k+1）z（t）dBz（t）。（2.15）等式（2.15）给出的财富分配中相邻家庭的相对财富持有过程是描述该结构中财富稳定分布的关键。2.2财富的稳定分布上述结果使我们能够从分析的角度描述这种情况下财富的稳定分布。设αkequal为第k个最富有家庭的预期财富增长率相对于整个经济的预期财富增长率的时间平均极限，因此αk=limT→∞TZTupt（k）（t）- u（t）dt，（2.16）对于k=1，N.相对增长率αk决定了家庭财富的回归率，是财富横截面回归平均值的粗略衡量。这些参数包含了经济环境的所有方面，包括税收和财富积累回报递减。以类似的方式，我们希望确定过程对数θ（k）波动性的时间平均极限-logθ（k+1），用于衡量财富分布中相邻住户的相对财富持有量。对于所有k=1，N- 1，设σkbe由σk=limT给出→∞TZTMXz=1δpt（k）z（t）- δpt（k+1）z（t）dt。（2.17）相对增长率αk与波动率σk共同决定了该经济体中财富稳定分布的形状。最后，对于所有k=1，N、 设κk=limT→∞T∧对数θ（k）-对数θ（k+1）（T）。（2.18）也让κ=0。在附录B中，我们展示了与αk相关的参数αkandκkare- αk+1=κk-1.- κk+κk+1，对于所有的k=1。

N- 1.如果等式（2.16）-（2.18）中的限制都存在，并且如果等式（2.17）-（2.18）中的限制为正常数，则该经济体中的财富分布是稳定的。在本文中，我们假设等式（2.16）-（2.18）中的极限确实存在。过程日志θ（k）的稳定版本- logθ（k+1）是过程log^θ（k）- 比亚迪定义的对数θ（k+1）对数θ（k）（t）- 对数θ（k+1）（t）= -κkdt+d∧log^θ（k）-对数θ（k+1）（t）+σkdB（t），（2.19）对于所有k=1，N- 1.对数θ（k）的稳定版本- 对数θ（k+1）将等式（2.15）右侧的所有过程替换为它们的时间平均极限，本地时间过程∧对数θ（k）除外-对数θ（k+1）。通过考虑这些相对财富持有过程的稳定版本，我们能够获得财富分布的简单表征。定理2.3。当且仅当α+·α+αk<0，当k=1，N- 1.此外，如果财富分布稳定，那么对于k=1，N- 1.该分布满足要求→∞TZT对数θ（k）（t）- 对数θ（k+1）（t）dt=σk-4（α+·αk），a.s.（2.20）定理2.3提供了完整的财富分配的逐户分析特征。尽管对描述家庭财富随时间变化的过程进行了最低限度的假设，这一点还是实现了。事实上，正如等式（2.16）-（2.18）和（2.20）中的时间平均极限所表明的，我们甚至不假设财富的稳态分布存在，而是假设财富过程系统在极限（2.16）-（2.18）存在的意义上是渐近稳定的。

此外，只要我们采用的相对增长率、波动率和当地时间不随时间发生剧烈且频繁的变化，那么定理2.3中θ（k）的稳定版本的分布将准确反映这些秩-财富共享过程真实版本的分布。因此，我们假设方程（2.20）大致描述了本文大部分内容中θ（k）的真实版本。财富分配的稳定性问题在第3节中有更详细的讨论。这个定理产生了两个重要的见解。首先，它表明，理解基于等级的家庭财富动态足以描述整个财富分配。没有必要直接用名字来建模和估计家庭财富动态，用指数i表示，这在关于收益动态的文献中很常见。其次，该定理表明，影响财富分配的仅有两个因素是以数量衡量的基于等级的回归率-αk和基于秩的波动率σk。对于每个k=1，N、 方程（2.19）隐含地定义了另一个布朗运动B（t），t∈ [0，∞).这些布朗运动可以在不同的k.Fernholz（2002）中以任何方式共变。他更详细地讨论了这些问题，并表明定理2.3提供了对美国股市的准确描述。政策、制度、技术、全球化或任何其他相关因素对产品质量的影响，那么，只需要了解它们对这些逆转率和波动率的影响。此外，如果可以获得这些影响的定量估计，则定理2.3提供了对不平等影响的定量描述。

这一观察结果是我们在第3节中分析累进资本税对财富分配影响的基础。方程（2.20）中的描述扩展了早期基于吉布拉特定律的幂律分布分析。事实上，吉布拉特定律是定理2.3的一个非常特殊的例子，其中横截面均值回归和波动性参数α和σkare在不同的k中相等。在这种情况下，该定理证实，事实上，这种设置产生了帕累托分布（秩k与财富持有θk的对数图中的一条直线），如Gabax（19992009）所述。本文的贡献之一是超越吉布拉特定律，描述不同等级的增长率和波动率如何产生任何经验分布。在第3节中，我们使用这种灵活性来构建美国财富分布的精确匹配。根据定理2.3，财富分布的渐近稳定性要求回归率-对于所有k=1，…，αk必须和为正数，N- 1.因此，稳定需要一个均值回归条件，即经济中最富裕家庭的财富增长率必须严格低于较不富裕家庭的财富增长率。因此，即使一些家庭比其他家庭更熟练，在其他条件相同的情况下，他们的预期财富增长率ui（t）更高，但稳定性仍然要求这些熟练家庭在占据财富分布的上层时，预期财富增长率更低。如果不满足定理2.3中的均值回归条件，那么财富的分布将分成不同的子群体。